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Unidad 7. Ecuaciones
ESO
Matemáticas 2
Página 135
E nunciados y expresiones algebraicas
- Berta compra una camiseta y un pañuelo por cincuenta euros. Si la camiseta cuesta ca- torce euros más que el pañuelo, ¿cuánto cuesta cada artículo?
x + 14 x
Un pañuelo cuesta x euros. Pañuelo → x
Una camiseta cuesta 14 € más que un pañuelo. Camiseta → x + 14
Una camiseta y un pañuelo cuestan 50 €. x + ( x + 14) = 50 Una camiseta y un pañuelo cuestan lo mismo que dos pañuelos más 14 €. 2 x^ + 14 = 50 Dos pañuelos cuestan el resultado de quitar 14 € a 50 €. Dos pañuelos cuestan 36 €.
2 x = 50 – 14 2 x = 36 Un pañuelo cuesta la mitad de 36 €. x = 36 : 2
Un pañuelo cuesta 18 €. x = 18 Una camiseta cuesta 14 € más que un pañuelo. Una camiseta cuesta 32 €.
x + 14 = 32
- En la granja, entre gallinas y patos, son 155. Si hay 23 gallinas más que patos, ¿cuántos patos y cuántas gallinas son?
x x + 23 155
Hay x patos. Patos → x
Hay 23 gallinas más que patos. Gallinas → x + 23
Entre gallinas y patos son 155.
x + x + 23 = 155 2 x + 23 = 155
El doble de patos son 132.
2 x = 155 – 23 2 x = 132 El número de patos es la mitad de 132. x = 132 : 2 El número de patos es 66. x = 66
El número de gallinas es el de patos más 23, en total 89. 66 + 23 = 89
Matemáticas 2
1 Ecuaciones: significado y utilidad
Página 137
- ¿Qué enunciado asocias a cada ecuación?
a) La tercera parte de un número es igual a su cuarta parte más 20 unidades. (Número → x )
b) La edad de Andrés es el triple que la de su hermana, y entre los dos suman 20 años. (Andrés → x años) c) Un rectángulo es 3 metros más largo que ancho, y su perímetro mide 30 metros. (Ancho → x metros)
d) He pagado 30 € por 3 blocs de dibujo y una caja de acuarelas. Pero la caja costaba el doble que un bloc. (Bloc → x euros)
e) Un ciclista ha recorrido la distancia desde A hasta B a la velocidad de 15 km/h y un peatón, a 5 km/h, ha tardado una hora más. (Ciclista → x horas) f ) Un grillo avanza, en cada salto, un metro menos que un saltamontes. Pero el grillo, en 15 saltos, llega igual de lejos que el saltamontes en 5. (Saltamontes → x metros)
x + x 3
= 20 (^2) x + 2( x + 3) = 30 15( x – 1) = 5 x
x x (^3 )
= + 20 (^3) x + 2 x = 30 15 x = 5( x + 1)
a) x^ x 3 4
= + 20 b) x + x 3
c) 2 x + 2( x + 3) = 30 d) 3 x + 2 x = 30
e) 15 x = 5( x + 1) f ) 15( x – 1) = 5 x
- Resuelve en el orden en que aparecen.
a) 3 x = 21 b) 3 x – 1 = 20
c) x 5
3 – (^1) = 4 d) x 5
a) x = 7 b) 3 x = 21 → x = 7
c) 3 x – 1 = 20 → x = 7 d) x 5
3 – (^1) = 4 → x = 7
Matemáticas 2
2 Ecuaciones: elementos y nomenclatura
Página 138
- ¿Verdadero o falso?
a) La ecuación x^2 + 6 x – x^2 = 7 x – 1 es de segundo grado.
b) La ecuación 2 x + x · y = 6 es de segundo grado. c) Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros.
d) Una ecuación puede tener más de dos miembros.
e) Todas las ecuaciones de primer grado son equivalentes. f ) La ecuación x + 1 = 5 es equivalente a la ecuación x + 2 = 6.
a) Falso. b) Verdadero. c) Verdadero. d) Falso. e) Falso. f ) Verdadero.
