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Josué Tonelli Cueto
Objetivos Contextualizar el teorema y su demostración en las matemáticas y su historia. Dar una demostración completa del teorema. Esquematizar posibles demostraciones alternativas, basadas en otras técnicas. (^1) Trabajo realizado para el curso “Teoría Global de Superficies” de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) durante el curso académico 2011/12. El curso fue impartido por la profesor José Julio Mencia
- Demostrando el Teorema de la Curva de Jordan
- Introducción Índice
- Una breve historia
- La demostración de Maehara
- 2.1. Sobre Maehara
- 2.2. Preliminares. El teorema del punto fijo de Brouwer.
- 2.3. Preliminares. El teorema de extensión de Tietze
- 2.4. Pasos principales de la demostración
- 2.5. Detalles de cada paso
- 2.5.1. Paso
- 2.5.2. Paso
- 2.5.3. Paso
- 2.5.4. Paso
- 2.5.5. Paso final
- Otras dos posibles demostraciones. Esquemas.
- 3.1. La demostración de Jordan (revisitada por Hales)
- 3.1.1. Sobre Jordan
- 3.1.2. Sobre Hales
- 3.1.3. Idea principal
- 3.1.4. Itinerario de pasos
- 3.1.5. Esquema de la demostración. Algunos detalles.
- 3.2. La demostración de Thomassen
- 3.2.1. Sobre Thomassen
- 3.2.2. Idea principal
- 3.2.3. Itinerario de pasos
- 3.2.4. Esquema de la demostración. Algunos detalles.
- ¿Y en general?
- 4.1. Teorema de separación de Jordan-Brouwer
- 4.2. Teorema de separación de Alexander
- 4.3. Teorema de Jordan-Schönflies
- Bibliografía
0. Introducción
Antes de comenzar, recordemos primero la definición de curva de Jordan
Definición 0.1. Una curva de Jordan es un subespacio de (R^2 , du) homemorfo a la circunferencia (S^1 , du).
De este modo, claramente
es una representación gráfica de una curva de Jordan. Fijémonos que si operamos desde un punto de vista de aplicaciones, entonces consideramos las curvas como aplicaciones continuas α : I → R^2. Y desde esta perspectiva, una curva de Jordan no es más que una curva cerrada y simple, i.e. una curva α : I → R^2 tal que
α( 0 ) = α( 1 )
y que α[ 0 , 1 ) es inyectiva. Y sin embargo, en ambos casos estamos operando esencialmente con la misma definición, dado que la compacidad de I nos permite concluir que bajo las condiciones anteriores Imα es una curva de Jordan según la definición dada inicialmente. [Efectivamente, basta considerar la aplicación
f : S^1 → Imα
(cos θ , sin θ ) 7 → α
θ 2 π
con las convenciones básicas, i.e tomar θ ∈ [ 0 , 2 π); se observa que f es el homeomorfismo deseado, tras realizar las comprobaciones pertinentes.] De esta forma, el teorema de la curva de Jordan puede formularse como sigue
Teorema 0.1 (Jordan). Si J ⊆ (R^2 , du) es una curva de Jordan, entonces R^2 − J posee exactamente dos componentes conexas.
Siendo este teorema el que vamos a analizar desde la perspectiva de tres demostraciones distintas:
Demostración de Maehara.
Demostración de Jordan (revisitada por Hales)
Demostración de Thomassen.
De las cuales la primera la atacaremos con todo detalle para dar una prueba completa del teorema, y las otras dos las trataremos con menos detalle dando principalmente las ideas principales y caminos que se siguen en ellas para así motivarlas para una posible futura lectura.
2. La demostración de Maehara
La demostración de Mahera original puede leerse en [5] y data de 1984. Una de sus grandes ventajas es que es corta y sencilla a la hora de leer. En sí misma, esta demostración es una modificación de la dada por Moise, que se aprovecha de los teoremas del punto fijo de Brouwer para dos dimensiones y el teorema de extensión de Tietze, los cuales probaremos. Por ello, podremos decir que vamos a dar una prueba completa y rigurosa del teorema en toda su generalidad. Es recomendable leer [5], dado que constituye una buena y breve lectura, a la hora de estudiar una demostración del teorema de la curva de Jordan.
