¡Descarga Ecuaciones y Desigualdades Espaciales: Ejercicios Resueltos y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Ergonomía solo en Docsity!
Distancia y esferas en el espacio
La fórmula para la distancia entre dos puntos en el plano xy se extiende a puntos en el espacio.
662 Capítulo 12: Los vectores y la geometría del espacio
La distancia entre P (^) 1 ( x 1 , y (^) 1 , z (^) 1 ) y P 2 ( x 2 , y 2 , z (^) 2 ) es
ƒ P 1 P 2 ƒ = 2 s x 2 - x 1 d^2 + s y 2 - y 1 d^2 + s z 2 - z 1 d^2
Demostración Construimos una caja rectangular con caras paralelas a los planos coorde- nados y los puntos P 1 y P (^) 2 en esquinas opuestas de la caja (figura 12.5). Si A ( x 2 , y (^) 1 , z (^) 1 ) y B ( x 2 , y 2 , z 1 ) son los vértices de la caja, como se indica en la figura, entonces las tres aristas de la caja P (^) 1 A , AB , BP (^) 2 tienen longitudes
Como los triángulos P 1 BP (^) 2 y P (^) 1 AB son triángulos rectángulos, dos aplicaciones del teorema de Pitágoras implican que
(véase figura 12.5). De manera que
Por lo tanto,
EJEMPLO 3 La distancia entre P (^) 1 (2, 1, 5) y P (^) 2 ( 2 2, 3, 0) es
Podemos usar la fórmula de la distancia para escribir ecuaciones de esferas en el espacio (figura 12.6). Un punto P ( x, y , z ) está en la esfera de radio a con centro en P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) exac- tamente cuando u P (^) 0 P u 5 a , es decir,
s x - x 0 d^2 + s y - y 0 d^2 + s z - z 0 d^2 = a^2.
= 245 L 6.708.
ƒ P^ 1 P 2 ƒ =^2 s^ -^2 -^2 d^2 +^ s^3 -^1 d^2 +^ s^0 -^5 d^2
ƒ P 1 P 2 ƒ =^2 s x 2 -^ x 1 d^2 +^ s^ y 2 -^ y 1 d^2 +^ s z 2 -^ z 1 d^2
= s x 2 - x 1 d^2 + s y 2 - y 1 d^2 + s z 2 - z 1 d^2
= (^) ƒ x 2 - x 1 ƒ 2 + (^) ƒ y 2 - y 1 ƒ 2 + (^) ƒ z 2 - z 1 ƒ 2
= (^) ƒ P 1 A (^) ƒ 2 + (^) ƒ AB (^) ƒ 2 + (^) ƒ BP 2 ƒ 2
ƒ P 1 P 2 ƒ 2 =^ ƒ P 1 B^ ƒ 2 +^ ƒ BP 2 ƒ 2
ƒ P 1 P 2 ƒ 2 =^ ƒ P 1 B^ ƒ 2 +^ ƒ BP 2 ƒ 2 y^ ƒ P 1 B^ ƒ 2 =^ ƒ P 1 A^ ƒ 2 +^ ƒ AB^ ƒ 2
ƒ P 1 A^ ƒ =^ ƒ x 2 -^ x 1 ƒ ,^ ƒ AB^ ƒ =^ ƒ y 2 -^ y 1 ƒ ,^ ƒ BP 2 ƒ =^ ƒ z 2 -^ z 1 ƒ.
Ecuación en forma estándar de la esfera de radio a y centro en ( x 0 , y 0 , z (^) 0 )
s x - x 0 d^2 + s y - y 0 d^2 + s z - z 0 d^2 = a^2
EJEMPLO 4 Encuentre el centro y el radio de la esfera
Solución Obtenemos el centro y el radio de una esfera del mismo modo en que encontramos el centro y radio de una circunferencia: si es necesario se completan los cuadrados de los tér- minos en x, y y z y se escribe cada expresión cuadrática como el cuadrado de una expresión li-
x^2 + y^2 + z^2 + 3 x - 4 z + 1 = 0.
