Transformada de Laplace: Propiedades y Aplicaciones, Apuntes de Ecuaciones Diferenciales

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Transformadas Integrales

Jose S. Cánovas Peña

2 de octubre de 2014

Índice General

Advertencia.

Estos apuntes no han sido corregidos. Cualquier errata o error que se detecte, por favor, escribid a mi dirección jose.canovas@upct.es, para que en un futuro se pueda subsanar.

No son los apuntes de la asignatura. Son una guía que no tiene porqué corresponderse al cien por cien con lo explicado en clase.

Se ha utilizado el símbolo =∗ para denotar un paso en alguna demostración que, siendo cierto, no está bien justificado. Normalmente cuando se trata de permuta de límites, como una integral con un sumatorio. Para un estudio de las pruebas rigurosas al cien por cien nos remitimos a la bibliografía al final de estas notas.

i

Índice general

• 1. Transformada de Laplace
  • 1.1. Introducción
  • 1.2. Funciones continuas a trozos. Función de Heaviside
  • 1.3. Definición de Transformada de Laplace
    • 1.3.1. Definición y primeros ejemplos
    • 1.3.2. Dominio de definición de la Transformada de Laplace
  • 1.4. Propiedades de la Transformada de Laplace
    • 1.4.1. Linealidad
    • 1.4.2. Transformada de la derivada
    • 1.4.3. Transformada de la integral
    • 1.4.4. Transformada de la convolución
    • 1.4.5. Primer Teorema de Traslación
    • 1.4.6. Segundo Teorema de Traslación
  • 1.5. Propiedades de la función Transformada de Laplace
    • 1.5.1. Derivabilidad de la Transformada de Laplace
    • 1.5.2. Teoremas del valor inicial
    • 1.5.3. Teorema del valor final
  • 1.6. Transformada de Laplace inversa
    • 1.6.1. Inyectividad de la Transformada de Laplace
    • 1.6.2. Transformada de Laplace inversa
    • 1.6.3. Fórmula de inversión compleja
  • 1.7. Aplicaciones: una primera aproximación
  • 1.8. Uso de la convolución
  • 1.9. Ejercicios
• 2. Transformada de Fourier
  • 2.1. Definición y primeros ejemplos
  • 2.2. Propiedades básicas
    • 2.2.1. Linealidad
    • 2.2.2. Transformada de la derivada
    • 2.2.3. Cambios de escala
    • 2.2.4. Derivada de la transformada
    • 2.2.5. Convolución
  • 2.3. Transformada de Fourier inversa
  • 2.4. Relación con la transformada de Laplace

Índice General

2.4.1. Aplicación a los sistemas estables......................... 31 2.5. Aplicación a las ecuaciones en derivadas parciales.................... 31 2.6. Ejercicios.......................................... 33

iv

o equivalentemente con la ecuación diferencial

^00 () + ^0 () + () =  0 ()

en el caso en que  () sea una función derivable.

De forma similar, si tenemos un circuito con varias ramas y más elementos, como por ejemplo

podemos deducir a partir de las leyes de Kirchoff que las intensidades que circulan por los hilos eléctricos del circuito vienen dadas por ⎧ ⎨ ⎩

 0 () =  10  1 +  1  1 + ^02  2 

Si suponemos los elementos del circuito constantes, salvo a lo mejor el voltaje  (), que supondremos una función derivable, tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes con- stantes.

La Transformada de Laplace es una herramienta que permite transformar los problemas anteriores en problemas algebraicos y, una vez resuelto este problema algebraico más fácil a priori de resolver, calcular a partir de la solución del problema algebraico la solución del problema de ecuaciones difer- enciales.

Esta es la forma en que los ingenieros abordan el estudio de estos problemas, como pone de manifiesto las referencias [Oga1], [Sen] o [Jam]. Además este método es explicado en algunos libros de ecuaciones diferenciales como [BoPr], [Bra], [Jef] o [?].

Sin embargo, para entender en su justa dimensión la Transformada de Laplace hay que dominar contenidos básicos de variable compleja que nuestros alumnos ya han estudiado durante el curso (ver

por ejemplo [?]). Así, vamos a presentar la Transformada de Laplace en un primer lugar usando los conocimientos que el alumno tiene de funciones de variable compleja y una vez explicada ésta, pro- cederemos a indicar algunas aplicaciones a las ecuaciones y sistemas citadas anteriormente. Nuestros alumnos también deben conocer y dominar contenidos relativos a integrales impropias que fueron explicados en la asignatura de primer curso fundamentos matemáticos de la ingeniería.

A modo de introducción histórica, diremos que la expresión

Z +∞

−∞

fué acuñada en primer lugar por Pierre—Simon Laplace en 1782. Su utilización dentro de la técnica se debe en su forma rigurosa a Thomas Bromwich, el cual formalizó utilizando las funciones de variable compleja y la Transformada de Laplace un cálculo operacional inventado por Oliver Heaviside para la resolución de circuitos eléctricos.

