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Ciencias computacionales
Propedeutico: Teor´ıa de Aut´omatas y Lenguajes Formales
Expresiones regulares y lenguajes
- 1 Expresiones regulares Contents
- 1.1 Los operadores de las expresiones regulares
- 1.2 Construcci´on de expresiones regulares
- 1.3 Precedencia de operaciones de las expresiones regulares
- 1.4 Ejercicios
- 2 Aut´omatas finitos y expresiones regulares
- 2.1 Conversi´on de un DFA a una RE por eliminaci´on de estados
- 2.2 Convirtiendo una RE a un aut´omata
- 3 Aplicaciones de expresiones regulares
- 4 Reglas algebraicas para expresiones regulares
- 4.1 Identidades y ”aniquiladores”
- 4.2 Ley distributiva
- 4.3 Ley de idem-potencia
- 4.4 Leyes relacionadas con la propiedad de cerradura
- 4.5 Descubrir leyes para expresiones regulares
- 4.6 La prueba de una ley algebraica para expresiones regulares
- 4.7 Ejercicios
1 Expresiones regulares
Las expresiones regulares son un equivalente algebraico para un aut´omata. Utilizado en muchos lugares como un lenguaje para describir patrones en texto que son sencillos pero muy ´utiles. Pueden definir exactamente los mismos lenguajes que los aut´omatas pueden describir: Lenguajes regulares. Adem´as, ofrecen algo que los aut´omatas no: Manera declarativa de expresar las cadenas que queremos aceptar.
Sirven como lenguaje de entrada a muchos sistemas que procesan cadenas tales como:
- Comandos de b´usqueda, e.g., grep de UNIX
- Sistemas de formateo de texto: Usan notaci´on de tipo expresi´on regular para describir patrones
- Convierte la expresi´on regular a un DFA o un NFA y simula el aut´omata en el archivo de b´usqueda
- Generadores de analizadores-l´exicos. Como Lex o Flex.
- Los analizadores l´exicos son parte de un compilador. Dividen el programa fuente en unidades l´ogicas (tokens). Tokens como while, n´umeros, signos (+, −, <, etc.)
- Produce un DFA que reconoce el token.
De forma m´as precisa, Las expresiones regulares denotan lenguajes. Por ejemplo, la expresi´on regular: 01 ∗^ + 10∗^ denota todas las cadenas que son o un 0 seguido de cualquier cantidad de 1’s o un 1 seguida de cualquier cantidad de 0’s.
1.1 Los operadores de las expresiones regulares
Comunmente existen tres operadores de las expresiones regulares: Uni´on, concatenaci´on y cerradura. Si L y M son dos lenguajes, su uni´on se denota por L ∪ M e.g. L = {001,10,111}, M ={,001}, entonces la uni´on ser´a L ∪ M = {,10,001,111}.
La concatenaci´on de lenguajes se denota como LM o L.M e.g. L = {001,10,111}, M ={,001}, entonces la concatenaci´on ser´a LM ={001,10,111,001001,10001,111001}.
Finalmente, la cerradura (o cerradura de Kleene) de un lenguaje L se denota como L∗. Representa el conjunto de cadenas que puede que pueden formarse tomando cualquier n´umero de cadenas de L, posiblemente con repeticiones y concatenando todas ellas e.g. si L = { 0 , 1 }, L∗^ son todas las cadenas con 0’s y 1’s. Si L = { 0 , 11 }, entonces L∗^ son todas las cadenas de 0’s y 1’s tal que los 1’s est´an en pareja. Para calcular L∗^ se debe calcular Li^ para cada i y tomar la uni´on de todos estos lenguajes. Li^ tiene 2i elementos. Aunque cada Li^ es finito, la uni´on del n´umero de terminos de Li^ es en general un conjunto infinito e.g. ∅∗^ = {} o ∅^0 = {}. Generalizando, para todo i mayor o igual que uno, ∅i^ es el conjunto vac´ıo, no se puede seleccionar ninguna cadena del conjunto vac´ıo.
