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Desarrollo histórico de las transformaciones lineales, definición, ejemplos resueltos y ejercicios para resolver
Tipo: Apuntes
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO 𝒗 𝑤 Dominio Contradominio 𝑇: 𝑉 → 𝑊 Alumno(a): Las matemáticas requieren una pequeña dosis, no de genialidad, sino de una libertad imaginativa que, en mayor dosis, seria locura. – Angus K. Rodgers
UNIDAD 5
EL TRABAJO DE INVESTIGACION DEBE CONTENER: Portada, Introducción, Índice, Desarrollo, Conclusión, Bibliografía. Investigar dos personajes y sus aportaciones a las Transformaciones Lineales, (mencionar la fecha, e incluir imágenes). Y dos aplicaciones de las Transformaciones lineales en:
INTRODUCCION TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICION Transformación lineal. Sean V y W espacios vectoriales. Una Transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ∈ V un único vector T v ∈ W y que satisface para cada u y v
𝑇 𝒖 + 𝒗 = 𝑇𝒖 + 𝑇𝒗 𝑇(𝛼𝒗) = 𝛼𝑇𝒗 Notación Escribimos 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 para indicar que 𝑇 transforma 𝑉 en 𝑊. Terminología Las transformaciones lineales se llaman, con frecuencia operadores lineales. También, las funciones que satisfacen (1) y (2) se denominan funciones lineales. (1) (2)
Sea 𝑇: ℝ 2 → ℝ 3 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑇 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 3𝑦
𝒗 𝑥 2 𝑦 2 𝒖 𝑥 1 𝑦 1 𝑇 𝑢 = 𝑇 𝑥 1 + 𝑦 1 𝑥 1 − 𝑦 1 3 𝑦 1 𝑇 𝑣 = 𝑇 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 2 − 𝑦 2 3 𝑦 2
Sea 𝑇: ℝ 2 → ℝ 3 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑇 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 3𝑦
Una transformación 𝑇: 𝑣 → 𝑤 Es una función matemática.
𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 = 3𝑥 𝑇 5 = 3 5 = 15 𝑇 0 = 3 0 = 0 𝑇 𝑎 + 𝑏 = 3 (𝑎 + 𝑏) 𝑇 𝑎 = 3𝑎 𝑇 8 = 3 8 = 24
𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 = 6𝑥 𝑇 6 = 6 6 = 36 𝑇 9 = 6 9 = 54 𝑇 2 = 6 2 = 12 𝑇 4 = 6 4 = 24 𝑇 𝑏 = 6𝑏
𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 = 5 𝑥 𝑇 5 = 5 5 = 25 𝑇 0 = 5 0 = 0 𝑇 𝑎 + 𝑏 = 5 𝑎 + 𝑏 𝑇 𝑎 = 5 𝑎 𝑇 8 = 5 8 = 40 𝑇 𝑏 = 5 𝑏 𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 =⊠ 𝑥
𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 =⊠ 𝑥
2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥 + 5𝑦 + 3 𝑇 8 , 8 = 2 8 + 5 8 + 3 = 16 + 40 + 3 = 59
2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 5𝑥 + 3𝑦 + 9
𝑇: ℝ 2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 + 2𝑦 + 6 𝑇: ℝ 2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 − 9
2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 8 𝑥 + 9𝑦 − 4
2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = − 4 𝑥 + 10𝑦 − 11
𝑇: ℝ 2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 9 𝑥 − 3𝑦 − 1
𝑇: ℝ 2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 5 𝑥 + 8𝑦 − 6
𝑻 𝑥 𝑦 = 2𝑥 𝑥 − 𝑦 3𝑦
2
3
Notemos que la transformación va de R^2 a R^3 , y que el orden de la matriz es 3 × 2
3
2
Notemos que la transformación va de R3 a R2 y que el orden de la matriz asociada a la transformación lineal es 2 ×3.
𝟏 𝟐 𝟏 − 𝟏 𝟎 𝟏 ∙ 𝒙 𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚 𝒙 − 𝒚 𝒚
𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 − 𝟏 𝟎 ∙ 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝒙 + 𝟐𝒛 −𝒚
𝑻 𝑥 𝑦 = −2𝑥 + 𝑦 𝑦 − 5𝑥
