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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
AREA DE TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA
UNIDAD CURRICULAR: TRANSFERENCIA DE CALOR
Profesor: Ing. Egliomar Santos
Tema 2: Conducción de calor unidimensional en estado estable
Objetivo Didáctico: Determinar la velocidad de transferencia de calor por conducción en paredes planas, cilindros, esferas y superficies extendidas en condiciones de estado estable.
Contenido: Estado estable y estado transitorio Ley de Fourier y Gradiente de Temperatura Ecuaciones diferenciales que gobiernan la transferencia de calor en estado estable y transitorio Resistencia Térmica Pared Simple Pared Plana Cilindros y esferas Circuitos Térmicos Estructuras compuestas Transferencia de calor en superficies extendidas (Aletas) Arreglos de aletas.
ESTADO ESTABLE Y ESTADO TRANSITORIO
Los problemas de transferencia de calor en ingeniería por lo general se clasifican como estacionarios (estables) o transitorios (no estables o no estacionarios). El término estacionario implica que no hay cambio en las condiciones de un sistema con el tiempo, mientras que transitorio implica cambios con el tiempo o dependencia respecto al tiempo.
En el estado transitorio se considera que las condiciones cambian en diversos puntos con respecto a un período de tiempo, en tanto que en el estado estable (estacionario) se supone condiciones constantes en un punto e instante de tiempo determinado, es por ello que en operación estacionaria la temperatura y el flujo de calor permanecen inalterables con el transcurso del tiempo en cualquier ubicación tratando superficies isotérmicas, como puede evidenciarse en la figura 1.
Figura 1
LEY DE FOURIER Y GRADIENTE DE TEMPERATURA
Establece que la conducción a través de una capa plana es proporcional al área perpendicular a la transferencia de calor y a la diferencia de temperaturas entre las superficies pero inversamente proporcional al espesor de esa capa.
Donde: K : Conductividad Térmica del Material A: Área perpendicular a la dirección de la transferencia de calor T 1 y T 2 : Temperaturas de las superficies de la capa L= : Espesor de la Capa
: Gradiente de Temperatura
El gradiente de temperatura es la pendiente de la curva en un diagrama Temperatura vs. Distancia (espesor de una pared), es decir, es la razón de cambio de T con respecto al a espesor. De acuerdo con la Ley de Fourier la conducción de calor en una dirección es proporcional al gradiente de temperatura en esa dirección. El calor es conducido en la dirección de la temperatura decreciente y el gradiente de temperatura se vuelve negativo cuando esta última decrece al crecer x como se muestra en la figura 2. El signo negativo garantiza que la transferencia de calor en la dirección x positiva sea una cantidad positiva.
ECUACIONES DIFERENCIALES QUE GOBIERNAN LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN
ESTADO ESTABLE Y TRANSITORIO
En la conducción de calor a través de una pared es común pretender obtener una ecuación que relacione el flujo de calor con la distribución de las temperaturas en el cuerpo, esta distribución en un medio puede determinarse a partir de la solución de la ecuación diferencial de la conducción de calor cuando se somete a condiciones apropiadas de frontera.
Las ecuaciones diferenciales que gobiernan la conducción de calor dependen del tipo de pared, que puede ser plana, cilíndrica o esférica. A continuación se presentan las ecuaciones para cada tipo de pared:
- Pared Plana:
Conductividad Térmica Variable:
Conductividad Térmica Constante:
Figura 2
Figura 3
Conductividad Térmica Constante:
De ésta última, igual que en los casos anteriores podemos obtener:
Régimen estacionario ( ∂/∂t = 0 ):
Régimen Transitorio sin Generación de calor ( ):
Régimen estacionario sin Generación de calor (( ∂/∂t = 0, ):
Para resolver las ecuaciones es necesario integrarlas, y es necesario dar los límites de integración, que en transferencia de calor se refieren a las condiciones de frontera, las cuales sirven para modelar el proceso de conducción, tomando en cuenta los distintos procesos que pudieran ocurrir en las superficies del tipo de pared estudiada. Para ello se presentan las diversas condiciones en el anexo 1.