1.2 Construcci´on de expresiones regulares
Si E es una expresi´on regular, entonces L(E) denota el lenguaje que define E. Las expresiones se construyen de la manera siguiente:
- Las constantes y ∅ son expresiones regulares que representan a los lenguaje L() = {} y L(∅) = ∅ respectivamente
- Si a es un s´ımbolo, entonces es una expresi´on regular que representan al lenguaje: L(a) = {a}
- Si E y F son expresiones regulares, entonces E + F tambi´en lo es denotando la uni´on de L(E) y L(F ). L(E + F ) = L(E) ∪ L(F ).
- Si E y F son expresiones regulares, entonces EF tambi´en lo es denotando la concatenaci´on de L(E) y L(F ). L(EF ) = L(E)L(F ).
2 Aut´omatas finitos y expresiones regulares
Si se necesita demostrar que para cada expresi´on regular, existe un aut´omata finito que acepta el mismo lenguaje. Se selecciona el aut´omata m´as apto − N F A. Si por el contrario, se necesita demostrar que por cada aut´omata finito, hay una expresi´on regular definiendo su lenguaje se selecciona el aut´omata con mayores restricciones: DFA. Los lenguajes aceptados por DFA, NFA, -NFA, RE son llamados lenguajes regulares.
Para convertir expresiones regulares a -NFA se realizan pruebas por inducci´on en los diferentes operadores (+, concatenation, *) en la expresi´on regular. Siempre se construye un aut´omata de una forma especia. Se mostrar´a que un NFA con transiciones- puede aceptar el lenguaje de una RE. Despu´es, se mostrar´a que un RE puede describir el lenguaje de un DFA (la misma construcci´on funciona para un NFA). Los lenguajes aceptados por DFA, NFA, -NFA, RE son llamados lenguajes regulares.
Teorema 1 Si L = L(A) para alg´un DFA A, entonces existe una expresi´on regular R tal que L = L(R).
Prueba: Suponiendo que A tiene estados { 1 , 2 ,... , n}, n finito. Tratemos de construir una colecci´on de RE que describan progresivamente conjuntos de rutas del diagrama de transiciones de A
- R( ijk )es el nombre de la RE cuyo lenguaje es el conjunto de cadenas w.
- w es la etiqueta de la ruta del estado i al estado j de A. Esta ruta no tiene estado intermedio mayor a k. Los estados inicial y terminal no son intermedios, i y/o j pueden ser igual o menores que k.
- Para construir R( ijk )se utiliza una definici´on inductiva de k = 0 hasta k = n
- BASE: k = 0, implica que no hay estados intermedios. S´olo dos clases de rutas cumplen con esta condici´on: 1. Un arco del nodo (estado) i al nodo j 2. Una ruta de longitud 0 con un solo nodo i
- Si i 6 = j, solo el caso 1 es posible.
Examinar el DFA A y encontrar los s´ımbolos de entrada a tal que hay una transici´on del estado i al estado j con el s´ımbolo a
- Si no hay s´ımbolo a, entonces R (0) ij =^ ∅.
- Si hay s´olo un s´ımbolo a, entonces R ij(0) = a.
- Si hay varios s´ımbolos a 1 , a 2 ,... , ak, entonces R (0) ij =^ a^1 +^ a^2 +^...^ +^ ak. Si i = j, s´olo se permiten rutas de longitud 0 y ciclos del estado i a ´el mismo.
- La ruta de longitud 0 se representa con
- Si no hay s´ımbolo a, entonces R(0) ij = ∅.
- Si hay s´olo un s´ımbolo a, entonces R ij(0) = + a.
- Si hay varios s´ımbolos a 1 , a 2 ,... , ak, entonces R(0) ij = + a 1 + a 2 +... + ak.
