Teoría y problemas resueltos paso a paso, Ejercicios de Física

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Daniel García Velázquez

Departamento de Física y Química

1º Bachillerato

Teoría y Problemas

resueltos paso a paso

MAGNITUDES.

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DIMENSIONAL

Sistema Internacional de Unidades (S.I) Magnitud fundamental Símbolo Unidad Símbolo

Longitud L Metro m Masa M Kilogramo kg Tiempo T Segundo s Intensidad de corriente I Amperio A

Temperatura θ Kelvin K Cantidad de sustancia N Mol mol Intensidad luminosa J Candela cd

Magnitud es todo aquello que puede ser medido. Por ejemplo una longitud, la temperatura, la intensidad de corriente, la fuerza… etc.

Medir una magnitud consiste en compararla con otra de la misma especie (elegida arbitrariamente) llamada unidad y ver cuantas veces está contenida dicha unidad en la magnitud medida.

Ejemplo. Si tratamos de medir la longitud de una mesa (magnitud), deberemos primero elegir una unidad de medida y ver después cuántas veces esa unidad está contenida en la magnitud a medir. El resultado de la medida debe ser, por tanto, el resultado numérico y la unidad empleada en la medición.

Para medir la longitud de la mesa se ha elegido como unidad de medida “el boli”. Miramos cuántas veces el bolígrafo está contenido en la mesa. El resultado es 7 bolis.

Aunque existe un número muy grande de magnitudes y se puede elegir para su medida una cantidad enorme de unidades, la medida de cualquier magnitud se reduce a la medida de un número muy pequeño de magnitudes llamadas magnitudes fundamentales. El Sistema Internacional de Unidades (S.I.), creado en 1960, es el sistema mundialmente aceptado. Está basado en el Sistema Métrico y consta de siete magnitudes fundamentales y sus correspondientes unidades de medida (todas basadas en fenómenos físicos fundamentales, excepto la unidad de masa: el kilogramo)

Obtener la ecuación de dimensiones de una magnitud derivada es expresar ésta como producto de las magnitudes fundamentales. Para obtener la ecuación dimensional de una magnitud derivada:

• Deberemos partir de su ecuación de definición.
• Hay que manipular la ecuación de definición hasta lograr que se pueda expresar en función de las magnitudes fundamentales.

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

A

B

2. Trazar por el extremo

de B una paralela a A

1.Trazar por el extremo de A una paralela a B

3. Trazar la diagonal del paralelogramo para obtener el vector suma o resultante.

Magnitudes escalares y vectoriales La gran variedad de cosas medibles (magnitudes) se pueden clasificar en dos grandes grupos:

• Magnitudes que sólo requieren dar su valor. Por ejemplo 5,0 g ; 25 0 C ; 54,65 s… Son las llama- das magnitudes escalares.
• Magnitudes que para estar correctamente especificadas se requiere conocer: Su valor o módulo. Su dirección (representada por una recta) Su sentido (que se representa por una punta de flecha) Son las llamadas magnitudes vectoriales que usan para su representación flechas o vectores. Son ejemplos de éstas la velocidad, la aceleración o las fuerzas.

Producto de un escalar (número) por un vector Es un vector :

• De módulo el producto del número por el módu- lo del vector.
• Dirección, la del vector.
• Sentido, el mismo del vector si el número es positivo y contrario si es negativo. Al multiplicar un número por un vector obtenemos otro vector de la misma dirección y sentido que el primero (si el número es positivo), pero mayor o más pequeño. O bien, un vector (mayor o más pequeño) que apunta en sentido contrario al dado (si el número es negativo)

Ejemplos:

v

3 v

0,5 v

− 2 v

Suma de vectores Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante). Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como “regla del paralelogramo”. Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma. El vector suma produce el mismo efecto actuando solo que los vectores y actuando a la vez.

Igualdad de dos vectores:

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

S

B

A

B

A

Unir los extremos de ambos vectores (dirección) y trazar la flecha (sentido) del sustraendo al minuendo.