2.1. Sobre Maehara
La información disponible acerca del matemático japonés Ryuji Maehara lamentablemente es escasa, según el Mathematics Genealogy Project sabemos que se doctoró en la Iowa State University en 1972 defendiendo la tesis An Obstruction Theory for Fibre-preserving Maps bajo la direción de James Lawson Cornette y Daniel Henry Gottlieb. Y por las referencias dadas en su artículo sabemos que trabajo en la Universidad de Ryukyu en Okinawa. Cabe destacar que la principal razón por la que es conocido es la prueba del teorema de Jordan que el mismo da en [5].
2.2. Preliminares. El teorema del punto fijo de Brouwer.
Teorema 2.1 (Punto fijo de Brouwer). Sea Bn ⊂ (Rn, du) una bola cerrada euclídea. Toda aplicación continua f : Bn → Bn posee al menos un punto fijo.
La demostración que realizaremos se basa en la dada en [1], la limitaremos sólo al caso n = 2, que es el que nos interesa, y será de caracter combinatorio, la cual se basa en el lema de Sperner.^2
Emanuel Sperner [11]
Lema 2.2 (Sperner). Sea T un triángulo con vértices v 1 , v 2 y v 3 , del cual poseemos una triangulación, una subdivisión de él en triángulos más pe- queños que encajan lado con lado. Supongamos que coloreamos el triángulo con los colores del conjunto { 1 , 2 , 3 } de modo que se verifique que:
Cada vértice vi está coloreado por el color i.
Dados i 6 = j, los vértices en el lado que une vi y v (^) j están coloreados o por i o por j.
Entonces, existe al menos un triángulo tricolor entre los que conforman la triangulación, i.e. que cada uno de sus vértices está coloreado de un color.
Prueba: Tomemos el grafo G cuyos vértices son los triángulos de la triangula- ción y la cara exterior del plano donde vive el triángulo considerado y de modo que dos de estos estén unidos por una arista si y sólo si
Son adyacentes, i.e. poseen un lado en común. (^2) Si bien la prueba puede extenderse a n dimensiones con esta técnica.
Los dos extremos del lado que comparten están coloreados por los colores 1 y 2.
A partir de aquí, fijémonos que:
Los triángulos tricolores dan lugar a vértices grado uno.
Los triángulos coloreados por 1 y 2 originan vértices de grado 2.
El resto de triángulos se corresponden con los vértices de grado 0.
Por otro lado, el vértice correspondiente a la cara exterior tiene grado impar. Para ello, observar que solamente los lados que están en el segmento que une v 1 y v 2 pueden estar coloreados con 1 y 2, y que necsariamente en ese vértice el número de cambios de 1 a 2 y viceversa es impar. De ello, en dicho segmento, y por extensión en todo el perímetro del triángulo, hay un lado impar de segmentos cuyos vértices están coloreados con 1 y 2. Por lo que el vértice de la cara exterior tendrá grado impar. De este modo,
Los vértices de grado impar corresponden a la cara exterior y los triángulos tricolores de la triangulación.
Los vértices de grado par se corresponden al resto de triángulos de la triangulación.
Ahora, por el lema de los saludos,
El número de vértices de grado impar en un grafo finito es par.
De esta forma, nuestro grafo tiene una cantidad par de vértices de grado impar, lo que se traduce quitando la cara exterior, en que
Hay un número impar de triángulos tricolores en la triangulación.
Que nos da la existencia deseada, al ser el menor número natural impar el uno.