INDUCCI ON: Suponemos que hay una ruta del estado´ i al estado j que no pasa por ning´un estado mayor que k. Se consideran 2 casos.
- La ruta no pasa por el estado k: La etiqueta de la ruta est´a en el lenguaje R( ijk −1).
Figure 1: DFA que acepta todas las cadenas que tienen al menos un 0.
- La ruta pasa por el estado k al menos una vez:
- Se divide la ruta en varias partes, una divisi´on cada que se pasa por el estado k
- Primero del estado i al estado k, despu´es, varios pasos del estado k a s´ı mismo, finalmente, del estado k al estado j.
Las etiquetas de estas rutas se representan con la RE: R( ikk −1)(R( kkk− 1))∗R( kjk−1)
- Si combinamos las expresiones de las rutas de los dos tipos: R (k) ij =^ R
(k−1) ij +^ R
(k−1) ik (R
(k−1) kk )
∗R(k−1) kj para todas las etiquetas de las rutas del estado i al j que no pasan por estados mayores que k.
- Eventualmente tendremos R( ijn ).
- Asumimos que 1 es el estado inicial. El estado de aceptaci´on puede ser un conjunto de estados La expresi´on regular para el lenguaje del aut´omata es la suma (uni´on) de todas las expresiones R( 1 nj) tal que j es un estado de aceptaci´on.
Ejemplo 3 Un DFA que acepta todas las cadenas que tienen al menos un 0. Ver Figura 1.
Inicialmente sustituimos para la base: (i) R(0) ij = , (ii) R(0) ij = + a y (iii) R(0) ij = + a 1 + a 2 +... + ak
R(0) 11 = + 1
R(0) 12 = 0
R(0) 21 = ∅
R(0) 22 = ( + 0 + 1)
Ahora para el paso de inducci´on: R(1) ij = R(0) ij + R(0) i 1 (R(0) 11 )∗R(0) 1 j Por sustituci´on directa Simplificado R(1) 11 = + 1 + ( + 1)( + 1)∗( + 1) 1 ∗ R(1) 12 = 0 + ( + 1)( + 1)∗ 0 1 ∗ 0 R(1) 21 = ∅ + ∅( + 1)∗( + 1) ∅ R(1) 22 = + 0 + 1 + ∅( + 1)∗ 0 + 0 + 1 R(2) ij = R(1) ij + R(1) i 2 (R(1) 22 )∗R(1) 2 j Por sustituci´on directa Simplificado R(2) 11 = 1 ∗^ + 1∗0( + 0 + 1)∗∅ 1 ∗ R(2) 12 = 1 ∗0 + 1∗0( + 0 + 1)∗( + 0 + 1) 1 ∗0(0 + 1)∗ R(2) 21 = ∅ + ( + 0 + 1)( + 0 + 1)∗∅ ∅ R(2) 22 = + 0 + 1 + ( + 0 + 1)( + 0 + 1)∗^ (0 + 1)∗ ( + 0 + 1) Para la construcci´on de un RE final se puede utilizar la uni´on de todas las expresiones donde el primer estado es el estado inicial y el segundo el estado de aceptaci´on.
Figure 2: Ejemplo de DFA a RE por eliminaci´on de estados.
Figure 3: Eliminaci´on de estados.
Figure 4: Construcci´on del aut´omata.
Figure 5: Construcci´on del aut´omata.
Figure 7: Caso base.
Figure 8: Induccion (a).
3 Aplicaciones de expresiones regulares
Entre las aplicaciones de expresiones regulares se encuentran:
- Comandos de b´usqueda, e.g., grep de UNIX
- Sistemas de formateo de texto: Usan notaci´on de tipo expresi´on regular para describir patrones
- Convierte la expresi´on regular a un DFA o un NFA y simula el aut´omata en el archivo de b´usqueda
- Generadores de analizadores-l´exicos. Como Lex o Flex.