FIGURA 12.5 Calculamos la distancia entre P 1 y P 2 aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos P 1 AB y P 1 BP (^) 2.
x
z
y
0
P (^) 1 ( x 1 , y (^) 1 , z (^) 1 )
A ( x 2 , y (^) 1 , z (^) 1 )
P 2 ( x (^) 2 , y (^) 2 , z (^) 2 )
B ( x 2 , y (^) 2 , z (^) 1 )
Se sustituye ƒ P 1 B ƒ 2 = ƒ P 1 A ƒ 2 + ƒ AB ƒ 2.
FIGURA 12.6 La esfera de radio a con centro en el punto ( x (^) 0 , y 0 , z 0 ).
P 0 ( x (^) 0 , y 0 , z 0 ) P ( x , y , z )
a
y
z
0
x
12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 663
neal. Luego, a partir de la forma estándar de la ecuación, localizamos el centro y el radio. Para esta esfera tenemos
A partir de la forma estándar de la ecuación, vemos que x 0 5 2 3 y2, y 0 5 0, z 0 5 2 y a 5 y2. El centro es ( 23 y2, 0, 2). El radio es y2.
EJEMPLO 5 He aquí algunas interpretaciones geométricas de desigualdades y ecuaciones que implican esferas. (a) El interior de la esfera x^2 1 y^2 1 z^2 5 4. (b) La bola sólida acotada por la esfera x^2 1 y^2 1 z^2 5 4. O bien, la esfera x^2 1 y^2 1 z^2 5 4 junto con su in- terior. (c) El exterior de la esfera x^2 1 y^2 1 z^2 5 4. (d) El hemisferio inferior obtenido al cortar la esfera x^2 1 y^2 1 z^2 5 4 con el plano xy (el plano z 5 0).
Así como las coordenadas polares nos ofrecen otra manera de localizar puntos en el pla- no xy (sección 11.3), existen otros sistemas coordenados para espacios tridimensionales, di- ferentes de los sistemas cartesianos aquí desarrollados. Estudiaremos dos de estos sistemas coordenados en la sección 15.7.
x^2 + y^2 + z^2 = 4, z … 0
x^2 + y^2 + z^2 7
x^2 + y^2 + z^2 … 4
x^2 + y^2 + z^2 6
a x + 3 2
b
2
- y^2 + s z - 2 d^2 = - 1 + 9 4
a x^2 + 3 x + a^3 2
b
2 b + y^2 + a z^2 - 4 z + a -^4 2
b
2 b = - 1 + a^3 2
b
2
b
2
s x^2 + 3 x d + y^2 + s z^2 - 4 z d = - 1
x^2 + y^2 + z^2 + 3 x - 4 z + 1 = 0
Ejercicios 12.
Interpretación geométrica de ecuaciones En los ejercicios 1 a 16, proporcione descripciones geométricas del con- junto de puntos en el espacio cuyas coordenadas satisfacen los pares de ecuaciones que se indican.
**1. 2.
9.**
10.
**11.
15.**
16. z = y^2 , x = 1
y = x^2 , z = 0
x^2 + y^2 + z^2 = 4, y = x
x^2 + y^2 = 4, z = y
x^2 + s y - 1 d^2 + z^2 = 4, y = 0
x^2 + y^2 + s z + 3 d^2 = 25, z = 0
x^2 + y^2 + z^2 = 25, y = - 4
x^2 + y^2 + z^2 = 1, x = 0
x^2 + z^2 = 4, y = 0 y^2 + z^2 = 1, x = 0
x^2 + y^2 = 4, z = 0 x^2 + y^2 = 4, z = - 2
y = 0, z = 0 x = 1, y = 0
x = 2, y = 3 x = -1, z = 0
Interpretación geométrica de ecuaciones y desigualdades En los ejercicios 17 a 24, describa el conjunto de puntos en el espacio cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades o combinaciones de ecua- ciones y desigualdades que se indican.