1.2. Funciones continuas a trozos. Función de Heaviside

Previamente a introducir la Transformada de Laplace, hemos de concretar qué tipo de funciones vamos a considerar para nuestros problemas. Las funciones que van a ser de importancia dentro de la ingeniería son aquellas llamadas continuas a trozos, que a continuación definimos.

Dados los números reales   , se dice que la función  : [ ] → C es continua a trozos si existe una partición de [ ],  =  0   1     = , de manera que  es continua en ( +1), 0 ≤   , y existen y son finitos los límites laterales de  en cada uno de los puntos , 0 ≤  ≤ .

Una función  : [0 +∞) → C se dice que es continua a trozos si para cada intervalo compacto [ ] ⊂ [0 +∞) se verifica que  : [ ] → C es continua a trozos.

Uno de los primeros ejemplos de función continua a trozos es

 : [0 +∞) → C

donde  es un número real mayor o igual que cero. Esta función está definida por

0 si    1 si  ≥ 

y se conoce en ingeniería con el nombre de función de Heaviside.

Físicamente, la función de Heaviside realiza la función de interruptor, de manera que si  : [0 +∞) → C es una función continua se tiene que  ·  es la función

0 si    () si  ≥ 

Función de Heaviside. Sea  ≥ 0 y consideremos la función de Heaviside  definida anteri- ormente. Entonces para todo  ∈ C tal que Re   0 se verifica

L =

Z +∞

0

Z +∞



= l´ım →+∞

Z 



− = l´ım →+∞

μ − 

En particular, cuando  = 0 obtenemos

L 0 =

Función exponencial. Sea  ∈ C y consideremos la función exponencial () = . Se verifica entonces para todo  ∈ C tal que Re   Re 

L =

Z +∞

0

Z +∞

0

= l´ım →+∞

Z 

0

−(−) = l´ım →+∞

μ 1  − 

En particular, si  = 0 se verifica que  () = 1, con lo que nuevamente

L =

para todo  ∈ C tal que Re   0.

Potencias. Sea  un número natural y consideremos la función () = . Vamos ver que la Transformada de Laplace de  viene dada por la expresión

L =

+^

para todo  ∈ C tal que Re   0.

Para ver esto procedemos por inducción calculando en primer lugar la Transformada de  1. Integrando por partes obtenemos

L 1 =

Z +∞

0

− = l´ım →+∞

Z 

0

−^ 

= l´ım →+∞

μ − 

^2

^2

A continuación, por la hipótesis de inducción supongamos que L = !+1^ y calculemos la Transformada de +1. Consideremos

L+1 =

Z +∞

0

−^ +1 = l´ım →+∞

Z 

0

−^ +1 (1.2)

Tomando partes en la expresión anterior Z (^) 

0

−^ +1 =

Z 

0

−^  (1.3)

Combinando (1.2) y (1.3) concluimos que

L+1 =

L =

+^

Funciones periódicas. Las funciones periódicas son bastante importantes en ingeniería debido a que su periodicidad las hace controlables. Sea  : [0 +∞) → C una función periódica con periodo . Entonces Z (^) 

0

−^ () =

X^ −^1

=

Z (+1)



−^ () =

X− 1

=

Z 

0

realizando cambios de variable en las integrales y usando que la función es periódica de periodo . Tomando límites cuando  → +∞, se verifica para todo  ∈ C tal que Re   0 la relación

L =

Z 

0

−^ ()

1.3.2. Dominio de definición de la Transformada de Laplace

Los ejemplos que anteriormente hemos explicado ponen de manifiesto que la función Transfor- mada de Laplace de una función  : [0 +∞) → C no tiene porque estar definida en todo el plano complejo. Vamos a estudiar con precisión cómo es el dominio de definición de estas funciones, pero consideraremos una clase especial de funciones que tienen lo que llamaremos orden exponencial.

Una función  : [0 +∞) → C se dice que tiene orden exponencial si existen constantes   0 y  ∈ R de manera que para todo  ≥ 0 se satisface la condición

| ()| ≤  (1.4)

Denotaremos por E el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial, que serán las funciones con las que trabajaremos a partir de ahora. El siguiente resultado ofrece una primera aproximación sobre el dominio de definición de la Transformada de Laplace de funciones con orden exponencial.