Resta de vectores Al restar dos vectores se obtiene otro vector. Para obtener el vector resta o diferencia se puede usar la regla del paralelogramo, teniendo en cuenta que la diferencia puede ser considerada como la suma de un vector y su opuesto: B − A = B + (^) ( −A)

• A

B

A

1. Obtener el vector ( - A)

2. Sumar B + ( - A)

… aunque existe un procedimiento abreviado:

Si los vectores son perpendiculares:

A

B

S = A +B

Construir el paralelogramo y trazar la diagonal

Para SUMAR Para RESTAR

Unir los extremos de ambos vectores y asignar como sentido del vector diferencia el que va del sustraendo al minuendo.

B

A

 D 1 = A −B

Observa que ya que son vectores que tienen el mismo módulo, la mis- ma dirección, pero sentidos contrarios.

A − B ≠ B −A

A

B

D 2 = B −A

Tanto para la suma como para la resta. Si queremos obtener el valor del vector re- sultante, tendremos que hacer:

S 2 = A 2 + B^2 ; S = A 2 +B^2

D^2 = A 2 + B 2 ; D = A^2 +B^2

D

Si queremos saber el ángulo que forma con el eje x podemos utilizar la función tangente:

A

B

A A

tg ; invtg

B B

La notación en función de los vectores unitarios da una gran información y facilita muchísimo el cálculo con vectores.

El vector , es un vector cuyo módulo vale: v = 4 2 + 32 = 25 y que forma un ángulo con el

eje x de:

v = 4 i +3 j

tg 3 0,75 ; inv tg (0,75) 36,87^0

X

Y

i



j



4i



3j



7i



v 1 = 4 i +3 j

v 2 = 7 i + j

X

Y

j



4i



3j



7i



Imaginemos dos vectores concurrentes en el origen expresados en función de los vectores unitarios…

Su suma, se obtendrá trazando el paralelogramo co- rrespondiente. Al hacerlo observamos que el vector resultante tiene por componente x el vector:

y por componente y el vector:

Por tanto el vector suma tendrá por componentes:

Para sumar vectores, se suman sus componentes:

De forma análoga podríamos concluir que para restar vectores, se restan sus componentes:

v x= 4 i + 7 i =11i

v y= 3 j + j =4 j

S = 11i +4 j

D = v 1 − v 2 = (^) ( 4 i + 3 j (^) ) − (^) ( 7 i + j) = − 3 i +2 j

S = v 1 + v 2 = (^) ( 4 i + 3 j (^) ) + (^) ( 7 i + j) = 11i +4 j

j

 i

 k



X

Y

z

6 i



8 k



3 j



S = 6 i + 3 j +8 k

Para trabajar en tres dimensiones solamente hay que definir un tercer vector unitario (k) orien- tado según el eje Z.

Cualquier vector puede entonces ser expre- sado como suma de sus tres componentes. La suma y resta se realizan de forma análo- ga a lo visto en dos dimensiones. Para cal- cular el módulo:

S = 62 + 32 + 82 =10,

MOVIMIENTO UNIFORME

Un cuerpo se mueve con movimiento uniforme si La constancia del vector velocidad, implica que se mantenga invariable en módulo (valor), dirección y sentido. Por tanto, cuando un cuerpo se mueve con movimiento uniforme el valor de la velocidad no varía y su trayectoria es una línea recta.

v =cons tan te

Vector velocidad.

Para fijar la posición de un punto que se mueve se utiliza un vector, llamado vector de posición , que tiene el origen en el origen de espacios y su extremo coincide con la posición del punto.