**17. a. b.
- a. b.** **c.
- a. b.
- a. b.** **c.
- a.** **b.
- a. b.
- a. b.
- a.** b. z = y^3 , x = 2
z = 1 - y , sin restricción para x
y Ú x^2 , z Ú 0 x … y^2 , 0 … z … 2
x = y , z = 0 x = y , sin restricción para z
x^2 + y^2 + z^2 … 1, z Ú 0
1 … x^2 + y^2 + z^2 … 4
x^2 + y^2 … 1, sin restricción para z
x^2 + y^2 … 1, z = 0 x^2 + y^2 … 1, z = 3
x^2 + y^2 + z^2 … 1 x^2 + y^2 + z^2 7
0 … x … 1, 0 … y … 1, 0 … z … 1
0 … x … 1 0 … x … 1, 0 … y … 1
x Ú 0, y Ú 0, z = 0 x Ú 0, y … 0, z = 0
12.2 Vectores 665
Vectores
Algunos de los factores que medimos están determinados simplemente por sus magnitudes. Por ejemplo, para registrar la masa, la longitud o el tiempo sólo necesitamos escribir un número y el nombre de la unidad de medida apropiada. Para describir una fuerza, un desplazamiento o una velocidad necesitamos más información. En el caso de una fuerza, necesitamos registrar la dirección en la cual actúa, así como su magnitud. Para describir el desplazamiento de un cuerpo, tenemos que decir en qué dirección se movió y qué tan lejos. Para describir la veloci- dad de un cuerpo debemos saber hacia dónde se dirige el cuerpo, así como la rapidez con que está viajando. En esta sección mostraremos cómo representar, en el plano o en el espacio, ele- mentos que tienen tanto magnitud como dirección.
Componentes
Una cantidad como una fuerza, un desplazamiento o una velocidad se llama vector y se repre- senta por medio de un segmento de recta dirigido (figura 12.7). La flecha apunta en la direc- ción de la acción, y su longitud representa la magnitud de la acción en términos de una unidad apropiada. Por ejemplo, el vector de fuerza apunta en la dirección en la cual actúa la fuerza, y su longitud es una medida de la intensidad de la fuerza; un vector de velocidad apunta en la di- rección del movimiento y su longitud es la rapidez del objeto móvil. La figura 12.8 muestra el vector de velocidad v en una posición específica para una partícula que se desplaza a lo largo de una trayectoria en el plano o en el espacio. (Esta aplicación de los vectores se estudia en el capítulo 13).
Las flechas que usamos para trazar vectores representan al mismo vector si tienen la misma longitud, son paralelas y apuntan en la misma dirección (figura 12.9) sin importar su punto inicial. En los libros de texto, los vectores se denotan normalmente con letras minúsculas en negritas, por ejemplo, u , v y w. Algunas veces usamos letras mayúsculas en negritas, como F , para representar un vector de fuerza. Cuando se usan cursivas, se acostumbra escribir pequeñas flechas encima de las letras, por ejemplo y Necesitamos una manera para representar algebraicamente los vectores, de manera que podamos precisar su dirección. Sea Existe un segmento de recta dirigido igual a cuyo punto inicial es el origen (figura 12.10). Ésta es la representación de v en posición están- dar y es el vector que normalmente usamos para representar a v. Podemos especificar a v escri-
PQ
v = PQ
u s,ys, w s, F s^.
DEFINICIONES Un vector es un segmento de recta dirigido. El segmento de recta dirigido tiene un punto inicial A y un punto final B , y su longitud o magnitud se representa por Dos vectores son iguales cuando tienen la misma longitud y dirección.
ƒ AB
ƒ.
AB^1
FIGURA 12.7 El segmento de recta dirigido se llama vector.