- Copia en tu cuaderno y asocia cada ecuación con su solución:
4 x + 4 = 5 4 x – 3 = x + 3 x^2 – 3 = 2 x 3 x = x + 1
3
4 x + 4 = 5 → x = 4
(^1) x (^2) – 3 = 2 x → x = 3; x = –
4 x – 3 = x + 3 → x = 2 3 x = x + 1 → x = 2
- Agrupa las ecuaciones equivalentes.
a) 4 x = 20 b) 3 x – 1 = 8 c) 5 x – 4 = x
d) 3 x = 9 e) 4 x – 5 = 15 f ) 4 x – 4 = 0
Son equivalentes a) y e) (solución x = 5), b) y d) (solución x = 3) y c) y f ) (solución x = 1).
Matemáticas 2
3 Transposición de términos
Página 139
- Despeja la incógnita y calcula la solución.
a) x + 2 = 5 b) x + 3 = 2 c) x – 1 = 5
d) x – 3 = 4 e) x – 1 = 1 f ) 3 x = 6
g) 5 x = 15 h) x 2
= 1 i ) x 5
a) x = 5 – 2 → x = 3 b) x = 2 – 3 → x = –1 c) x = 5 + 1 → x = 6
d) x = 4 + 3 → x = 7 e) x = 1 + 1 → x = 2 f ) x = 3
(^6) → x = 2
g) x = 5
(^15) → x = 3 h) x = 2 · 1 → x = 2 i ) x = 3 · 5 → x = 15
- Resuelve transponiendo elementos.
a) 3 x = 12 b) x – 4 = 6 c) x 3
d) x + 4 = 3 e) 6 + x = 7 f ) 5 – x = 0
g) 4 = x 2
h) 18 = 3 x i ) 4 = x + 2
a) x = 4 b) x = 10 c) x = 6
d) x = –1 e) x = 1 f ) x = 5
g) x = 8 h) x = 6 i ) x = 2
Matemáticas 2
Página 145
- Un kilo de manzanas cuesta 0,50 € más que uno de naranjas. Marta ha comprado tres kilos de naranjas y uno de manzanas por 5,30 €. ¿A cómo están las naranjas? ¿Y las man- zanas?
x x 0 5
NARANJAS MANZANAS +
3 naranjas coste 3 kg
+ manzanas coste 1 kg
3 x + ( x + 0,5) = 5,30 → x = 1,
Un kilo de naranjas cuesta 1,20 €. Un kilo de manzanas cuesta 1,70 €.
- Rosa tiene 25 años menos que su padre, Juan, y 26 años más que su hijo Alberto. Entre los tres suman 98 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? 8 8 8
x x x
ROSA JUAN ALBERTO
+ (^) (^4) deedad rosa + (^) deedad juan + (^) de edadalberto = 98 años
x + ( x + 25) + ( x – 26) = 98 → x = 33
Rosa tiene 33 años, Juan 58 años y Alberto 7 años.
- La pandilla ha entrado a merendar en una bocadillería. Un bocadillo cuesta un euro más que un sándwich. Por tres sándwiches y dos bocadillos pagan 11 euros. ¿Cuánto cuesta un sándwich? ¿Y un bocadillo?
coste coste
+ = 11 €
Sándwich → x Bocadillo → x + 1 3 x + 2 · ( x + 1) = 11 → x = 1,
El sándwich cuesta 1,80 € y el bocadillo 2,80 €.
- Un frutero ha cargado en su furgoneta 26 cajas: unas de kiwis, de 12 kilos, y otras de plátanos, de 10 kilos. Si en total pesan 290 kilos, ¿cuántas cajas eran de cada clase?
Cajas kiwis → x Cajas plátanos → 26 – x
12 x + 10 · (26 – x ) = 290 → x = 15
Había 15 cajas de kiwis y 11 cajas de plátanos.
- En un test de 50 preguntas se consiguen dos puntos por cada respuesta correcta y se pierden dos por cada respuesta errónea o en blanco. ¿Cuántos aciertos son necesarios para superar la prueba si se exige un mínimo de 75 puntos?
Correcta → x Incorrecta o blanco → 50 – x
2 x – 2 · (50 – x ) = 75 → x = 43, Son necesarios al menos 44 aciertos.