RESISTENCIA TÉRMICA
En el estudio de la electricidad es conocido el término resistencia eléctrica, y se define como la dificultad u oposición que presenta un cuerpo al paso de una corriente eléctrica para circular a través de él, pero los materiales también poseen una resistencia que se opone al paso de un flujo de calor a través de ellos, que se conoce como resistencia térmica.
La relación para un flujo eléctrico, mejor conocida como Ley de Ohm es:
Entonces de manera análoga para el caso de la transferencia de calor, se tiene:
Siendo T 1 y T 2 la diferencia de temperaturas necesaria para que ocurra la transferencia de calor y R la resistencia térmica que se opone a que exista el flujo de calor por cualquiera de los mecanismos, por lo tanto tenemos diferentes tipos de resistencias de acuerdo al mecanismo y al tipo de pared como se muestra a continuación:
Figura 5
Figura 6 Analogía Eléctrica
Resistencias Térmicas para paredes planas:
-Resistencia a la conducción:
Donde: L : Espesor de la pared plana K : Conductividad térmica del material de la pared A : Área perpendicular a la dirección de la transferencia de calor
-Resistencia a la Convección:
Donde: h : Coeficiente de Convección As : Área de superficie expuesta a convección
-Resistencia a la Radiación:
Donde: hr : Coeficiente de Radiación As : Área de superficie expuesta a convección
Esta resistencia a la radiación es común para todo tipo de pared.
Resistencias Térmicas para paredes cilíndricas:
-Resistencia a la conducción:
Donde: L : Longitud del cilindro K : Conductividad térmica del material de la pared (figura 8)
-Resistencia a la Convección:
Donde: h : Coeficiente de Convección As : Área de superficie de un cilindro expuesto a convección
Resistencias Térmicas para paredes esféricas:
-Resistencia a la conducción:
K
Figura 7 Pared Plana
Figura 8 Pared Cilíndrica y Pared Esférica
En este caso como el calor se transfiere a través de distintos medios, representa la transferencia de calor total del sistema y R es la resistencia térmica total del sistema, al igual que en los circuitos eléctricos, en este caso particular las resistencias están en serie, y por lo tanto para obtener RTotal se debe determinar cada una de las resistencias térmicas y luego sumarlas algebraicamente.
Para obtener la máxima transferencia de calor debe usarse la diferencia máxima de temperaturas, que en este caso es la que existe entre los dos fluidos.
Existen paredes compuestas por varias capas de distintos materiales como la que se muestra en la figura 10, para la cual se presenta el circuito térmico correspondiente, sin la presencia de fluidos en los alrededores puede descartarse la convección, y el único mecanismo presente será la conducción, así pueden observarse las resistencias térmicas de ese sistema.
La resolución de ese circuito térmico depende de la configuración de las resistencias (en serie o paralelo), de esta manera se tiene:
TRANSFERENCIA DE CALOR EN SUPERFICIES EXTENDIDAS (ALETAS)
Al hablar de superficie extendida, se hace referencia a un sólido que experimenta transferencia de energía por conducción dentro de sus límites, así como transferencia
de energía por convección e (y/o radiación) entre sus límites y los alrededores.
Aunque hay muchas situaciones diferentes que implican efectos combinados de conducción y convección, la aplicación más frecuente es aquella en la que se usa una superficie extendida de manera específica para aumentar la rapidez de de transferencia de calor entre un sólido y un fluido contiguo, esta superficie extendida se denomina aleta. Las aletas se usan cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección h es pequeño. Los ejemplos más comunes son las aletas de enfriamiento de componentes electrónicos, o de cilindros de los motores de motocicletas y podadoras, así como de los tubos del condensador de un refrigerador domestico.
Figura 10
Parámetros para el análisis
Diferencia de Temperaturas ( ):^ ( x )^ T^ ( x ) T
Máxima Diferencia de Temperaturas ( ):^ b ^ Tb T
Donde:
: Temperatura del fluido
: Temperatura de la base
En la figura 11 se indican los parámetros y su ubicación en una aleta.