Punto inicial
Punto final
A
B
AB
x
y
O
A
P
D
C
F E
B
FIGURA 12.9 Las cuatro flechas en el plano (segmentos de recta dirigidos) mostradas aquí tienen la misma longitud y dirección. Por lo tanto, representan al mismo vector, por lo que escribimos AB^1 = CD^1 = OP^1 = EF^1.
x
z
y
0
P ( x (^) 1 , y 1 , z (^) 1 )
Q ( x 2 ,^ y 2 ,^ z^ 2 )
Posición del vector( v^1 ,^ v^2 ,^ v^^3 ) de PQ v v (^) 1 , v 2 , v 3 (^) v 3
v (^2) v (^) 1
FIGURA 12.10 Un vector en posición estándar tiene su punto inicial en el origen. Los segmentos de recta dirigidos y v son paralelos y tienen la misma longitud.
PQ^1
PQ^1
x
y
y
z
0
0
x
v v
(a) Dos dimensiones (b) Tres dimensiones FIGURA 12.8 El vector de velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una trayectoria (a) en el plano (b) en el espacio. La punta de la flecha sobre la trayectoria indica la dirección del movimiento de la partícula.
biendo las coordenadas de su punto final ( v 1 , v 2 , v 3 ) cuando v está en posición estándar. Si v es un vector en el plano, su punto final ( v 1 , v 2 ) tiene dos coordenadas.
666 Capítulo 12: Los vectores y la geometría del espacio
DEFINICIÓN
Si v es un vector bidimensional en el plano igual al vector con punto inicial en el origen y punto final ( v (^) 1 , v 2 ), entonces la expresión de v en componentes es
Si v es un vector tridimensional igual al vector con punto inicial en el origen y punto final ( v 1 , v 2 , v 3 ), entonces la expresión de v en componentes es
v = 8 v 1 , v 2 , v 39.
v = 8 v 1 , v 29.
Por lo tanto, un vector bidimensional es un par ordenado v 5 8 v 1 , v (^) 29 de números reales, y un vector tridimensional es una terna ordenada v 5 8 v (^) 1 , v 2 , v 3 9 de números reales. Los números v 1 , v 2 y v 3 son los componentes de v. Si v 5 8 v 1 , v 2 , v 39 , se representa por el segmento de recta dirigido donde el punto ini- cial es P ( x 1 , y 1 , z 1 ) y el punto final es Q 5 ( x (^) 2 , y 2 , z 2 ), entonces x (^) 1 1 v (^) 1 5 x (^) 2 , y 1 1 v (^) 2 5 y (^) 2 , y z 1 1 v 3 5 z 2 , (véase la figura 12.10). Por lo tanto, v (^) 1 5 x 2 2 x 1 , v 2 5 y 2 2 y 1 y v 3 5 z 2 2 z 1 son los componentes de En resumen, dados los puntos P ( x 1 , y 1 , z 1 ) y Q 5 ( x 2 , y 2 , z 2 ), el vector en posición estándar v 5 ( v 1 , v 2 , v (^) 3 ) igual a es
Si v es el vector bidimensional con P ( x 1 , y 1 ) y Q 5 ( x 2 , y 2 ) como puntos en el plano, entonces v 5 ( x 2 2 x (^) 1 , y (^) 2 2 y (^) 1 ). No hay un tercer componente para vectores en el plano. Con esto en mente desarrollaremos el álgebra de los vectores tridimensionales y simplemente eliminaremos el tercer componente cuando se trate de vectores bidimensionales (un vector en el plano). Dos vectores son iguales si y sólo si sus vectores en posición estándar son idénticos. De manera que 8 u 1 , u (^) 2 , u 3 9 y 8 v 1 , v 2 , v 39 son iguales si y sólo si u (^) 1 5 v 1 , u 2 5 v 2 y u (^) 3 5 v 3. La magnitud o longitud del vector es la longitud de cualquiera de sus representaciones como segmento de recta dirigido. En particular, si v 5 8 x (^) 2 2 x (^) 1 , y 2 2 y (^) 1 , z 2 2 z (^) 1 9 es el vector en posición estándar para entonces la fórmula para la distancia proporciona la magnitud o longitud de v , representada por el símbolo u v u o (^) ƒ ƒ v (^) ƒ ƒ.