Demostración del teorema de Brouwer (en dimensión 2) Sea ∆ ⊆ R^3 el triángulo de vértices e 1 = ( 1 , 0 , 0 ), e 2 = ( 0 , 1 , 0 ) y e 3 = ( 0 , 0 , 1 ). Dado que ∆ es homeo- morfo a B 2 , basta probar que f : ∆ → ∆ continua tiene un punto fijo. Sea ahora, δ (T ) la longitud máxima de los lados en una triangulación T. Construyamos la sucesión de triangulaciones {Tn}n∈N
caracterizada porque δ (Tn) → 0
La cual puede ser fácilmente construida subdiviendo la triangulación anterior para obtener la siguiente. Ahora, razonemos por reducción al absurdo y supongamos que f no tiene puntos fijos en ∆. De aquí, dado v ∈ ∆, consideremos el signo de las componentes de
f (v) − v
2.3. Preliminares. El teorema de extensión de Tietze
Teorema 2.3 (Extensión de Tietze para métricos). Sea (X, d) un espacio métrico y A un subconjunto cerrado suyo. Toda función continua f : A → [− 1 , 1 ] puede extenderse a todo el espacio de partida, i.e. existe una función continua f : X → [− 1 , 1 ], tal que f (^) A = f.
La demostración que daremos se basa en la dada en [2], sin embargo, ha sido simplificada gracias a que sólo nos interesa el caso métrico y no el topológico general.
Demostración:
Pavel Urysohn [12]
Lema 2.4 (Lema métrico de Urysohn). Sea (X, d) un espacio métrico, y A, B subconjuntos cerrados disjuntos no vacíos. Existe una función continua
f : (X, d) → ([ 0 , 1 ], du)
tal que f (x) = 0 si y sólo si x ∈ A y f (x) = 1 si y sólo si x ∈ B.
Prueba Basta tomar, f : X → R dada por
f (x) =
d(x, A) d(x, A) + d(x, B)
Y ver que lo verifica.
De esta forma, denotemos por UBA la función construida en el lema anterior. Ahora, dada una función continua cualquiera g : A → [−a, a] definamos
T g : X → [−a, a]
como la función dada por
T g =
a 3
Ug
− (^1) [−a,−a/ 3 ] g−^1 [a/ 3 ,a] −^
a 3
Ug
− (^1) [a/ 3 ,a] g−^1 [−a,−a/ 3 ]
Claramente, para cada cada x ∈ X,
|T g(x)| ≤
a 3 También es fácil comprobar que para cada x ∈ A,
|T g(x) − g(x)| ≤
a
Y así, podemos ver también T g−g como una aplicación continua de A en
[
−^23 a, 23 a
]
. Lo cual nos permite volver a operar con T. Para nuestra f : A → [− 1 , 1 ], construyamos
{ fn}
como
fn = T
f −
n− 1
k= 0
fk
Heinrich Franz Friedrich Tietze [13]
De esta forma, por inducción, se ve que para cada x ∈ A,
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f (x) −
n− 1
k= 0
fk(x)
)n
Y, como consecuencia, para cada x ∈ X,
| fn(x)| ≤
)n
De lo que, como 1
3 n∑∈ω
)n = 1 < ∞
Se da que F = (^) ∑n∈ω fn es una función bien definida de todo X a [− 1 , 1 ], tal que FA = f. Veamos que F es continua. Dados x ∈ X y ε ∈ R+, tomamos un Nε,x tal que
∞
k=Nε,x
)k+ 1 <
ε 2
Ahora, fi es continua en x, luego hay entornos Ui de x en (X, d) tales que para cada i < Nε,x y cada y ∈ Ui,
| fi(x) − fi(y)| <
ε 2 Nε,x
De esta forma, U = ∩iUi es un entorno de x donde para cada y ∈ U,
|F(x) − F(y)| ≤
Nε,x− 1
k= 0
| fk(x) − fk(y)| +
∞
k=Nε,x
)k+ 1
≤ Nε,x
ε 2 Nε,x
ε 2
= ε
Por lo que F es continua en X, y por ello es la extensión deseada, i.e. F = f.
2.4. Pasos principales de la demostración
La demostración de Maehara se basa en los siguientes pasos:
- Existencia y unicidad de la componente no acotada.
- Lema del rectángulo cruzado.
- Lema de la frontera.
- Existencia y unicidad de la componente acotada.
