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Taller de Matem´atica Computacional - TUDAI/TUARI Trabajo Pr´actico 3 - 2025 Funciones
Ejercicios indispensables
- Dada la funci´on f (x) =
x^2
a) Completar el siguiente diagrama f : → b) ¿Cu´ales son el dominio y la imagen de esta funci´on?
- Sea f (x) = − 2 x^3 + 5x^2 − x + 2. Calcular f (−2), f (^14 ), f (x^2 ), f (x − h) y f (x) − f (h).
- Dados los siguientes pares de funciones, calcular: f +g, f −g, f ∗g, fg. Determinar dominio e imagen de cada funci´on resultante:
a) f (x) = −1 + x^2 , g(x) = 1 + x b) f (x) = (^) x−^12 , g(x) = x^2
c) f (x) = cos(x), g(x) = sin(x)
- La siguiente funci´on indica el voltaje (V ) en una fase en funci´on del tiempo t en segundos: V (t) = 220 ∗ sin(100πt)
a) Que propiedad de la funci´on nos permite conocer el rango de voltajes que tendr´a esta fase? b) Cual es el voltaje m´ınimo posible? c) Se puede saber el tiempo en que se realiz´o una medici´on solo con el valor de voltaje observado? Por qu´e?
- Decidir si existen las funciones f ◦ g y/o g ◦ f. En caso de existir, determinar la funci´on composici´on:
a) f (x) = x^3 , g(x) = x^2 b) f (x) =
x, g(x) = 1 + x^3
c) f (x) = (^1) x , g(x) = 3x
- Determinar cu´ales de las siguientes aplicaciones corresponden a funciones inyectivas, sur- yectivas o biyectivas. Justificar. Nota: Todas las funciones est´an definidas de los reales hacia los reales, (R → R).
a) f (x) = x − 10. b) Toda funci´on lineal con dominio en los reales. c) La aplicaci´on g : M → H que asigna a cada perra con su cachorro, donde H es el conjunto de todos los cachorros y M el conjunto de todas las madres. d ) f (x) = x^2 − 2. e) Toda funci´on cuadr´atica con dominio en los reales. f ) f (x) = x x+1− 2 g) f (x) = ex
- Se necesita una funci´on que indique la suma de solicitudes que atendi´o un servidor luego de un reinicio seg´un el tiempo transcurrido.
a) Que dominio e im´agen deber´ıa tener esta funci´on? b) Debe ser creciente, decreciente o constante? c) Cual de las siguientes funciones es la m´as apropiada?
- A(t) = ⌊ 15 t^2 + 1⌋
- B(t) = ⌊ 15 ln(t + 1)⌋
- C(t) = ⌊ 15 ⌋
- D(t) = ⌊ 15 − 1 / 2 t⌋
- Dadas las siguientes funciones definidas de los reales en los reales, (R → R), decidir cu´ales son inyectivas, suryectivas o biyectivas. Justificar en cada caso.
a) f (x) = 3x − 1 b) f (x) = (^) x (^21) + c) f (x) =
x − 1 d ) f (x) = ln(x − 2)
e) f (x) = 3 cos(2x) + 1 f ) f (x) = 8 sin(x − π 2 ) g) f (x) = 2x^2 + 5x − 4 h) f (x) = 2ex^ − 1
- Para cada una de las funciones anteriores, analizar: dominio, imagen, ra´ıces, ordenada al origen, conjuntos de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y de decreci- miento. Realizar su representaci´on gr´afica utilizando GeoGebra.
- Dadas las siguientes funciones definidas a trozos, analizar dominio, imagen, ra´ıces, or- denada al origen, conjuntos de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Realizar una representaci´on gr´afica.
a) f (x) =
x^2 − 4 , x < 3 2 x − 1 , x ≥ 3 b) f (x) =
32(√^12 )x, x < 5 x − 4 , x ≥ 5
- La familia de funciones parte entera agrupa a funciones de la forma f (x) : R → Z, satisfaciendo la condici´on |x − f (x)| < 1. Estas funciones permiten, dado un numero con parte fraccionaria, obtener su parte entera. Existen al menos 4 funciones posibles:
Piso: (floor) a cada n´umero real asigna el n´umero entero m´as pr´oximo por defecto, es decir, el mayor n´umero entero igual o menor que ese n´umero real. Ej: a 2,2 le corresponde 2, a 2,9 le corresponde 2, a − 3 ,1 le corresponde −4. Se nota f (x) = ⌊x⌋. Techo: (ceil) a cada n´umero real asigna el n´umero entero m´as pr´oximo por exceso, es decir, el mayor n´umero entero igual o mayor que ese n´umero real. Ej: a 2,2 le corresponde 3, a 2,9 le corresponde 3, a − 3 ,1 le corresponde −3. Se nota f (x) = ⌈x⌉. Truncamiento: se ignora la parte decimal. Redondeo: se asigna el entero m´as pr´oximo seg´un su parte decimal.
a) Grafique cada una de las funciones y compare sus gr´aficas. b) Definir la funci´on truncamiento a partir de la funci´on piso. c) Decir si cada una de las funciones son inyectivas, suryectivas o biyectivas. Justifique.
- Analizar dominio, imagen, amplitud, frecuencia, per´ıodo y ´angulo de fase de las siguientes funciones trigonom´etricas, en un solo per´ıodo:
a) f (x) = (^) x−^12 , g(x) = x^2 b) f (x) = ln(x), g(x) = sin(x)