PQ^1 ,
PQ^1
v = 8 x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 19.
PQ^1
PQ
PQ^1 ,
La magnitud o longitud del vector es el número no negativo
(véase la figura 12.10).
ƒ v^ ƒ =^2 v^ 12 +^ v 22 +^ v 32 =^2 s x 2 -^ x 1 d^2 +^ s^ y 2 -^ y 1 d^2 +^ s z 2 -^ z 1 d^2
v = PQ^1
El único vector con longitud 0 es el vector cero 0 5 8 0, 0 9 o 0 5 8 0, 0, 0 9. Este vector también es el único sin dirección específica.
EJEMPLO 1 Determine (a) los componentes y (b) la longitud del vector con punto inicial en P ( 2 3, 4, 1) y punto terminal Q ( 2 5, 2, 2).
Solución (a) El vector en posición canónica v que representa a tiene componentes
v 1 = x 2 - x 1 = - 5 - s - 3 d = -2, v 2 = y 2 - y 1 = 2 - 4 = - 2,
PQ^1
la suma, llamada el vector resultante , es la diagonal del paralelogramo. En física, las fuerzas se suman vectorialmente, al igual que las velocidades, las aceleraciones, etcétera. Así, la fuerza que actúa sobre una partícula sujeta a fuerzas eléctricas y gravitacionales se obtiene sumando los dos vectores de fuerza. En la figura 12.13 se muestra la interpretación geométrica del producto k u del escalar k por el vector u. Si k. 0, entonces k u tiene la misma dirección que u ; si k , 0, entonces la di- rección de k u es opuesta a la dirección de u. Comparando las longitudes de u y k u , vemos que
La longitud de k u es igual al producto del valor absoluto del escalar k por la longitud de u. El vector ( 2 1) u 5 2 u tiene la misma longitud de u , pero apunta en la dirección opuesta. La diferencia u 2 v de dos vectores está definida por
Si u 5 8 u 1 , u (^) 2 , u 3 9 y v 5 8 v 1 , v 2 , v 3 9 , entonces
. Observe que ( u 2 v ) 1 v 5 u , de manera que sumando el vector ( u 2 v ) a v se obtiene u (figura 12.14a). La figura 12.14b muestra la diferencia u 2 v como la suma u 1 ( 2 v ).
EJEMPLO 3 Sean u 5 82 1, 3, 1 9 y v 5 8 4, 7, 0 9. Obtenga los componentes de
(a) (b) (c)
Solución (a)
(b)
(c)
Las operaciones vectoriales tienen muchas de las propiedades de la aritmética ordinaria.
` 1 2 11.
u = h - 1 2
,^3
,^1
i ` =
C
a- 1 2
b
2
b
2
b
2
u - v = 8 - 1, 3, 1 9 - 8 4, 7, 0 9 = 8 - 1 - 4, 3 - 7, 1 - 09 = 8 - 5, - 4, 1 9
2 u + 3 v = 28 - 1, 3, 1 9 + 38 4, 7, 0 9 = 8 - 2, 6, 2 9 + 8 12, 21, 0 9 = 8 10, 27, 2 9
`
2 u + 3 v u - v 2 u `.
u - v = 8 u 1 - v 1 , u 2 - v 2 , u 3 - v 3 9
u - v = u + s - v d.
= 2 k^2 2 u 12 + u 22 + u 32 = (^) ƒ k (^) ƒ ƒ u (^) ƒ.