Cada uno de estos pasos lo mostraremos detalladamente, y puede decirse que los resultados aquí pre- sentes resultan muchos de ellos de interés por si solos. Además, hemos de fijarnos como los dos lemas no son más que resultados auxiliares a la hora de demostrar la existencia y unicidad de la componente acotada.
dado que N nunca se anula. Fijémonos, en que necesariamente para cada s,t ∈ [− 1 , 1 ],
|F 1 (s,t)| = 1 ó |F 2 (s,t)| = 1
por definición de N. Ahora, por el teorema del punto fijo de Brouwer, se debe dar que F posee un punto fijo (s 0 ,t 0 ). Ahora, por lo anterior,
|s 0 | = 1 ó |t 0 | = 1
Analizando casos, tenemos que A)Si s 0 = −1, la primera componente de F(− 1 ,t 0 ) será
β 1 (t 0 ) N(− 1 ,t 0 )
que es no negativa , y por lo tanto F(− 1 ,t 0 ) 6 = (− 1 ,t 0 ). B)Si s 0 = 1, la primera componente de F( 1 ,t 0 ) será
β 1 (t 0 ) − 1 N( 1 ,t 0 )
que es no positiva, y por lo tanto F( 1 ,t 0 ) 6 = ( 1 ,t 0 ). C)Si t 0 = −1, la segunda componente de F(s 0 , − 1 ) será
α 2 (− 1 ) N(s 0 , − 1 )
que es no negativa , y por lo tanto F(s 0 , − 1 ) 6 = (s 0 , − 1 ). D)Si t 0 = 1, la segunda componente de F(s 0 , 1 ) será
α 2 (t 0 ) − 1 N(s 0 , 1 )
que es no positiva, y por lo tanto F(s 0 , 1 ) 6 = (s 0 , 1 ). De este modo, por un lado F tiene puntos fijos por el teorema de Brouwer, y por otro lado no los tiene. Esto es absurdo, y así por reductio ad absurdum ha de darse que α y β intersecan en un punto.
2.5.3. Paso 3
Lema 2.8 (Lema de la frontera). Sea J ⊂ (R^2 , du) una curva de Jordan. Si R^2 − J no es conexo, entonces cada componente de R^2 − J tiene como frontera a J.
Prueba Sea U una componente de R^2 − J, fijémonos en que dada cualquier otra componente W de R^2 − J se verifica que
W es abierta, dado que R^2 − J es abierto y localmente conexo.
W y U son disjuntas.
De esa forma, tenemos que Fr(U) ∩W = ∅, y de ello se concluye que
Fr(U) ⊆ J
Ahora, supongamos que Fr(U) 6 = J; entonces, existe un arco A ⊆ J tal que
Fr(U) ⊆ A
Dado que por hipótesis R^2 − J es no conexo, podemos considerar una componente acotada. Así, sea un punto o dentro de la componente acotada, de modo que si U es dicha componente, entonces tomamos o ∈ U. Y a su vez, una bola cerrada D centrada en o lo suficientemente grande que contenga a J y denotemos por S su frontera, dándose que está contenida en la componente no acotada de R^2 − J.
Dado que A es homeomorfo a [− 1 , 1 ], por el teorema de extensión de Tietze podemos extender la identidad
idA : A → A
a todo R^2 , i.e. podemos obtener una aplicación continua
r : R^2 → A
tal que rA = idA. Por otro lado, definamos una aplicación q : D → D − {o} como
q(z) =
r(z) si z ∈ U z si z ∈ R^2 −U
ó q(z) =
z si z ∈ U r(z) si z ∈ R^2 −U
según U sea acotado o no lo sea respectivamente. Dándose que en ambos casos q está bien definida y es continua dado que en Fr(U) = U ∩
R^2 −U
contenida en A, r es la identidad. Dado que S está contenida en la componente no acotada,
qS = idS
Por otro lado, podemos considerar la proyección natural sobre S
π : R^2 − {o} → S
Y si t : S → S es la aplicación antipodal, tenemos que
t ◦ p ◦ q : D → S ⊆ D
es una apliación de la bola cerrada en sí misma que no tiene puntos fijos, basta ver que ellos estarían en S, pero que (t ◦ p ◦ q)S = t no puede tener puntos fijos. Lo cual, contradice el teorema del punto fijo de Brouwer y así
J = Fr(U)
por reductio ad absurdum.