Análisis de una aleta
Haciendo un balance de energía para la aleta que se muestra en la figura 11 se tiene la siguiente ecuación diferencial:
2 ^ ^0
2
hPT T
dx
d T
K C
Resolviéndola se obtienen los siguientes casos que nos sirven para obtener la transferencia de calor de una aleta, así como también su distribución de temperaturas:
Caso A: Aleta con Convección en el extremo Todas las aletas están expuestas a convección desde el extremo, excepto cuando el mismo se encuentre aislado o su temperatura sea igual a la del fluido. Para este caso se tiene:
Transferencia de calor de la aleta ( ):
Distribución de Temperaturas:
Coeficiente de Convección
: Área de sección transversal
: Perímetro del área de sección transversal
: Conductividad térmica de la aleta
Figura 11
DESEMPEÑO DE UNA ALETA
Se sabe que las aletas se utilizan para aumentar la transferencia de calor de una fuente porque acrecientan el área efectiva de superficie, pero la aleta como tal representa una resistencia a la conducción del calor, por eso no hay seguridad de que la aleta aumente la transferencia de calor por ello se define la efectividad y eficiencia de una aleta como:
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA ( ):
La efectividad de una aleta se determina con la ecuación:
Ab: Aréa de contacto entre la base y la aleta
La cual compara la transferencia de calor de la aleta con la transferencia de calor que
existiría si la aleta no estuviera ( ) como se indica, por ejemplo, en la figura 13.
EFICIENCIA DE UNA ALETA ( ):
La eficiencia de una aleta es la relación que existe entre el calor que se transfiere de
una aleta con condiciones determinadas, y la transferencia de calor máxima ( ) que existiría si esa aleta estuviera a la máxima temperatura (la temperatura de la base).
: Área de superficie de la aleta que se expone a convección
ARREGLO DE ALETAS:
Cuando sobre una superficie se agregan dos o más aletas estamos en presencia de un arreglo, para este tipo de caso puede definirse una eficiencia global que involucra la disipación de calor desde las aletas y desde la superficie, en este tipo de sistema es necesario definir una eficiencia global.
Eficiencia Global
En contraste con la eficiencia de una aleta, que caracteriza el rendimiento solo de una aleta, la eficiencia global caracteriza a varias aletas similares y a la superficie base a la que se unen, por ejemplo los que se muestran en la figura 14.
Figura 13
Figura 14
La eficiencia global se determina por medio de:
Donde:
La máxima transferencia de calor es el caso ideal y resultará posible si toda la
aleta, así como la superficie base se mantuvieran a , siendo esta la temperatura de la base y la máxima temperatura en el sistema.
La transferencia de calor total es lo que realmente ocurre cuando las aletas y la parte de base que no posee aletas se exponen a convección, pudiéndose determinar esta transferencia de calor como sigue:
,
Donde:
En la figura 14 puede observarse la disipación de calor por las aletas y por la base en un arreglo de aletas, lo cual lleva directamente a suponer que determinando la transferencia de calor desde la base (espacios sin aletas) y de una aleta que al
multiplicarlo por N aletas se obtiene la transferencia de calor total. Pero esa es solo
una forma para analizar arreglos de aletas, también se pueden plantear circuitos
térmicos que permitan determinar de una manera alterna.
Circuitos Térmicos para Arreglos de Aletas:
Los circuitos térmicos para arreglos de aletas siguen el mismo principio que se trató previamente, el cual consiste en plantear el conjunto de resistencias térmicas presentes en un sistema de acuerdo a cada mecanismo o forma de transferencia de calor, como se muestra a continuación:
: Transferencia de calor total desde las aletas y la base (espacios libres de aletas) : Máxima transferencia de calor suponiendo temperatura uniforme en todo el sistema. : Área total del arreglo que se expone a la convección (espacios libres de aletas y área superficial de todas las aletas)
: Cantidad de aletas en el arreglo : Calor de una aleta
: Calor disipado desde los espacios libres de aletas.