ƒ k u^ ƒ =^2 s ku 1 d^2 +^ s ku 2 d^2 +^ s ku 3 d^2 =^2 k^2 s u 12 +^ u 22 +^ u 32 d
668 Capítulo 12: Los vectores y la geometría del espacio
Propiedades de las operaciones con vectores Sean u , v , y w vectores, y a y b escalares.
**1. 2.
9.** s a + b d u = a u + b u
a s b u d = s ab d u a s u + v d = a u + a v
0 u = 0 1 u = u
u + 0 = u u + s - u d = 0
u + v = v + u s u + v d + w = u + s v + w d
Estas propiedades se verifican fácilmente usando las definiciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar. Por ejemplo, para establecer la propiedad 1, tenemos
= v + u.
= 8 v 1 , v 2 , v 39 + 8 u 1 , u 2 , u 39
= 8 v 1 + u 1 , v 2 + u 2 , v 3 + u 3 9
= 8 u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 9
u + v = 8 u 1 , u 2 , u 3 9 + 8 v 1 , v 2 , v 39
u
1.5 u
2 u –2 u
FIGURA 12.13 Múltiplos escalares de u.
u
v
u v
(a)
u
v
u (^) ( – v)
(b)
FIGURA 12.14 (a) El vector u 2 v , sumando a v , da u. (b) u 2 v 5 u 1 ( 2 v ).
12.2 Vectores 669
Cuando tres o más vectores en el espacio se encuentran en el mismo plano, decimos que son vectores coplanares. Por ejemplo, los vectores u , v y u 1 v siempre son coplanares.
Vectores unitarios
Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario. Los vectores unitarios estándar (o canó- nicos) son
Cualquier vector v 5 8 v (^) 1 , v 2 , v 3 9 se puede escribir como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar de la siguiente manera:
Llamamos al escalar (o número) v (^) 1 el componente en i del vector v , a v (^) 2 el componente en j , y a v (^) 3 el componente en k. La expresión en componentes del vector de P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) a P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) es
P 1 P 2
(figura 12.15). Siempre que v Z 0 , su longitud u v u no es cero y
Es decir, v yu v u es un vector unitario en la dirección de v , llamado la dirección del vector no nulo v.
EJEMPLO 4 Obtenga el vector unitario u en la dirección del vector de P 1 (1, 0, 1) a P 2 (3, 2, 0).
Solución Dividimos entre su longitud:
El vector unitario u es la dirección de
EJEMPLO 5 Si v 5 3 i 2 4 j es un vector de velocidad, exprese v como el producto de su rapidez por un vector unitario en la dirección del movimiento.
Solución La rapidez es la magnitud (longitud) de v :
El vector unitario v yu v u tiene la misma dirección de v :
v ƒ v^ ƒ
3 i - 4 j 5
i -
j.
ƒ v^ ƒ =^2 s^3 d^2 +^ s^ -^4 d^2 =^29 +^16 =^ 5.
P^11 P^2.
u =
P 1 P 2
ƒ P 1 P 2
ƒ
2 i + 2 j - k 3
i + 2 3
j - 1 3
k.
ƒ P 1 P 2
ƒ =^2 s^2 d^2 +^ s^2 d^2 +^ s^ -^1 d^2 =^24 +^4 +^1 =^29 =^3
P^11 P^2 = s 3 - 1 d i + s 2 - 0 d j + s 0 - 1 d k = 2 i + 2 j - k
P^11 P 2
` 1
ƒ v^ ƒ
v ` = 1 ƒ v^ ƒ
ƒ v^ ƒ =^ 1.
= s x 2 - x 1 d i + s y (^) 2 - y 1 d j + s z 2 - z 1 d k
= v 1 i + v 2 j + v 3 k.
= v 1 8 1, 0, 0 9 + v 28 0, 1, 0 9 + v 38 0, 0, 1 9
v = 8 v 1 , v 2 , v 39 = 8 v 1 , 0, 0 9 + 8 0, v 2 , 0 9 + 8 0, 0, v 3 9
i = 8 1, 0, 0 9 , j = 8 0, 1, 0 9 , y k = 8 0, 0, 1 9.
