Transformaciones lineales, Transcripciones de Álgebra Lineal

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Alumno

Ramirez Arias Jhonattan Alexis

Profesor

GOnzalez Esquivel Elias Emmanuel

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Instituto tecnologico

de Zitacuaro

ALGEBRA LINEAL

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TEMA

Ecuaciones lineales

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que involucran varias incógnitas. Estos sistemas son ampliamente utilizados para modelar y resolver problemas en diversas áreas, como la física, la economía y la ingeniería. Las matrices son una herramienta eficiente para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales. El álgebra lineal proporciona métodos y técnicas para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como la eliminación de Gauss-Jordan, la factorización LU y la inversión de matrices. Estas técnicas permiten encontrar soluciones exactas o aproximadas a sistemas de ecuaciones lineales, lo que tiene aplicaciones en la resolución de problemas del mundo real. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden clasificarse de dos maneras:

1. Según el número de ecuaciones y variables :

• Sistemas determinados : tienen el mismo número de ecuaciones y de incógnitas.
• Sistemas indeterminados : tienen más incógnitas que ecuaciones.
• Sistemas sobredeterminados : tienen más ecuaciones que incógnitas.

2. Según la compatibilidad :

• Sistemas compatibles : tienen al menos una solución. o Sistema compatible determinado (SCD) : tiene una única solución. o Sistema compatible indeterminado (SCI) : tiene infinitas soluciones.
• Sistemas incompatibles (SI) : no tienen solución. Resolución con Matrices Los sistemas de ecuaciones pueden resolverse mediante matrices usando tres métodos principales: Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo: X = A^{-1} B

CONCLUSIÓN

Los sistemas de ecuaciones lineales representan una herramienta fundamental en las matemáticas y en diversas disciplinas científicas y tecnológicas. Su estudio y resolución permiten modelar y solucionar problemas en ingeniería, economía, física y computación, lo que demuestra su importancia práctica. La clasificación de estos sistemas según su compatibilidad y número de soluciones nos permite comprender su comportamiento y determinar si poseen una solución única, infinitas soluciones o ninguna. Asimismo, el uso de matrices como método de resolución proporciona una manera estructurada y eficiente para encontrar soluciones, especialmente en sistemas grandes, donde los métodos tradicionales se vuelven imprácticos. Los métodos como la matriz inversa, la eliminación de Gauss y Gauss-Jordan no solo facilitan la resolución de sistemas, sino que también tienen aplicaciones en algoritmos computacionales modernos. En conclusión, el dominio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución es crucial para cualquier disciplina que requiera análisis cuantitativo. Su aplicabilidad y versatilidad los convierten en un pilar del pensamiento lógico y analítico en la ciencia y la tecnología.