Vector de posición

r

r r 2 r 1

r 1

r 2

El vector de posición varía cuando el punto se mueve

r 1

r 2

r r 2 r 1

v

v

r 1

r 2

r r 2 r 1

Definimos el vector velocidad en la forma:

Como es producto de un número, , por un vector, ,

el vector tendrá la dirección y sentido de

Notar que el módulo del vector coincide con el espacio

recorrido por el móvil medido sobre la trayectoria.

r 1

v r

t t

∆t

∆r

v

∆r

∆ r

Ecuaciones del movimiento Las ecuaciones para el movimiento uniforme son:

Como el movimiento tiene lugar según una línea recta, podemos prescindir de la notación vectorial y escribir: V = cte s = s 0 + v t

… pero siempre teniendo en cuenta que tratamos con magnitudes vectoriales:  El signo nos indica el sentido.  s nos da la distancia al origen (módulo del vector de posición), no el espacio recorrido.

v =cte.

r = r 0 +v t

Para escribir la ecuación correspondiente a un movimiento rectilíneo y uniforme :

 Determina el valor de s 0.  Determina el valor de la velocidad  Adapta las ecuaciones generales del movimiento al caso particular que estudias poniendo los valores de s 0 y v.

Ejemplo 1. Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 3 m/s, se encuentra situado a 15 m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe las ecuaciones que describen su movimiento:

Solución: Ecuaciones generales para el movimiento. rectilíneo y uniforme:

Valores de s 0 y v para este caso: s 0 = 15 m ; v = 3 m/s

Ecuaciones particulares para este movimiento:

Ejemplo 2. Un cuerpo se mueve hacia el origen con velocidad constante de 2,3 m/s. Si inicialmente se encuentra a una distancia de 100 m de éste ¿cuánto tiempo tardará en pasar por él? Esquema del movimiento:

Ecuaciones generales para el mov. rectilíneo y uniforme:

Valores de s 0 y v para este caso: s 0 = 100 m ; v = - 2,3 m/s

Ecuaciones particulares para este movimiento:

Cuando pasa por el origen s = 0, luego: 0 = 100 – 2,3 t ;

v = cte. s = s 0 + v t

v = 3 s = 15 + 3 t

Origen

100 m

v = cte. s = s 0 + v t

v = - 2, 3

s = 100 – 2,3 t

43 , 5 s 2 , 3

t = =

Ejemplo 3.

Se ha estudiado el movimiento de un cuerpo obteniéndose como resultado la gráfica que se muestra. a. ¿Cuáles son las ecuaciones que describen su movimiento? b. ¿A qué distancia del origen se encuentra cuando pasen 5,4 s?

Solución: Ecuaciones generales para el mov. rectilíneo y uniforme:

Valores de s 0 y v para este caso: s 0 = 10 m (leído en la gráfica: punto de corte con el eje vertical) Para saber el valor de la velocidad se calcula la pendiente de la recta. Para ello se toman dos puntos de lectura fácil (ver gráfica) y se calcula la pendiente de la siguiente manera:

Ecuaciones particulares para este movimiento:

Valor de s cuando t = 5,4 s : s ( t =5,4) = 10 + 6,7. 5,4 = 46,2 m

s (m)

t (s)

v = cte. s = s 0 + v t

s (m)

t (s)





( ) ( ) (^) s

m 6 , 67 1 , 5 0 s

20 10 m v = −

v = 6,

s = 10 + 6,7 t

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

1 m (^) 4 m 9 m 16 m 25 m

1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s

36 m 49 m

25 m 36 m

5 s 6 s

La pregunta no es fácil de contestar si pensamos cómo calculamos la velocidad (en realidad su módulo): Observamos el móvil durante cierto tiempo y dividimos el espacio recorrido entre el tiempo que ha tar- dado en recorrerlo. Esto implica que hemos de tomar un intervalo de tiempo (por ejemplo: 1 s), pero como su velocidad varía, lo que realmente estamos calculando será la velocidad media entre el instan- te t = 5,0 y t = 6,0 s. Esto es, la velocidad constante a la que debe moverse el móvil para recorrer el espacio considerado en el mismo tiempo.

Si consideramos un cuerpo que se mueve con velocidad variable ¿Cómo podemos calcular el valor de la velo- cidad en un instante determinado (por ejemplo para t =5 s)?

¿Qué ocurrirá si hacemos más pequeño el intervalo de tiempo? Seguiremos calculando una velocidad media, pero el resultado se aproximará más al valor buscado.

