Transformada de Laplace y sus Aplicaciones - Prof. Garcia Miranda, Guías, Proyectos, Investigaciones de Derecho Cooperativo

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Cuestionario 2

Alumno:

Edgar Omar García Miranda.

Asignatura:

Ecuaciones Diferenciales

Profesor:

Daniel Hernández Ledesma

Carrera:

Licenciatura en Ingeniería Industrial y de Sistemas.

Matricula :

A. Contesta las preguntas de forma clara y profundizando en tu

respuesta:

1. ¿Qué es la transformada de Laplace?

R:

La transformada de Laplace es una técnica matemática utilizada en el campo de la

matemática y la ingeniería, específicamente en el análisis de sistemas dinámicos y

ecuaciones diferenciales.

La transformada de Laplace se utiliza para convertir una función de una variable

real, generalmente una función de tiempo, en una función de una variable compleja

llamada "variable de Laplace". Esta transformación es útil porque simplifica la

resolución de ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales con condiciones iniciales o condiciones de contorno.

2. ¿Qué es la transformada inversa de Laplace?

R:

La transformada inversa de Laplace es una operación matemática que se utiliza

para volver desde el dominio de Laplace al dominio original del tiempo. En otras

palabras, dado una función F(s) en el dominio de Laplace, la transformada inversa

de Laplace nos permite encontrar la función correspondiente f(t) en el dominio del

tiempo.

3. Realiza una tabla con la transformada de Laplace de las funciones

más comunes (al menos 10 funciones)

7. Teorema del valor inicial: Si tienes una función f(t) con transformada de

Laplace F(s), entonces el valor de f(t) en t=0 se puede obtener tomando el

límite cuando s tiende a infinito de sF(s), es decir, lim(s->∞) sF(s) = f(0).

8. Teorema del valor final: Si tienes una función f(t) con transformada de

Laplace F(s), entonces el límite cuando t tiende a infinito de f(t) se puede

obtener tomando el límite cuando s tiende a cero de sF(s), es decir, lim(s-

1. sF(s) = lim(t->∞) f(t).

Estas son algunas de las propiedades más importantes de la transformada de Laplace.

Estos teoremas son fundamentales para el análisis y la resolución de ecuaciones

diferenciales lineales y sistemas dinámicos en el dominio de Laplace.

5. Menciona cuales son las condiciones para la existencia de la

transformada de Laplace

R:

La transformada de Laplace es una herramienta poderosa para analizar

sistemas y resolver ecuaciones diferenciales, pero no todas las

funciones tienen una transformada de Laplace bien definida. Para que

una función tenga una transformada de Laplace, generalmente deben

cumplirse ciertas condiciones. A continuación, se mencionan las

condiciones más comunes para la existencia de la transformada de

Laplace:

1. Función de dominio temporal integrable : La función f(t) debe ser una

función integrable en un intervalo que incluye el origen (t ≥ 0). Esto significa

que la integral definida de |f(t)| en ese intervalo debe ser finita.

2. Función de dominio temporal de crecimiento exponencial acotado : La

función f(t) debe ser de "crecimiento exponencial acotado", lo que significa

que no debe crecer más rápido que una exponencial, es decir, debe existir

una constante M tal que |f(t)| ≤ Me^(at) para algún valor real "a" y para t ≥ 0.

Esto garantiza que la función no crezca de manera incontrolada.

3. Función de dominio temporal localmente integrable : La función f(t) debe

ser localmente integrable en cada intervalo acotado (0, T) para algún T > 0.

Esto asegura que no haya oscilaciones incontroladas en la función.

4. Función de dominio temporal con un número finito de

discontinuidades tipo salto : La función f(t) puede tener un número finito

de discontinuidades tipo salto en t = 0 y en otros puntos. Sin embargo,

estas discontinuidades deben ser de tipo finito y no oscilatorias.

5. Función de dominio temporal que cumple con ciertas restricciones en

el infinito : Si la función f(t) tiene un crecimiento exponencial en el infinito,

es decir, si existe una constante A tal que |f(t)| ≤ Ae^(at) para algún a > 0

cuando t tiende a infinito, entonces la transformada de Laplace puede existir

incluso si f(t) no es absolutamente integrable en todo su dominio.

Es importante tener en cuenta que estas condiciones son generales, y la existencia de la

transformada de Laplace puede depender de la función específica y de las propiedades

de crecimiento y comportamiento de la función en su dominio de definición. Además,

existen casos especiales y funciones que no cumplen estas condiciones y aún tienen una

transformada de Laplace definida en un sentido más amplio, como las distribuciones de

Schwartz.

6. ¿Qué es la función delta de Dirac? Explica a detalle que es, como se

define, para que sirve.

R:

La función delta de Dirac, comúnmente denotada como δ(t), es una función

matemática especial que se utiliza en el campo de las matemáticas y la

física para representar de manera idealizada una "impulso" o una

concentración puntual de masa, carga, energía o cualquier otra cantidad en

un punto específico. Fue introducida por el físico teórico Paul Dirac en el

siglo XX y es una herramienta fundamental en la teoría de distribuciones y

en diversas aplicaciones de la física y la ingeniería.

La función delta de Dirac no es una función en el sentido convencional, ya

que no es una función continua y no está definida en todos los puntos. En

cambio, es una distribución o función generalizada, lo que significa que se

define mediante su comportamiento en integrales con otras funciones. Su

definición más común se expresa a través de la siguiente integral:

∫[-∞, ∞] δ(t) dt = 1

En otras palabras, la integral de la función delta de Dirac sobre todo el eje

real es igual a 1. Sin embargo, en cualquier punto diferente de t = 0, la

función delta es igual a cero. Esto refleja la idea de que la función delta es

B. Resuelve los ejercicios a mano de forma clara y sin saltar pasos:

1. Realiza la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a)

f ( t )= 1 + t

b ¿ f

t

= e

5 t