Imagen modificada del artículo de Maehara que ilustra la construcción.
Existencia de una componente acotada Consideremos el punto medio de m y p, que denotaremos por z 0 , y sea U la componente en R^2 − J de dicho punto. Si dicha componente es no acotada existe un camino α contenido en U de z 0 a un punto frontera w de E; además sin pérdida de generalidad (gracias al axioma del supremo) tomemos que α está también contenida en E y sólo interseca su frontera en w. A partir de aquí, tenemos dos casos, o bien w está por debajo de a y b o bien está por encima. Por lo que planteamos casos:
- w está por debajo de a y b En este caso, al considerar nl + ̂lm + mz 0 + α + ̂ws
donde ̂ws es un camino en la frontera de E que no toca ni a a ni a b, obtenemos un camino de n a s que no corta a Js, en contradicción con el lema del rectángulo cruzado.
- w está por encima de a y b En este caso, al considerar sz 0 + α + wn̂
donde wn̂ es un camino en la frontera de E que no toca ni a a ni a b, obtenemos un camino de s a n que no corta a Jn en contradicción con el lema del rectángulo cruzado. Por ello, en virtud de la contradicción de suponer lo contrario, U es una componente acotada, i.e. tenemos existencia. La siguiente imagen permite visualizar los dos casos considerados, así como el argumento usado en ellos.
Imagen modificada del artículo de Maehara que ilustra la existencia.
Unicidad Usaremos la reducción al absurdo; así sea W una componente no acotada de R^2 − J distinta de U. Construyamos en primer lugar el camino β de n a s dado por
nl + ̂lm + mp + ̂pq + qs
Fácilmente se ve que W y β no se cortan, ya que los puntos de β o bien son de la curva, de la componente no acotada o de U. Ahora, como β es cerrado y no contiene ni a a ni a b, tenemos que existen bolas Va y Vb de a y b respectivamente que no intersecan a β. Por otro lado, sabemos por el lema de la frontera que Va y Vb sí intersecan a W , digamos en los puntos aw y bw respectivamente.
De aquí, sabemos que hay un camino α de aw a bw contenido en W , lo que nos de un camino
aaw + α + bwb
que no corta a β dado que está contenido en W ∪Va ∪Vb disjunto con β. Lo cual contradice el lema del rectángulo cruzado, y por ello, la única componente acotada de R^2 − J es U.
2.5.5. Paso final
Para recapitular, en el paso 1 hemos mostrado que:
En R^2 − J existe una única componente no acotada.
Y en el paso 4 que
En R^2 − J existe una única componente acotada.
De estas dos afirmaciones se concluye el teorema de Jordan; es decir, que R^2 − J tiene exactamente dos componentes conexas. Además, hemos probado en el paso 2 que la frontera de cada una de ellas es J. La demostración ha concluido.
3. Otras dos posibles demostraciones. Esquemas.
En esta sección no pretendemos dar pruebas rigurosas como hemos hecho con la de Maehara, sino dar la idea principal así como un itinerario de los pasos a seguir junto a los puntos cruciales de cada una de estas demostraciones. De esta forma, daremos esquemas de demostración claros para que a la hora de ir a los artículos, estas puedan ser leídas con mayor facilidad al tener en mente el camino que sigue el autor en la demostración.