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Hermann Grassmann (1809–1877)
y
z
O
k
x
i
j
P 2 ( x (^) 2 , y 2 , z 2 )
OP 2 x 2 i (^) y 2 j (^) z 2 k
P 1 P (^) 2
P 1 ( x 1 , y (^) 1 , z 1 ) OP 1 x 1 i y 1 j z 1 k
FIGURA 12.15 El vector de P 1 a P (^) 2 es
s z 2 - z 1 d k.
P^1 (^) 1 P^2 = s x 2 - x 1 d i + s y 2 - y 1 d j +
12.2 Vectores 671
Aplicaciones
Una aplicación importante de los vectores se da en la navegación.
EJEMPLO 8 Un avión comercial, que vuela hacia el este a 500 millas por hora con cielo despejado, encuentra un viento de cola de 70 millas por hora soplando en dirección 60° al noreste. El avión mantiene el rumbo hacia el este, pero, debido al viento, adquiere una nueva rapidez y dirección con respecto al suelo. ¿Cuáles son la rapidez y dirección?
Solución Si u 5 la velocidad del avión solamente y v 5 la velocidad del viento de cola, entonces u u u 5 500 y u v u 5 70 (figura 12.17). La velocidad del avión con respecto al suelo está dada por la magnitud y dirección del vector resultante u 1 v. Si el eje x positivo represen- ta la dirección este y el eje y positivo representa la dirección norte, entonces los componentes de u y v son
Por lo tanto,
y
Figura 12.
La nueva rapidez del avión con respecto al suelo es de alrededor de 538.4 millas por hora, y su nueva dirección es de aproximadamente 6.5° al noreste.
Otra aplicación importante se da en física e ingeniería, cuando varias fuerzas actúan sobre un objeto simple.
EJEMPLO 9 Un peso de 75 newtons (N) está suspendido por dos alambres, como se muestra en la figura 12.18a. Obtenga las fuerzas F (^) 1 y F 2 que actúan en ambos alambres.
Solución Los vectores de fuerza F (^) 1 y F (^) 2 tienen magnitudes u F 1 u y u F (^) 2 u y componentes que se miden en newtons. La fuerza resultante es la suma F 1 1 F (^) 2 y debe ser igual en magnitud y actuar en dirección opuesta (hacia arriba) al vector de peso w (figura 12.18b). A partir de la figura se deduce que
y
Puesto que F (^) 1 1 F 2 5 8 0, 75 9 , el vector resultante lleva al sistema de ecuaciones
Al despejar u F 2 u en la primera ecuación y sustituir el resultado en la segunda, tenemos
y
Por lo tanto,
ƒ F 1 ƒ =^
sen 55° + cos 55° tan 40°
L 57.67 N,
ƒ F 1 ƒ sen^ 55°^ +
ƒ F 1 ƒ cos 55° ƒ F 2 ƒ = cos 40° sen^ 40°^ =^ 75.
ƒ F 1 ƒ cos 55° cos 40°
ƒ F 1 ƒ sen^ 55°^ + ƒ F 2 ƒ sen^ 40°^ =^ 75.
-ƒ F 1 ƒ cos 55° + ƒ F 2 ƒ cos 40° = 0
F 1 = 8 -ƒ F 1 ƒ cos 55°, (^) ƒ F 1 ƒ sen 55° 9 F 2 = (^8) ƒ F 2 ƒ cos 40°, (^) ƒ F 2 ƒ sen 40° 9.
u = tan -^1
535 L^ 6.5°.
ƒ u^ +^ v^ ƒ =^25352 +^ s^3513 d^2 L^ 538.
u + v = 8 535, 35 239 = 535 i + 3523 j
u = 8 500, 0 9 y v = 870 cos 60°, 70 sen 60° 9 = 8 35, 35 239.