PROBLEMAS RESUELTOS:
1. Considere un tubo de vapor de agua de longitud L=15ft, radio interior r 1 =2in, radio exterior r 2 =2,4in y conductividad térmica de 7,2BTU/h.ft.oF. El vapor fluye por el tubo a una temperatura promedio de 250 oF y en el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección sobre la superficie interior es de 12,5 BTU/h.ft.oF. Si la temperatura de la superficie exterior del tubo es de 160 oF. a) Obtenga una relación para obtener la distribución de temperaturas en la pared cilíndrica resolviendo la ecuación diferencial. b) Evalúe la razón de la pérdida de calor del vapor.
Se busca determinar primeramente una ecuación que permita obtener el valor de la temperatura en cualquier punto del espesor de la pared.
En una pared cilíndrica la variación (disminución) de la temperatura ocurre en la dirección radial, es decir, a medida que aumente el radio disminuye la temperatura.
Para el de debe verificar lo siguiente:
- El tipo de Pared
- Si existe generación de calor en la pared
- Si las condiciones son estables o transitorias
En este caso se tiene una pared cilíndrica, en condiciones de estado estable sin generación, por ello la ecuación representativa de la conducción de calor en el sistema es:
^0
dr
rdT dr
d
Seguidamente se plantean las condiciones de frontera. En la parte interior del tubo fluye vapor el cual proporciona la temperatura más alta del sistema y por ende, es quien perderá calor al exterior pasando a través de la pared del tubo. Inicialmente entre el vapor y la superficie interior del tubo ocurre una convección y luego entre las superficies interior (en r 1 ) y exterior (en r 2 ) del tubo, la transferencia de calor es por conducción. De tal manera que las condiciones de frontera que caracterizan el sistema son:
En r 1 : k (^)
dT r dr
h T T r
( ) (^1) [ ( 1 )]
En r 2 : T r ( 2 (^) ) T 2 160 F
De la superficie exterior (en r 2 ) solo se conoce la temperatura y no se tiene suficiente información para presumir que hay algún fluido adyacente exterior y considerar que existe convección y/o radiación hacia los alrededores.
Integrando la ecuación diferencial en función de r se tiene:
r dT dr
C 1
Sucesivamente en la segunda integración se obtiene:
dT dr
C r
1
T r ( ) C 1 ln r C 2 (SOLUCIÓN GENERAL)
A partir de la solución general se puede obtener la distribución de temperaturas en la pared cilíndrica del sistema, pero es necesario obtener los valores de las constantes de integración C 1 y C2.
r = r 1 : k (^)
C r
(^1) h T C r C 1
[ ( 1 ln 1 2 )]
r = r 2 : T r ( 2 (^) ) C 1 (^) ln r 2 (^) C (^) 2 T 2
Resolviendo simultáneamente para C 1 y C 2 , se tiene:
C
T T r r
k hr
C T C r T
T T r r
k hr
1 2 r 2 1 1
(^2 2 1 2 2 )
1 1
(^2)
ln
ln ln
and ln
Luego sustituyendo C 1 y C 2 en la solución general se obtiene la ecuación para determinar la distribución de temperaturas en cualquier punto de la pared del tubo:
160 F
- 4 in
160 F 24. 74 ln
- 4 in
ln
( 12. 5 Btu/h ft F)( 2 / 12 ft)
- 2 Btu/h ft F 2
ln^2.^4
( 160 250 )F
ln ln
( ) ln ln (ln ln )
2
2 2 1 1
2
2 1 2 1 2 1 2 2
r r
T r
r
hr
k r
r
T T Tr C r T C r C r r T
Luego se pide determinar la razón de pérdida de calor del vapor. Partiendo de la Ley de Fourier y adaptando el gradiente de temperatura de dt/dx a dt/dr , puesto que la pared es cilíndrica y la disminución de la temperatura ocurre en la dirección radial. Se tiene lo siguiente:
16,800Btu/h
( 12. 5 Btu/hft F)( 2 / 12 ft )
- 2 Btu/hft F 2
ln^2.^4
2 ( 15 ft)( 7. 2 Btu/hft F) (^160250 )F
ln
( 2 ) 2
2
1 1
2
1 2
hr
k r
r
T T Lk r
C k rL dr
dT Q kA
3. Dos tubos de hierro fundido (K=52 W/moC) de 3m de largo, 0,4cm de espesor y 10cm de diámetro que conducen vapor de agua están conectados entre sí por medio de dos bridas de 1cm de espesor cuyo diámetro exterior es de 20cm. El vapor fluye en el interior de tubo a una temperatura promedio de 200oC con un coeficiente de transferencia de calor de 180W/m2oC. La superficie exterior del tubo está expuesta a un ambiente a 12 oC con un coeficiente de convección de 25 W/m2oC. a) Si se descartan las bridas determine la temperatura promedio de la superficie exterior del tubo. B) Con esta temperatura para la base de la brida y si se consideran a las bridas como aletas, determine la eficiencia de la aleta y la razón de la transferencia de calor desde ellas.