Matemáticas 2
Página 146
- Un almacenista dispone de dos tipos de café:
tipo precio Calidad superior 12,70 € /kg Calidad inferior 7,80 € /kg
¿Cuántos kilos del café superior debe mezclar con 100 kilos del inferior para conseguir una mezcla de calidad intermedia que salga a 9,90 € /kg?
Mezcla → x Superior → x – 100
9,90 x = 7,80 · 100 + 12,70 · ( x – 100) → x = 2 80,
Debe mezclar 75 kilos del café superior.
- Martina ha mezclado pinturas roja y amarilla para obtener 40 litros de pintura naranja.
Roja → x litros
Amarilla → (40 – x ) litros El litro de pintura roja cuesta 3,40 €, y el de amarilla, 2,60 €. ¿Cuántos litros de cada tipo ha utilizado si la pintura naranja ha salido a 2,95 € /litro?
3,40 x + 2,60 · (40 – x ) = 2,95 · 40 → x = 0 80,
Martina ha utilizado 17,5 litros de pintura roja y 22,5 litros de pintura amarilla.
Matemáticas 2
8 Ecuaciones de segundo grado
Página 148
- Indica cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado y exprésalas en la forma general:
a) x^2 = 5 b) x^2 + 3 = x^2 + x
c) 2 x ( x – 1) = 4 d) x ( x – 3) = x^2 – 1 e) 7 x^2 – 4 x = x^2 + 2 f ) 5 x + 6 – x^2 = 7 x^3 + 4
g) 3 x^2 + 9 – 3 x^2 = x h) x^3 + 2 x = x ( x + 3)
a) x^2 + 0 x – 5 = 0
c) 2 x^2 – 2 x – 4 = 0
e) 6 x^2 – 4 x – 2 = 0
- Asocia cada ecuación con su pareja de soluciones:
a) x^2 = 25 b) x^2 = 9 c) x^2 + x – 6 = 0 d) x^2 – 7 x + 10 = 0
e) x^2 + 3 x – 10 = 0 f ) x^2 – 5 x + 6 = 0
3 –5 2 5 –
a) 5 y –5 b) 3 y – c) 2 y –3 d) 2 y 5
e) 2 y –5 f ) 2 y 3
Matemáticas 2
9 Resolución de ecuaciones de segundo grado
Página 150
- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x^2 = 81 b) x^2 = 25 c) x^2 = 7
d) 5 x^2 = 20 e) 4 x^2 = 1 f ) x^2 – 9 = 0
g) x^2 + 6 = 10 h) 3 x^2 – 7 = x^2 + 9 i ) x 8
j ) x 9
(^2) – (^1) = 0 k) x 25
(^2) – (^1) = 0 l ) x 21
2 =
a) x = ±9 b) x = ±5 c) x = ± 7
d) x = ±2 e) x = ± 2
(^1) f ) x = ±
g) x = ±2 h) x = ± 8 = ±2 2 i ) x = ± 5
j ) x = ± 10
(^3) k) x = ± 2
(^1) l ) x = ±
- Reduce, saca factor común y resuelve.
a) x^2 – 4 x = 0 b) x^2 + 2 x = 0 c) x^2 – x = 0
d) x^2 + x = 0 e) 3 x^2 – 2 x = 0 f ) 5 x^2 + x = 0 g) 5 x^2 = 4 x h) 2 x^2 = – x i ) 2 x + x^2 = 7 x
j ) 3 x^2 – 2 x = 2 x^2 – 4 x k) x^ x 2 3
2 = l ) x^ x^ x 3 4 6
+ 2 =^5
a) x ( x – 4) = 0 b) x ( x + 2) = 0 c) x ( x – 1) = 0 x = 0; x = 4 x = 0; x = –2 x = 0; x = 1
d) x ( x + 1) = 0 e) x (3 x – 2) = 0 f ) x (5 x + 1) = 0
x = 0; x = –1 x = 0; x = 3
(^2) x = 0; x = – 5
g) x (5 x – 4) = 0 h) x (2 x + 1) = 0 i ) x ( x – 5) = 0
x = 0; x = 5
(^4) x = 0; x = – 2
(^1) x = 0; x = 5
j ) x ( x + 2) = 0 k) x (3 x – 2) = 0 l ) x ( x + 2) = 0
x = 0; x = –2 x = 0; x = 3
(^2) x = 0; x = 2
Matemáticas 2
Ejercicios y problemas
Página 151
Ecuaciones sencillas
- Resuelve mentalmente.