3.1. La demostración de Jordan (revisitada por Hales)
La demostración original de Jordan puede encontrarse en su Cours d´analyse de l´Ecole Polytechni- que de 1893. Tras los ataques de Veblen esta prueba cae en el olvido y pasa a ser considerada errónea debido a hipóteticos errores en ella. En ese contexto, durante la realización de la prueba formal usando la prueba de Thomassen^3 , Hales decide buscar el famoso error de Jordan para indicarlo en la introdución a su artículo. Sin embargo, resulta que lo que Hales encuentra no es más que una prueba correcta. De este hecho, saca su revisión de la prueba de Jordan en [4] donde puede encontrarse con más detalle que el que daremos aquí. Como curiosidad, cabe indicar que la construcción que realiza Jordan en su prueba permite obtener una demostración de la desigualdad isoperimétrica en general para cualquier curva de la que exista una medida de longitud. La cual se esquematiza también al final de [4]. De este modo, el artículo de Hales sobre la prueba de Jordan es un buen modo de mirar a la prueba original de Jordan, presentada en un lenguaje moderno y fácilmente comprensible.
(^3) Para una exposición divulgativa por parte de Hales de ello, véase [3].
Construcción de un segmento de unión en un polígono. La región impar en polígonos deformados.
- Entornos de tubos en polígonos.
Construcción de tubos y entornos de tubos “genéricos”. Tres propiedades de las componentes del complemento de un entorno de tubos “genérico”.
- La construcción de la aproximación poligonal a la curva de Jordan.
- Construcción de un punto interior.
- Construcción del interior y el exterior.
Aquí puede verse como una gran cantidad de trabajo se dedica a cuestiones relativas a polígonos para después, una vez desarrollada la aproximación poligonal, aplicarlas directamente a la construcción del interior y exterior de la curva de Jordan.
3.1.5. Esquema de la demostración. Algunos detalles.
La demostración de Jordan comienza analizando la función de paridad para polígonos y arcos po- ligonales, para así poder construir un segmento de paridad impar respecto a un polígono cualquiera. A posteriori, pasa a analizar como varía la paridad de los puntos respecto a un polígono cuando este se deforma en otro polígono, bajo ciertas condiciones dadas. Por otro lado, después analiza entornos de tubos en los polígonos, analizando distintas propiedades de estas componentes en el complemento de estos bajo hipótesis razonables. Finalmente como último preparativo de la demostración, construye una aproximación poligonal “buena” de la curva de Jordan. Una vez tenidos estos preparativos entre manos, toma una serie de aproximaciones poligonales su- ficientemente cercanas. En cada una de estas, usando el segmento de paridad impar construye un punto interior, y además usando el análisis de la deformación de los polígonos garantizará que cietas compo- nentes del entorno de tubos de cada aproximación convergen al interior y exterior deseados de la curva de Jordan. Una vez mostrado esto, demuestra el teorema en general. A modo de destacar tres puntos importantes, nos centraremos en:
La función de paridad para polígonos.
La aproximación poligonal.
Las propiedades de las aproximaciones del interior y exterior de la curva de Jordan.
Ahora bien esta elección puede ser bastante arbitraria, y por ello, hemos de recordar que buscamos solamente motivar la demostración de Jordan mostrando como funciona la maquinaria que pensó Jordan y de ese modo observar la elegancia subyacente al razonamiento de Jordan en ciertos casos concretos. La función de paridad para polígonos. Consideremos una curva de Jordan J y un punto p en R^2 − J. Queremos contar el número de veces que hemos de atravesar la curva J para alejarnos de ella, dándose que intuitivamente el punto estará dentro si hemos de atravesar la curva un número impar de veces y fuera si hemos tenido que atravesarla un número par de veces, ya que cada vez que atravesamos la curva pasamos de estar dentro a estar fuera y viceversa. De este modo, la función de paridad de una curva J es una función πJ : R^2 − J → { 0 , 1 } donde para cada p ∈ R^2 − J, πJ (p) es igual a 0 o 1 según una semirrecta con origen en p cruza un número par o impar a J.
Lamentablemente esta definición peca de no ser clara en general, al no estar claro por un lado qué es un punto de traspaso y por otro lado la finitud de tal conjunto de puntos. De esta forma, Jordan se limita al caso poligonal, donde podemos realizar las dos siguientes operaciones
Podemos modificar ligeramente L de modo que no contenga ningún segmento ni vértice de J.