Podemos reiterar el procedimiento e ir estrechando cada vez más el intervalo de tiempo. De esta manera va- mos obteniendo el valor de la velocidad media entre dos puntos que están cada vez más próximos y, en consecuencia, el valor obtenido se ira aproximando más y más al que la velocidad tendría en el instante t = 5 s. ¿Qué ocurriría si lográsemos calcular esta velocidad media entre dos puntos infinitamente próximos? Entonces obtendríamos la velocidad en el instante t = 5 s, con un error infinitamente pequeño (infinitesimal). Esto se pue- de lograr mediante un procedimiento matemático denominado “paso al límite”, que forma parte del llamado cálculo infinitesimal.

( − )

m=^ =

36 25 m m

v 11

1s s

25,00 m

5, 5 s

30, 25 m

5,0 s

( − )

m=^ =

30,25 25,00 m m

v 10,

0,50 s s

25,00 m

5, 01 s

25,10 m

5,00 s

t 0

s ds

v lim

t dt

∆ →

Usemos ahora vectores para poder dar una definición completa del vector velocidad (media e instantánea).

Cuando un móvil se desplaza, desde un punto1 a otro 2, el vec- tor de posición toma los valores y (ver figura ). El vector se llama vector desplazamiento. El vector velocidad media se define entonces como:

r 2

r 1

r r 2 r 1

v m



r 1

r 2

r r 2 r 1

   ∆ = −

5,000 s 5, 001 s

25,00 m 25, 01m

Se lee: “límite de incremento de s, dividido por incremento de t, cuando incremento de t tiende a cero” o (segunda igualdad) “deri- vada de s respecto de t”.

( − )

m=^ =

25,10 25,00 m m

v 10,

0,01s s

( − )

m=^ =

25,01 25,00 m m

v 10,

0,001s s

Velocidad instantánea (módulo):

es el espacio reco- rrido medido sobre la trayectoria.

es el módulo del vector

∆ r ∆r

m

r 1

v r

t t

El vector velocidad media viene dado por tanto como producto de un número, , por un vector,. El resulta- do será un vector:

• De módulo. Como coincide con el espacio recorrido ( ), podemos decir que su módulo es ( rapidez con que se recorre el espacio).
• Su dirección y sentido son los de ∆r

r

t

∆t

∆r

∆ r ∆s^

s

t

v m



r 2

r r 2 r 1

   r (^1) ∆ = −

∆ s

Si la trayectoria es una curva, hemos de hacer algu- nas (importantes) consideraciones:

• ∆r ≠ ∆s (ver figura).
• El cociente t

s ∆

o rapidez, ya no es el módu-

lo de la velocidad media.

• Por tanto, (^) m

s

v

t

∆ r

Concepto de aceleración Si estamos estudiando el movimiento de un cuerpo que varía su velocidad, necesitamos definir una magnitud que nos dé la rapidez con la cual varía la velocidad. Esta magnitud es la aceleración. Se define el vector aceleración: ( 2 1 )

2 1

v v v

a

t t t

Nota Realmente la expresión dada anteriormente, define el vector aceleración media. Si el movimiento considerado es tal que la ace- leración no es constante, deberíamos distinguir entre aceleración media e instantánea, que se definiría de una manera análoga a lo hecho en el caso de la velocidad:

t 0

v dv

a lim

t dt

∆ →

Moviendo uniformemente acelerado

Un cuerpo se mueve con movimiento uniformemente acelerado si:

La constancia del vector aceleración, implica que se mantenga invariable en módulo , dirección y sentido.

a =cons tan te

¿Cómo se mueve un objeto para el cual?

La pregunta no es fácil de responder, ya que la trayectoria seguida depende del vector velocidad inicial.

Veamos algunos ejemplos:

a =cons tan te

Objeto que se lanza hacia arriba con un cierto ángulo.

El vector velocidad inicial forma un ángulo α con la horizontal. El vector aceleración (aceleración de la gravedad) es constante en módulo (10 m/s 2 ), dirección (perpendicular al suelo) y sentido (hacia abajo).