a) x + 4 = 5 b) x – 3 = 6
c) 7 + x = 10 d) 7 – x = 5 e) 9 = 15 – x f ) 2 – x = 9
a) x = 1 b) x = 9 c) x = 3 d) x = 2
e) x = 6 f ) x = –
- Resuelve. a) 2 x – 5 + 3 x + 1 = 3 x – 2 b) x + 7 = 12 x – 3 – 8 x + 1
c) 6 x – 1 + x = 4 – 5 x + 3 d) x + 2 x + 3 x – 5 = 4 x – 9
e) 5 x + 4 – 6 x = 7 – x – 3 f ) 4 x + 2 + 7 x = 10 x + 3 + x
a) x = 1 b) x = 3
c) x = 3
(^2) d) x = –
e) Es una identidad. Tiene infinitas soluciones. f ) Incompatible. Sin solución.
- Quita paréntesis y resuelve. a) 6( x + 1) – 4 x = 5 x – 9 b) 18 x – 13 = 8 – 4(3 x – 1)
c) 3 x + 5(2 x – 1) = 8 – 3(4 – 5 x ) d) 5 – (4 x + 6) = 3 x + (7 – 4 x )
e) x – 7(2 x + 1) = 2(6 – 5 x ) – 13 f ) 11 – 5(3 x + 2) + 7 x = 1 – 8 x g) 13 x – 5( x + 2) = 4(2 x – 1) + 7
a) 6 x + 6 – 4 x = 5 x – 9 → 15 = 3 x → x = 5
b) 18 x – 13 = 8 – 12 x + 4 → 30 x = 25 → x = 6
c) 3 x + 10 x – 5 = 8 – 12 + 15 x → –1 = 2 x → x = – 2
d) 5 – 4 x – 6 = 3 x + 7 – 4 x → –8 = 3 x → x = – 3
e) x – 14 x – 7 = 12 – 10 x – 13 → – 6 = 3 x → x = – f ) 11 – 15 x – 10 + 7 x = 1 – 8 x → 1 – 8 x = 1 – 8 x → Identidad. Infinitas soluciones.
g) 13 x – 5 x – 10 = 8 x – 4 + 7 → 8 x – 10 = 8 x + 3 → Incompatible. No tiene solución.
Matemáticas 2
Ecuaciones de primer grado con denominadores
- Quita denominadores y resuelve.
a) x 3
(^5) + x b) x (^) x x 5
– = – –^1
c) x^ x x 3 15
+ – = –^7 d) x^ x^ x x 4
e) x^ x^ x 2 6
+ – = + –^2
a) 10 x + 6 = 5 + 6 x → x = – 4
(^1) b) 12 x – 5 = 20 x – 14 x – 4 → x = 6
c) 10 x + 8 – 30 x = 5 – 21 x → x = –3 d) 14 x – 8 – x = 8 x + 5 x + 8 → 0 x = 16 → Sin solución.
e) 3 x + 1 – 2 x = x – 4 + 5 → x + 1 = x + 1 → Identidad. Tiene infinitas soluciones.
- Elimina los paréntesis y los denominadores, y resuelve.
a) 2 x – 2
= 1 ( x – 3) b) ( x ) x x 6
- – = c) x^ x 5
- = d^ –^4 n^ d) x – 3
= 1 (2 x – 5)
a) 4 x – 5 = x – 3 → x = 3
b) 5(2 x – 1) – 6 x = x → 10 x – 5 – 6 x = x → x = 3
c) x^ x 5
- = –^8 → x – 5 = 10 x – 8 → x = 3
d) x – x 3
= –^5 → 6 x – 2 = 2 x – 5 → x = – 4
- Elimina denominadores y resuelve.