F (^) 1 F (^) 2
40°
75
40°
55°
55°
(a)
(b)
F 1 F 2 F (^) 2
F (^) 1
55° 40°
F F (^) 1 F (^) 2 8 0, 75 9
w (^) 8 0, –75 9
FIGURA 12.18 El peso suspendido del ejemplo 9.
E
N
u
v
30 ˚ u v
70 500
NO ESTÁ A ESCALA
FIGURA 12.17 Los vectores que repre- sentan las velocidades del avión u y el viento de cola v del ejemplo 8.
y
Los vectores de fuerza son F (^) 1 5 82 33.08, 47.24 9 y F 2 5 8 33.08, 27.76 9.
= 75 cos^ 55° sens55° + 40°d
L 43.18 N.
ƒ F 2 ƒ =^
75 cos 55° sen 55° cos 40° + cos 55° sen 40°
672 Capítulo 12: Los vectores y la geometría del espacio
Ejercicios 12.
Vectores en el plano En los ejercicios 1 a 8, u 5 8 3, 229 y v 5 82 2, 5 9. Determine (a) los com- ponentes y (b) la magnitud (longitud) del vector indicado.
1. 3 **u 2.
- 8.**
En los ejercicios 9 a 16, obtenga los componentes del vector.
9. El vector donde P 5 (1, 3) y Q 5 (2, 2 1) 10. El vector donde O es el origen y P es el punto medio del seg- mento RS , donde R 5 (2, 2 1) y S 5 ( 2 4, 3) 11. El vector del punto A 5 (2, 3) al origen 12. La suma de y donde A 5 (1, 2 1), B 5 (2, 0), C 5 ( 2 1, 3), y D 5 ( 2 2, 2) 13. El vector unitario que forma un ángulo u 5 2 py3 con el eje x positivo 14. El vector unitario que forma un ángulo u 5 2 3 py4 con el eje x positivo 15. El vector unitario obtenido al girar el vector 8 0, 1 9 120° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen 16. El vector unitario obtenido al girar el vector 8 1, 0 9 135° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen
Vectores en el espacio En los ejercicios 17 a 22, exprese cada vector en la forma v 5 v 1 i 1 v 2 j 1 v 3 k.
17. si P (^) 1 es el punto (5, 7, 2 1) y P 2 es el punto (2, 9, 2 2) 18. si P 1 es el punto (1, 2, 0) y P 2 es el punto ( 2 3, 0, 5) 19. si A es el punto ( 2 7, 2 8, 1) y B es el punto ( 2 10, 8, 1) 20. si A es el punto (1, 0, 3) y B es el punto ( 2 1, 4, 5) 21. 5 u 2 v si u 5 8 1, 1, 219 y v 5 8 2, 0, 3 9 22. 22 u 1 3 v si u 5 82 1, 0, 2 9 y v 5 8 1, 1, 1 9
AB^1
AB^1
P^11 P 2
P^1 (^) 1 P 2
AB^1 CD^1 ,
OP^1
PQ^1 ,
(^35) u + 45 v - 135 u + 1213 v
2 u - 3 v - 2 u + 5 v
u + v u - v
Representaciones geométricas En los ejercicios 23 y 24, copie los vectores u , v y w con punto inicial y final conforme se requiera para dibujar el vector indicado. 23.
a. b. c. d.
24.
a. b. c. d.
Longitud y dirección En los ejercicios 25 a 30, exprese cada vector como producto de su lon- gitud y dirección.
25. 26. 27. 5 **k 28.
- i** 23
j 23
1 26
i - 1 26
j - 1 26
k
3 5 i^ +^
4 5 k
2 i + j - 2 k 9 i - 2 j + 6 k
2 u - v u + v + w
u - v u - v + w
u
w
v
u - v u - w
u + v u + v + w
v
w u