X

Y

v 0

a

Objeto que se lanza paralelamente al suelo. El vector velocidad inicial es paralelo al suelo. El vector aceleración (aceleración de la gravedad) es constante en módulo (10 m/s 2 ), (^0) dirección (perpendicular al suelo) y sentido (hacia abajo).

v

a

X

Y

a

a

v 0

Objeto parado que comienza a acelerar hacia la derecha. El objeto se moverá en línea recta alejándose cada vez a más velocidad.

Objeto que se mueve inicialmente hacia la izquierda, some- tido a una aceleración hacia la derecha. El objeto se mueve en línea recta e irá disminuyendo su veloci- dad hasta que se pare y luego comenzará a moverse con velo- cidad creciente hacia la izquierda.

Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado

Un cuerpo se moverá con movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado si y su velocidad inicial es nula (v 0 = 0) o tiene la misma dirección que el vector aceleración.

Si se cumplen estas condiciones el cuerpo se mueve variando su velocidad de manera uniforme (siempre la mis- ma cantidad en la unidad de tiempo) y la trayectoria descrita será una línea recta.

a =cte.

Observa que en el mismo intervalo de tiempo (1 s) cada vez recorre más espacio, ya que la velocidad va aumentando.

1 m 4 m 9 m 16 m 25 m

1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s

36 m 2 m/s 4 m/s 6 m/s 8 m/s (^) 10 m/s 12 m/s

La velocidad aumenta siempre lo mismo en 1 s. La aceleración es constante. La velocidad aumenta linealmente con el tiempo.

Ecuaciones del movimiento

Como el movimiento tiene lugar según una línea recta podemos prescindir de la notación vectorial y escribir sencillamente:

s = s 0 + v 0 t + ½ a t 2 v = v 0 + a t

Donde:

v 0 = velocidad cuando t =

s0 = distancia al origen cuando t =

s = distancia al origen (puede que no coincida con el espacio recorrido)

t = 0, indica cuando empieza a contarse el tiempo ( cuando se pone en marcha el cronómetro).

v = v 0 +a t

2 0 0

r r v t a t

La gráfica v - t es una recta. La inclinación de la recta depende de la aceleración. Para calcular v 0 hay que determinar el punto de corte de la recta con el eje “v”

Para calcular la aceleración del movimiento, hay que calcular la pendiente de la recta

La gráfica s/t es una parábola. La aceleración es positiva si la parábola se abre hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo. Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor aceleración. El desplazamiento inicial s 0 se determina viendo el pun- to de corte con el eje “s”.

s

t

a 2 a 1

a 2 > a 1

s 0 = 0

v 2

v 1

t

t

v

a

∆ v= v 2 – v 1

∆ t= t 2 – t 1

v

t 1 t 2

Si t = 5,3 s ; v = 20 – 5. 5,3 = - 6,5 m /s (el signo menos indica que se desplaza hacia la izquier- da; después de frenar ha dado la vuelta)

Ejemplo 2

Un cuerpo parte del reposo y comienza a moverse. Los datos tomados se recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de movimiento tiene y de- terminar las ecuaciones para el mismo. Solución: Como se observa en la tabla adjunta el espacio recorrido no varía lineal- mente con el tiempo. Esto es: en el intervalo de un segundo recorre cada vez más espacio. Esto indica que su velocidad va aumentando. Si se tra- ta de un movimiento uniformemente acelerado el aumento de velocidad, o lo que es lo mismo, su aceleración, será constante.

t( s) s ( m) 0 10 1 13 2 22 3 37 4 58 5 85

Si el movimiento es uniformemente acelerado deberá cumplir la ecuación: s = s 0 + v 0 t + ½ a t 2 . Como en este caso v 0 = 0, la ecuación quedará: s = s 0 + ½ a t^2.