a) 1 – x^ x 3
+ (^) = – (^1) b) 1 – x (^) x 3
- (^) = + 1 c) x 2
3 – (^1) – 1 = 2 x – 2
d) x + x^ x 5
- (^) = + 1 e) 2 x + x x 2
- (^) = – (^3) f ) x (^) x x 5
– = – +^1
g) x^ x 5
+ (^) – – (^6) = 1 h) x x x 3
– – – =^3 –^1
a) 3 – ( x + 1) = 6 x – 1 → 3 – x – 1 = 6 x – 1 → x = 7
b) 6 – 2(1 – x ) = 6 x + 3 → 6 – 2 + 2 x = 6 x + 3 → x = 4
c) 3 x – 1 – 2 = 4 x – 4 → x = 1 d) 10 x + 2(2 – 3 x ) = 5 x + 10 → 10 x + 4 – 6 x = 5 x + 10 → x = – 6
e) 8 x + 2( x – 3) = x – 3 → 8 x + 2 x – 6 = x – 3 → x = 3
f ) 6 x – 10 = 10 x – 5( x + 1) → 6 x – 10 = 10 x – 5 x – 5 → x = 5
g) 7( x + 3) – 5( x – 6) = 35 → 7 x + 21 – 5 x + 30 = 35 → x = –
h) 4(1 – x ) – ( x – 1) = 3(3 x – 1) → 4 – 4 x – x + 1 = 9 x – 3 → x = 7
Matemáticas 2
Ecuaciones de segundo grado
- Observa, razona y resuelve.
a) 5 x^2 = 45 b) 12 x^2 = 3
c) x ( x – 3) = 0 d) ( x + 5) x = 0
e) x (3 x – 1) = 0 f ) 3 x (5 x + 2) = 0 g) x^2 – 7 x = 0 h) x^2 + 4 x = 0
i) 3 x^2 = 2 x j ) 5 x^2 = x^2 – 2 x
a) x = ±3 b) x = ± 2
c) x = 0; x = 3 d) x = 0; x = –
e) x = 0; x = 3
(^1) f ) x = 0; x = – 5
g) x = 0; x = 7 h) x = 0; x = – 4
i ) x = 0; x = 3
(^2) j ) x = 0; x = – 2
Matemáticas 2
Página 152
- Resuelve aplicando la fórmula.
a) x^2 – 10 x + 21 = 0 b) x^2 + 2 x – 3 = 0 c) x^2 + 9 x + 40 = 0 d) 5 x^2 + 14 x – 3 = 0
e) 15 x^2 – 16 x + 4 = 0 f ) 14 x^2 + 5 x – 1 = 0
g) x^2 – 10 x + 25 = 0 h) 9 x^2 + 6 x + 1 = 0 i ) 6 x^2 – 5 x + 2 = 0 j ) 6 x^2 – x – 5 = 0
a) x = ± 2
10 100 – (^84) → x = 7; x = 3 b) x = ± 2
- 2 4 + (^12) → x = 1; x = –
c) x = ± 2
- 9 81 – (^160) → Sin solución. d) x = ± 10
- 14 196 + (^60) → x = 5
(^1) ; x = –
e) x = ± 30
16 256 – (^240) → x = ; x 3
= 2 f ) x = ± 28
=–^1
g) x = ± 2
10 100 – (^100) → x = 5; x = 5 h) x = ± 18
– =–^1
i ) x =
→ Sin solución. j ) x =
→ x = 6; x = –
- Reduce a la forma general y aplica la fórmula.
a) x^2 – x 4
= b – 1 l b) x^ x x^ x 2 30
d + n = d +^2 n
c) x^ x x^ x 3 20
d – n =^2 – d –^1 n d) x^ x x 2 3
a) 20 x^2 – x – 1 = 0 → x = ; x 4
= –^1 b) 10 x^2 – 7 x = 0 → x = 0; x = 10
c) 10 x^2 – 7 x + 2 = 0 → Sin solución. d) x^2 – 6 x – 16 = 0 → x = 8; x = –
Resuelve problemas con ecuaciones de primer grado
- Calcula, primero, mentalmente y, después, con la ayuda de una ecuación.
a) Si a un número le sumas 12, obtienes 25. ¿De qué número se trata? b) Si a un número le restas 10, obtienes 20. ¿Qué número es?
c) Un número, x , y su siguiente, x + 1, suman 13. ¿Cuáles son esos números?
d) En mi clase somos 29 en total, pero hay tres chicos más que chicas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay en la clase?
a) x + 12 = 25 → x = 13 b) x – 10 = 20 → x = 30
El número es 13. El número es 30.
c) x + ( x + 1) = 13 → x = 6 d)
Los números son 6 y 7.
x x
x x x 3
Chicas Chicos +
En la clase hay 13 chicas y 16 chicos.