Bajo la hipótesis de que L no contiene ni segmentos ni vértices de J, los puntos de traspaso resultan ser precisamente los puntos de interseción y además dicho conjunto es finito al ser J unión finita de segmentos y estar cada uno de esos puntos en un segmento distinto.
Y así definir sin ambiaguedades ni dificultades la función de paridad de un polígono. Cierto es que pueden tomarse definiciones más elaboradas de la función πJ cuando J es poligonal, sin embargo, por simplicidad usaremos la anterior. En cualquier caso, es fácil probar las siguientes propiedades:
πJ está bien definida, viendo su independencia respecto de la semirrecta tomada.
πJ es localmente constante, analizando como el número de intersecciones se conservan para pe- queños movimientos de la semirrecta.
πJ es suprayectiva, considerando la paridad de los puntos de una recta que corta J.
De las cuales es inmediato que hay al menos dos componentes, sin embargo, no se deduce en absoluto que sean solamente dos. Sin embargo, Jordan solamente usa el primer hecho. A modo de ejemplificar la función de paridad con una imagen, veamos el siguiente dibujo
donde podemos apreciar como para el punto exterior p la paridad toma el valor 0 y para el punto interior q toma el valor 1. La aproximación poligonal. Antes de comenzar, 5 por simplicidad usaremos
(S^1 , du)
con du la distancia inducida por el plano. Ahora, dados x = (cos α, sin α) e y = (cos β , sin β ) en S^1 que verifican d(x, y) < 2, o sea se, puntos que no sean diametralmente opuestos, podemos considerar el arco de circunferencia más corto entre ellos, que denotaremos por
[x, y]
sin ningún tipo de ambigüedad, lo cual no pasa cuando x e y son diametralmente opuestos.
(^5) Hay que indicar que Hales en su [4] usa una notación distinta, pero en lo que respecta a las ideas no hay diferencia
alguna.
- Dado que hay dos tipos de autointersecciones de la curva poligonal Im RJ,ε , o bien dos segmentos se intersecan en un punto o bien en un segmento, se da que, al constar Im RJ,ε de un número finito de segmentos, sólo hay un número finito de autointersecciones de Im RJ,ε. Con la consideración anterior en mente, se construye QJ,ε : S^1 → R^2 a partir de RJ,ε tomando una autointersección de Im RJ,ε dada por
RJ,ε (x) = RJ,ε (y)
Y a partir de ahí, se define R ( 1 ) J,ε como la función dada por
R
( 1 ) J,ε (z) =
RJ,ε (z) si z ∈/ [x, y] RJ,ε (x) si z ∈ [x, y]
De este modo, ImR( J^1 ,ε) es una curva poligonal con una autointersección menos que Im RJ,ε y pro- cediendo recursivamente sobre la nueva función que se obtiene en cada paso, llegaremos a una función R( Jn,ε) , tal que Im R( Jn,ε) no posee autointersecciones.
Tomemos esa R (n) J,ε como^ QJ,ε^. Aquí se verifica que^ Im QJ,ε^ es una curva poligonal cerrada simple buena para aproximar J, que verifica que para cada x ∈ S^1 ,
du(QJ,ε (x), fJ (x)) < ε
Ahora, la parametrización QJ,ε es mala y por ello todavía no hemos terminado.
- Finalmente, se construye PJ,ε y ρJ,ε a partir de Im QJ, ε 2 y de modificar ligeramente la parametriza- ción dada por QJ, ε 2.
Luego, concluye nuestra construcción más o menos detallada de la aproximación poligonal. Las propiedades de las aproximaciones del interior y exterior de la curva de Jordan. Usando la aproximación poligonal para ε suficientemente pequeños, junto con otros resultados acerca de curvas poligonales de Jordan,^8 Jordan construye dos sucesiones de subconjuntos abiertos no vacíos conexos {U 0 n }n∈N y {U ∞n}n∈N verificando:
I) Para cada n ∈ N, U 0 n ∩U ∞n = ∅.
II) Para cada n ∈ N y todo α ∈ { 0 , ∞}, U αn ∩ J = ∅.
III) Para cada n ∈ N y todo α ∈ { 0 , ∞}, U αn ⊆ U αn+ 1.