Despejando a : (^20)

a t s s 2

( 0 ) 2

2 s s a t

Usando la ecuación anterior vamos probando con datos correspondientes de t y s comprobamos si el valor de a es constante:

( ) 2 2 2

2 13 10 m (^) m a 6 1 s s

( ) 2 2 2

2 22 10 m (^) m a 6 2 s s

( ) 2 2 2

2 37 10 m (^) m a 6 3 s s

Estamos ante un movimiento uniformemente acelerado con (^2) m a 6 s

Para obtener las ecuaciones determinamos el valor de v 0 y s 0 : v 0 = 0 , ya que nos lo dicen en el enunciado s 0 = 10 m, ya que es el valor de s cuando t = 0 (ver tabla). Ecuaciones:

Ejemplo 3

Una piedra es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad de 15 m/s. Determinar: a) Ecuaciones del movimiento. b) Altura máxima alcanzada. c) Valor de la velocidad cuando t = 0,8 s y t = 2,3 s. Comentar Solución: Esquema: Origen : el suelo (punto de lanzamiento) Sentido positivo : hacia arriba Determinación de v 0 : ¿cuál es la velocidad cuando t = 0? El tiempo empieza a contar cuando la piedra sale de la mano. Luego v 0 = 15 m/s Determinación de s 0 : ¿a qué distancia del origen está la piedra cuando t =0? Cuando se lanza la piedra está en el punto de lanzamiento (origen). Luego s 0 = 0

Determinación del valor de a : a = g = - 10 m /s2.^. El signo menos se debe a que la

aceleración apunta hacia abajo y hemos considerado sentido positivo hacia arriba. a ) Ecuaciones:

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

v = 6 t s = 10 + 3 t 2

2

m g 10 s

m v 15 s

v = 15 – 10 t s = 15 t – 5 t 2

Traducción al lenguaje ecuación: ¿para que valor de t, v = 0? (ya que en el punto de altura máxima la piedra se detiene durante un instante)

Si v = 0 ; 0 = 15 – 10 t ;

t 1,5 s 10

= =. Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

Para calcular la altura máxima alcanzada calculamos la distancia a la que se encuentra del origen cuan- do t = 1,5 s:

s = hmax = 15. 1,5 – 5. 1,5 2 = 11,25 m. c) Valores de la velocidad: v (^) (t = 0,8) = 15 – 10. 0,8 = 7 m/s v (^) (t = 2,3) = 15 – 10. 2,3 = - 8 m/s Como se puede observar al cabo de 0,8 s del lanzamiento la piedra aún está en la fase ascendente, ya que el signo de la velocidad es positivo (sentido positivo: hacia arriba). Como se ve su velocidad va dis- minuyendo, debido a que durante el tramo de ascenso la aceleración lleva sentido contrario a la veloci- dad (movimiento decelerado) Al cabo de 2,3 s la piedra se mueve hacia abajo. El signo es negativo: sentido hacia abajo. Efectivamen- te, a los 1,5 s alcanza la altura máxima, y como la aceleración continúa actuando, comienza su carrera de descenso, pero esta vez al tener el mismo sentido aceleración y velocidad, ésta aumenta.

Ejemplo 4.

La gráfica de la izquierda se ha obtenido tras estudiar el movimiento de un cuerpo. a) ¿Qué tipo de movimiento tiene? b) ¿Cuáles son sus ecuaciones? c) ¿Qué sucede para t = 5 s?

a) La gráfica v – t es una recta con pendiente negativa. Esto nos indica que la velocidad disminuye con el tiempo, pero de forma lineal (la misma cantidad en 1 s). Luego el movimiento es uniformemente acelerado (con aceleración negativa; también se llama decelerado). Para calcular la aceleración (de- celeración) calculamos la pendiente de la recta v – t:

Pendiente =

( )

( )

2 1 2 2 1

m v v 0 40 s m a 8 t t 5 0 s (^) s

−^ −

Observa los valores tomados: t 1 = 0 v 1 = 40 ; t 2 = 5 v 2 = 0 b) Como no nos dan datos, podemos tomar para s 0 cualquier valor. Tomaremos s 0 = 0 v 0 = 40 m/s (leído en la gráfica) a = - 8 m/s^2 (calculado) Ecuaciones:

v (m/s)

5 t (s)

v = 40 – 8 t s = 40 t – 4 t^2