Matemáticas 2
- Reparte 280 € entre tres personas, de forma que la primera reciba el triple que la segunda, y esta, el doble que la tercera.
1.ª^ persona → 6 x ; 2.ª^ → 2 x ; 3.ª^ → x
6 x + 2 x + x = 280 → x = 31,
La tercera persona recibe 31,11 €. La segunda, 31,11 · 2 = 62,22 €. La primera, 6 · 31,11 = = 186,67 €.
- Tres agricultores reciben una indemnización de 100 000 € por la expropiación de terrenos para la construcción de una autopista. ¿Cómo han de repartirse el dinero, sa- biendo que el primero ha perdido el doble de terreno que el segundo, y este, el triple de terreno que el tercero?
6 x + 3 x + x = 100 000 → x = 10 000 Primer agricultor → 60 000 €
Segundo agricultor → 30 000 €
Tercer agricultor → 10 000 €
- En la caja de un supermercado hay 1 140 euros repartidos en billetes de 5, 10, 20 y 50 euros.
Sabiendo que: — Hay el doble de billetes de 5 € que de 10 €.
— De 10 € hay la misma cantidad que de 20 €.
— De 20 € hay seis billetes más que de 50 €. ¿Cuántos billetes de cada clase tiene la caja?
Billetes de 50 € → x Billetes de 20 € → x + 6 Billetes de 10 € → x + 6 Billetes de 5 € → 2( x + 6)
50 x + 20( x + 6) + 10( x + 6) + 5 · 2 · ( x + 6) = 1 140 → x = 10
En la caja hay 10 billetes de 50 €, 16 billetes de 20 €, 16 billetes de 10 € y 32 billetes de 5 €.
- Se han repartido 500 litros de gasóleo, a partes iguales, en dos barriles. ¿Cuántos litros se han de pasar de uno al otro para que el segundo quede con el triple de cantidad que el primero?
3 · (250 – x ) = 250 + x → x = 125 Se han de pasar 125 litros. Así, el primer barril quedará con 125 l y el segundo con 375 l.
- Un hortelano siembra la mitad de su huerta de melones, la tercera parte de tomates, y el resto, que son 200 m^2 , de patatas. ¿Qué superficie tiene la huerta? superficie huerta → x melones → x /
tomates → x /3 patatas → 200 m^2
x x 2 3
La huerta tiene una superficie de 1 200 m^2.
Matemáticas 2
Página 153
- Ejercicio resuelto.
Ejercicio resuelto en el libro del alumnado.
- Un padre tiene 38 años, y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que el padre tenga solo el doble de edad que el hijo?
38 + x = 2(11 + x ) → x = 16
Han de transcurrir 16 años.
hoy dentro de x años padre 38 38 + x hijo 11 11 + x
- La edad de doña Adela es seis veces la de su nieto Juan, pero dentro de 8 años solo será el cuádruple. ¿Qué edad tiene cada uno?
4( x + 8) = 6 x + 8 → x = 12 Juan tiene 12 años, y Adela, 72 años.
hoy dentro de 8 años abuela (^) 6 x 6 x + 8 juan x x + 8
- Un ciclista sube un puerto a 15 km/h y, después, desciende por el mismo camino a 35 km/h. Si la ruta ha durado 30 minutos, ¿cuánto tiempo ha invertido en la subida?
tiempo de subida → x (horas)
tiempo de bajada → 1/2 – x (horas) distancia recorrida subiendo → 15 x
distancia recorrida bajando → 35 x 2
d^1 – n
15 x = 35 x 2
c 1 – m → x =
En la subida ha invertido 20
(^7) horas. Es decir, 20
(^7) h 60
= 21 h= 21 minutos.
- Dos ciclistas parten simultáneamente; uno, de A hacia B, a la velocidad de 24 km/h, y el otro, de B hacia A, a 16 km/h. Si la distancia entre A y B es de 30 km, ¿cuánto tarda- rán en encontrarse?
tiempo hasta el encuentro → x (horas) distancia recorrida por el primero → 24 x
distancia recorrida por el segundo → 16 x
24 x + 16 x = 30 → x = 4
Tardan en encontrarse tres cuartos de hora.