Proposition 1 Sea  : [0 +∞) → C una función continua a trozos cumpliendo la condición (1.4). Entonces L está definida para todo número complejo  tal que Re   

Proof. Vamos a ver que la función −() es absolutamente integrable para todo complejo  tal que Re   . Para ello consideramos Z (^) +∞

0

Z +∞

0

−^ Re^ | ()|

Z +∞

0

−(Re^ −)

= l´ım →+∞

Z 

0

−(Re^ −)

=  l´ım →+∞

μ 1  − Re 

−(Re^ −)  − Re 

 − Re 

Entonces

L =

L − L−

μ 1  − 

^2 + ^2

siempre que Re   0 

Función coseno. Sea  ∈ R y consideremos la función

() = cos() =

^ + −

De forma análoga a la anterior se obtiene que

L =

^2 + ^2

siempre que Re   0.

Función seno hiperbólico. Sea  ∈ R y consideremos la función

() = sinh() =

^ − −

Entonces

L =

L − L−

μ 1  − 

^2 − ^2

si Re   ||.

Función coseno hiperbólico. Sea  ∈ R y consideremos la función

() = cosh() =

^ + −

De forma análoga a la anterior se obtiene que

L =

^2 − ^2

siempre que Re   ||.

1.4.2. Transformada de la derivada

Se dice que la función  ∈ E es derivable a trozos si es continua, existen las derivadas laterales de  en cada punto de [0 +∞) y en cada subintervalo [ ] ⊂ [0 +∞) existen a lo sumo una cantidad finita de puntos donde  no es derivable. Si  es derivable a trozos, definimos  0 : [0 +∞) → C como ^0 () =  +^0 () para todo  ∈ [0 +∞). Es claro entonces que ^0 es una función continua a trozos, que coincidirá en casi todos los puntos con la derivada ordinaria. Se tiene entonces el siguiente resultado.

Theorem 3 Bajo las condiciones anteriores se verifica para todo  ∈ D∗ 

L 0 = L − (0) (1.5)

Proof. Sean  ∈ D ∗ y   0 y consideremos

los puntos de discontinuidad de  0 en el intervalo (0 ) y fijemos  0 = 0 y  = . Entonces, dividiendo el intervalo de integración y utilizando la fórmula de integración por partes

Z (^) 

0

−^0 () =

X^ 

=

Z 

− 1

X^ 

=

[−^  () − −−^1 (− 1 )] + 

X^ 

=

Z 

− 1

Z 

0

Tomando límites cuando  → +∞, y teniendo en cuenta que  ∈ D ∗ y que por tanto existen   ∈ R,   0 , Re   , tales que

|()−| ≤ (−Re^ )^ → 0 si  → +∞

obtenemos inmediatamente (1.5).

Procediendo por inducción a partir de la fórmula (1.5) se prueba una fórmula general para la derivada —ésima de la función  en el caso de que  −1)^ sea derivable a trozos para  ∈ N. Esta fórmula viene dada para todo  ∈ D∗  por

L ) = L − −^1 (0) − −^2  0 (0) −  − −2)(0) − −1)(0) (1.6)

donde las derivadas sucesivas de  en 0 se entienden como derivadas por la derecha.

Las fórmulas 1.5 y 1.6 serán claves para resolver ecuaciones y sistemas diferenciales lineales con coeficientes constantes, como veremos en el apartado de aplicaciones de este tema.

Theorem 5 En las condiciones anteriores, para todo  ∈ D ∗ ∩ D∗  se verifica la fórmula

L ∗  = LL

Proof. En primer lugar, existen números reales  y   0 ,  = 1 2 , de manera que para todo  ≥ 0 se verifica |()| ≤  1 ^ y |()| ≤  2 

Entonces para todo  ≥ 0

Z 

0

Z 

0

Z 

0

con lo que se ve fácilmente que −( ∗ )() es absolutamente integrable para todo Re   , con lo que L ∗  existe para todo  con Re   . Por otra parte, como las funciones −() y −() también son absolutamente integrables para todo Re   , por el Teorema de Fubini (ver [?, pag. 187]) se tiene que

L ∗  =

Z +∞

0

∙Z 

0

Z +∞

0

∙Z 

0

Z +∞

0

∙Z +∞



Z +∞

0

∙Z +∞



Z +∞

0

∙Z +∞

0

Z +∞

0

L −() = LL

con lo que termina la prueba.

La demostración de este resultado no la haremos a los alumnos, debido a que pensamos que sus conocimientos le impedirán comprenderla completamente. No obstante la fórmula será bastante útil en las aplicaciones.

1.4.5. Primer Teorema de Traslación

Fijemos un número complejo  y consideremos  ∈ E. El primer teorema de desplazamiento hace referencia a la transformada de la función () y afirma lo siguiente.

Theorem 6 Bajo las condiciones anteriores

L() = L[]( − ) (1.8)

para todo  ∈ D + Re  := { + Re  :  ∈ D }.

Proof. Sea (^) Z (^) +∞

0

−() = l´ım →+∞

Z 

0

Z +∞

0

de donde se deduce inmediatamente (1.8).