- Los analizadores l´exicos son parte de un compilador. Dividen el programa fuente en unidades l´ogicas (tokens). Tokens como while, n´umeros, signos (+, −, <, etc.)
- Produce un DFA que reconoce el token
4 Reglas algebraicas para expresiones regulares
Existen un conjunto de leyes algebraicas que se pueden utilizar para las expresiones regulares:
- Ley conmutativa para la uni´on: L + M = M + L
- Ley asociativa para la uni´on: (L + M ) + N = L + (M + N )
- Ley asociativa para la concatenaci´on: (LM )N = L(M N )
NOTA: La concatenaci´on no es conmutativa, es decir LM 6 = M L
Figure 9: Induccion (b).
4.1 Identidades y ”aniquiladores”
Una identidad para un operador es un valor tal que cuando el operador se aplica a la identidad y a alg´un otro valor, el resultado es el otro valor. Por ejemplo, 0 es la identidad de la suma, ya que 0+x = x+0 = x, la identidad para la multiplicaci´on es 1 debido a que 1x = x1 = x. Un aniquilador para un operador es un valor tal que cuando el operador se aplica al aniquilador y alg´un otro valor, el resultado es el aniquilador. 0 es el aniquilador para la multiplicaci´on: 0 × x = x × 0 = 0. No hay aniquilador para la suma.
Estas leyes las utilizamos para hacer simplificaciones: ∅ es la identidad para la uni´on: ∅+L = L+∅ = L. es la identidad para la concatenaci´on: L = L = L. ∅ es el aniquilador para la concatenaci´on: ∅L = L∅ = ∅.
4.2 Ley distributiva
Como la concatenaci´on no es conmutativa, tenemos dos formas de la ley distributiva para la concatenaci´on:
- Ley Distributiva Izquierda para la concatenaci´on sobre uni´on: L(M + N ) = LM + LN
- Ley Distributiva Derecha para la concatenaci´on sobre uni´on: (M + N )L = M L + N L
4.3 Ley de idem-potencia
Se dice que un operador es idempotente (idempotent) si el resultado de aplicarlo a dos argumentos con el mismo valor es el mismo valor. En general la suma no es idempotente: x + x 6 = x (aunque para algunos valores s´ı aplica como 0 + 0 = 0). En general la multiplicaci´on tampoco es idempotente: x × x 6 = x. La uni´on e intersecci´on son ejemplos comunes de operadores idempotentes. La ley idempotente para la uni´on: L + L = L.
4.4 Leyes relacionadas con la propiedad de cerradura
Las leyes involucradas con la propiedad de cerradura:
- (L∗)∗^ = L∗^ (Idempotencia para la cerradura)
- ∅∗^ =
- ∗^ =
- L+^ = LL∗^ = L∗L, L+^ se define como L + LL + LLL +...
- L∗^ = + L + LL + LLL +...
- LL∗^ = L + LL + LLL + LLLL +...
- L∗^ = L+^ +
- L? = + L
4.5 Descubrir leyes para expresiones regulares
Se puede proponer una variedad infinita de leyes para expresiones regulares. El problema se reduce a probar la igualdad de dos lenguajes espec´ıficos:
Ejemplo 5 Probar que (L + M )∗^ = (L∗M ∗)∗
Es necesario probar que las cadenas que est´an en (L + M )∗^ tambi´en est´an en (L∗M ∗)∗, y probamos que las cadenas que est´an en (L∗M ∗)∗^ tambi´en est´an en (L + M )∗.
Cualquier RE con variables se puede ver como una RE concreta sin variables, viendo cada variable como si fuera un s´ımbolo diferente. La expresi´on (L + M )∗^ se puede ver como (a + b)∗. Utilizamos esta forma como una gu´ıa para concluir sobre los lenguajes. Podemos analizar el lenguaje que nos describe: (a + b)∗^ y analizar el lenguaje que nos describe: (a∗b∗)∗.