IV) R^2 − J ⊆
⋃
n,α
U αn
Las cuales no son más que un modo de aproximar conjuntistamente el interior y el exterior de la curva de Jordan considerada. A partir de estas sucesiones, que verifiquen las propiedades anteriores, tenemos que se verifica el teorema de la curva de Jordan. Para ello, para α ∈ { 0 , ∞} definamos
Vα =
⋃
n∈N
U αn
(^8) En concreto, explotando las propiedades de los entornos de tubos alrededor de la aproximación poligonal.
y veamos que V 0 y V∞ son las dos componentes buscadas. En primer lugar, para todo α ∈ { 0 , ∞}, Vα es conexo dado que es unión de conexos con la menos un punto en común por III) y es abierto al ser unión de abiertos. En segundo lugar, V 0 y V∞ son disjuntos, dado que sino tendríamos que habría n, m ∈ N tales que
U 0 n ∩U ∞m 6 = ∅, y así por III) nos daría que U 0 máx {n,m}∩U ∞máx {n,m} 6 = ∅ incumpliendo I). Y finalmente, V 0 ∪V∞ = R^2 − J dado que por IV) V 0 ∪V∞ ⊇ R^2 − J y por II) V 0 ∪V∞ ⊆ R^2 − J. De modo que concluimos el teorema de Jordan, y además sabemos aproximar el interior y el exterior de la curva de Jordan mediante las aproximaciones U 0 n y U ∞n obtenidas directamente a partir de las aproximaciones poligonales construidas a la curva. Por último, recordar que la demostración completa junto con el resto de los detalles se encuentran en [4] y que los detalles aquí dados sólo buscan servir de introducción a la demostración de Jordan, motivando su lectura.
3.2. La demostración de Thomassen
La demostración de Thomassen se encuentra en [6] y data de 1992. Un punto importante de esta demostración es el uso de técnicas perteneciente a la teoría de grafos y a la topología, lo cual hace que a pesar del uso de argumentos elaborados no sean técnicamente complejos. Si bien es curioso que Tho- massen siguiendo la tradición de Peano, no utiliza dibujos en su artículo para enfatizar que las preubas son rigurosas. Un punto importante a considerar de [6] es que no va dirigido únicamente a probar el teorema de la curva Jordan, sino que busca demostrar el teorema de clasificación d superficies. De modo que el teorema de Jordan es sólo la primera parte del artículo, siendo el resto pertenecientes a su generalización el teorema de Jordan-Schönflies^9 , su aplicación al teorema de triangulación de superficies y una prueba combinatoria del teorema de clasificación de superficies aplicando este último teorema. Por ello, una buena lectura para aprender una demostración del teorema de clasificación de superficies está constituida por este artículo, [6].
3.2.1. Sobre Thomassen
Carsten Thomassen [16]
Cartsen Thomassen (Grindsted, 22 de agosto de 1948-Actualmente) es un matemático danés que actualmente ejerce de profesor en la Universidad Técnica de Dinamarca, donde se encuentra desde 1981, dedicado princi- palmente al campo de la teoría de grafos, y actualmente editor de diversas revistas de matemática discreta como Journal of Graph Theory y European Journal of Combinatorics. Dentro de su desarrollo profesional, defendió su tesis Paths and Cycles in Graphs en la Universidad de Waterloo (Canadá) bajo la dirección de Da- niel Haven Younger en 1976. Y es de destacar tanto su nombramiento como miembro de la Real Academia Danesa de Ciencia y Letras en 1990, como el hecho de ser uno de los 250 matemáticos más citados actualmente.
3.2.2. Idea principal
La idea principal de la demostración de Thomassen es darse cuenta que la no planaridad de K 3 , 3 es equivalente al teorema de la curva de Jordan, en el sentido que una curva de Jordan que no desconecta el plano o una que los desconecta en más de dos componentes conexas permiten construir copias de K 3 , 3 en el plano.
(^9) Al final citamos este teorema entre las posible generalizaciones en 4.3.