A partir de este resultado podemos obtener las Transformadas de las funciones siguientes:  () = ^ sin(),  ∈ R, cuya Transformada de Laplace para todo número complejo  tal que Re   Re  es L =

( − )^2 + ^2

 () = ^ cos(),  ∈ R, cuya Transformada de Laplace para todo número complejo  tal que Re   Re  es L =

( − )^2 + ^2

 () = ^ sinh(),  ∈ R. Si Re   || + Re , entonces

L =

( − )^2 − ^2

 () = ^ cosh(),  ∈ R. Si Re   || + Re , entonces

L =

( − )^2 − ^2

 () = ^ con  ∈ N. Entonces

L =

siempre que Re   Re .

1.4.6. Segundo Teorema de Traslación

Sea ahora   0 un número real y supongamos que  ∈ E está definida por () = 0 para todo   0. Recordemos que  es la función de Heaviside. Entonces tenemos el siguiente resultado.

Theorem 7 Bajo las anteriores condiciones se verifica para todo  ∈ D

L()( − ) = −^ L (1.9)

Proof. Tomamos Z (^) +∞

0

−()( − ) = l´ım →+∞

Z 

0

= l´ım →+∞

Z 



= l´ım →∞

Z −

0

Z +∞

0

 () = ^ sin(),  ∈ N y  ∈ R. Se tiene siempre que Re   0 la relación

L = (−1)^

^

Lsin() = (−1)^

μ  ^2 + ^2

 () = ^ cos(),  ∈ N y  ∈ R. Se tiene análogamente siempre que Re   0

L = (−1)^

^

Lcos() = (−1)^

μ  ^2 + ^2

De forma similar se obtienen fórmulas equivalentes para el coseno y seno hiperbólicos.

1.5.2. Teoremas del valor inicial

Estos resultados hacen alusión a aspectos cualitativos de la Transformada de Laplace de funciones de la clase E.

Theorem 9 Sea  ∈ E. Entonces l´ım Re →+∞

L = 0 (1.10)

Proof. Sea  ∈ D∗ . Existen números reales   0 y  de manera que | ()| ≤ ^ para todo  ≥ 0. Entonces

|L| ≤ l´ım →+∞

Z 

0

|−^ ()| ≤  l´ım →+∞

Z 

0

(−Re^ )

= l´ım →+∞

((−Re^ ^ − 1)  − Re 

Re  − 

de donde claramente obtenemos (1.10) al hacer Re  → +∞.

Continuamos esta sección con otro resultado que estudia cuestiones cualitativas de la Transfor- mada de Laplace.

Theorem 10 Asumamos que  ∈ E es derivable a trozos y que ^0 ∈ E. Entonces

l´ım Re →+∞

L = (0) (1.11)

Proof. Sea  ∈ D∗ . Por el Teorema 3 tenemos que

L = (0) + L 0  (1.12)

Aplicando el Teorema 9 a (1.12) se tiene que l´ımRe →+∞ L 0 = 0, de donde se deduce inmedi- atamente (1.11).

Los resultados anteriores muestran que no todas las funciones de variable compleja pueden ser Transformadas de Laplace de funciones de E. Por ejemplo, la función 1 

 no puede serlo al tenerse que

l´ım Re →+∞

1.5.3. Teorema del valor final

Al igual que los resultados de la sección anterior el Teorema del valor final aporta información cualitativa de la Transformada de Laplace en conexión directa con la función de la cual es transfor- mada.

Theorem 11 Sea  ∈ E una función derivable a trozos tal que  0 ∈ E. Supongamos que 0 ∈ D∗  y que existe y es finito l´ım→+∞ (). Entonces

l´ım → 0 L = l´ım →+∞

Proof. Por el Teorema 3,

L − (0) = L 0 =

Z +∞

0

−^0 ()

Por el Teorema 8, L^0 es derivable y por lo tanto continua. Entonces

l´ım → 0

L 0 = L^0 =

Z +∞

0

^0 () = l´ım →+∞

lo cual concluye la demostración.

1.6. Transformada de Laplace inversa

1.6.1. Inyectividad de la Transformada de Laplace

Al intervenir en la definición de Transformada de Laplace la integración, está claro que puede haber infinitas funciones en E teniendo la misma Transformada, por lo que la ésta no será inyectiva. Sin embargo este problema puede paliarse en parte para así poder hablar de la Transformada inversa de una función holomorfa definida en un semiplano complejo. Como veremos en las aplicaciones del tema, este punto será de vital importancia.

Consideremos  : [0 +∞) → C una función localmente integrable. Diremos que  es nula o nula casi por todas partes si para todo  ∈ (0 +∞) se verifica que

Z (^) 

0

Dos funciones   : [0 +∞) → C localmente integrables se dirán iguales casi por todas partes si  − es nula. Se tiene entonces el siguiente resultado.

Proposition 12 Sean   ∈ E iguales casi por todas partes. Entonces L = L para todo  ∈ D ∩ D.