Se tienen dos tubos de 3m de longitud cada uno, los cuales están unidos por medio de dos bridas que en conjunto funcionan como una aleta. Inicialmente se pide determinar la temperatura de la superficie exterior de los tubos, considerando que las bridas no existen, es decir, suponer que se tiene un tubo completo de 6m de largo.
Para determinar la temperatura de la superficie exterior del tubo, es necesario plantear un circuito térmico donde se representen las resistencias presentes en el sistema, obteniendo:
En la parte interior existe una resistencia por convección Rconvi entre el vapor que fluye y la superficie interna del tubo, luego a través del espesor del tubo existe una resistencia a la conducción R cond y seguidamente encontramos una resistencia a la convección Rconve entre la superficie exterior del tubo y el aire ambiental. Determinando cada una de las resistencias individualmente se tiene:
A D L A D L
i i o o
(. (. (. (.
0 092 6 173 01 6 188
m) m) m m) m) m
2 2
0. 0213 C/W
( 25 W/m.C)( 1. 88 m )
0. 00004 C/W
2 ( 52 W/m.C)( 6 m)
ln( 5 / 4. 6 )
ln( / )
0. 0032 C/W
( 180 W/m.C)( 1. 73 m )
conve 2 2
2 1 cond
convi 2 2
o o
i i
h A
R
kL
r r
R
hA
R
R total R convi R cond R conve 0. 0032 0. 00004 0. 0213 0. 0245 C/W
Con la resistencia total se determina la transferencia de calor total en el tubo.
7673 W
0.0245 C
( 200 12 )C
total
R
T T
Q
Rconv i R cond Rconv e T 1 T 2 T 1 T 2
En condiciones de estado estable la transferencia de calor total puede considerarse constante en todo el circuito térmico, por lo tanto relacionando una temperatura conocida, en este caso con la temperatura desconocida y la resistencia térmica representativa entre esas dos temperaturas se tiene:
^2 2 conve 12 C ( 7673 W)( 0. 0213 C/W) 174.
conve
2 2 T T QR
R
T T
Q
Adicionalmente se pide determinar la eficiencia de las bridas suponiendo que forman una aleta, en este caso de tipo anular de perfil rectangular.
La eficiencia puede determinarse gráficamente:
88
29 ( 52 W/mC)(0.02m)
m^25 W/m C 2
05 m^0.^02 2
23
05
2
- 1 0.^02 2 fin
o
2 o
1
2
^
^
kt
L t h
r
r t
A fin (^) 2 ( r 2^2 r 1^2 ) 2 r t 2 2 [(. 01 m) 2 ( .0 05 m) 2 ] 2 (. 01 m)(0.02 m) 0 0597. m^2
La razón de transferencia de calor desde la aleta es:
214 W
- 88 ( 25 W/m .C)( 0. 0597 m )( 174. 7 12 ) C
( ) 2 2
Q finned (^) (^) fin Q fin,m ax fin hA fin Tb T
Gráficas para Cálculo de la Eficiencia de aletas simples:
