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Taller de Cálculo Vectorial
Escriba al frente de cada una de las siguientes proposiciones una F si es falsa o una V en
caso de ser verdadera. En todos los casos, justifique su respuesta, mediante un
ejemplo, contraejemplo o gráfica.
a. _________Las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑡
2
− 2 𝑡 𝑦 = 𝑡 + 1 para cualquiert
valor de 𝑡 representan la ecuación cartesiana 𝑥 = 𝑦
2
b. _________Las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 para 0 ≤ 𝑡 ≤
2 𝜋 representan la ecuación cartesiana 𝑥
2
2
c. _________La ecuación polar 𝜃 =
𝜋
4
representa una parábola en el plano cartesiano.
d. ________ La ecuación polar 𝜃 =
𝜋
3
representa línea recta 𝑦 = √
e. ________Las curvas polares 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋 y la 𝑟 = − 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 0 ≤
𝜃 ≤ 2 𝜋 representan la misma gráfica.
f. ________ Las curvas polares 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋 y la 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 −
1 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋 representan la misma gráfica.
g. _________Si un punto representado por
en coordenadas cartesianas (donde
𝑥 ≠ 0 ) y
en coordenadas polares, entonces 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛
− 1
𝑦
𝑥
h. ________La ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 representa una circunferencia
de radio 𝑎
i. ________ La ecuación polar 𝑟 = 𝑎 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋 representa una circunferencia de
radio 𝑎
j. ________La ecuación 𝑦 = 𝑥 representa en el espacio un plano paralelo al eje 𝑧 que
pasa por el origen.
k. ________La superficie cuádrica 𝑧 = 𝑥
2
2
representa un paraboloide circular.
l. ________ La superficie cuádrica 𝑧
2
2
2
representa un paraboloide
hiperbólico.
m. ________ La superficie cuádrica 𝑧 = √
2
2
representa un hemisferio sobre
el plano 𝑥𝑦
n. ________ La superficie cuádrica 𝑧 = 𝑦
2
2
representa un paraboloide
hiperbólico.
o. _______ La superficie 𝑥
2
2
= 1 representa un cilindro circular recto de centro
( 0 , 0 ) y radio 1
p. ________ La superficie cuádrica 𝑥
2
2
2
2
representa un elipsoide.
q. _________Si la curva paramétrica 𝑥 = 𝑓
satisface 𝑔
′
entonces tiene una recta tangente horizontal cuando 𝑡 = 1
r. ___________La longitud de una curva para 𝑥 = 𝑓
, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 es
[
]
2
[
]
2
𝑏
𝑎
s. ______________La parábola 𝑦 = 𝑎𝑥
2
; 𝑎 ≠ 0 tiene su mayor curvatura en su
vértice.
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Facultad de Ciencias Exactas
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t. La ecuación del círculo osculador de la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥
2
; 𝑎 ≠ 0 es 𝑥
2
2
2
u. _________Si
= 𝑐 (𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) entonces 𝒓
′
v. __________Si la rapidez
es igual a una constante, entonces 𝒂(𝑡) ⊥ 𝑽(𝑡)
para 𝑡 ∈ 𝑹
w. __________ si 𝑘
= 0 para todas las 𝑡 , la curva es una línea recta.
x. __________ si |𝒓(𝑡)| = 1 para todas la 𝑡 entonces |𝒓
′
(𝑡)| es una constante.
y. ___________Si 𝑻 = 𝑻(𝒕) es un vector tangente unitario para una curva suave,
entonces el producto punto 𝑻. 𝑻 = 1
z. ____________ La curvatura de un círculo es inversamente proporcional a su radio.
- Elimine el parámetro para encontrar una ecuación cartesiana de la curva.
a. 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
1
2
1
2
b. 𝑥 =
1
2
c. 𝑥 = 𝑒
𝑡
− 2 𝑡
d. 𝑥 = √𝑡 + 1 , 𝑦 = √𝑡 − 1
e. Muestre que las ecuaciones para métricas de la elipse
𝑥
2
𝑎
2
𝑦
2
𝑏
2
= 1 son 𝑥 =
𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝜋, 𝑎 > 𝑏, deduzca tales ecuaciones graficando
la elipse y el triángulo rectángulo cuyo ángulo es t y sus catetos son 𝑎 𝑦 𝑏
respectivamente.
- Encuentre la longitud de un arco de la cicloide 𝑥 = 𝑟
- Encuentre el área de la superficie del sólido generado al rotar un arco de la cicloide
del eje 𝑥.
- Use las ecuaciones paramétricas de una elipse 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤
2 𝜋, 𝑎 > 𝑏 para encontrar el área que encierra.
- Muestre que la curva 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 tiene dos rectas tangentes en ( 0 , 0 ) y
encuentre sus ecuaciones. Trace la curva.
- Encuentre los puntos sobre la curva donde la recta tangente es horizontal o vertical.
a. 𝑥 = 𝑡
3
2
b. 𝑥 = 𝑡
3
3
2
Identifique la curva encontrando una ecuación cartesiana para dicha curva.
a. 𝑟 = 2 𝑐𝑜𝑠𝜃
b. 𝑟 = 5 𝑠𝑒𝑛𝜃
c. 1 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
d. 𝑟 = 2
e. 𝑟 = 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃
f. 𝑟
2
- Muestre que la ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑎𝑏 ≠ 0 represeenta una
circunferencia y encuentre su centro y radio
- Para la cardiode 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋 encuentre la pendiente de la recta
tangente 𝜃 = 𝜋 ⁄ 3 y los puntos sobre la cardiode donde la recta tangente es horizontal
o vertical. Dibuje la gráfica.
- Escriba una función vectorial 𝒓
para 𝑡 ∈ 𝑹 que respresenta la curva 𝑪 de
intersección de las superficies y dibuje la gráfica detallando la respectiva curva:
a. 𝑥
2
2
= 1 con el plano 𝑧 = 2 − 𝑦
b. 𝑥
2
2
2
− 4 𝑧 = 0 con el plano 𝑧 = 2 − 𝑦
c. 𝑥
2
2
= 𝑧 con el plano 𝑦 = 𝑥
d. 𝑥
2
2
− 𝑧 = 0 con el plano 𝑧 = 1
e. 𝑥
2
2
= 𝑧 con el plano 𝑦 + 𝑧 = 2
f. 𝑧 = √𝑥
2
2
con el plano 𝑧 = 1 + 𝑦
- Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la hélice con ecuaciones
paramétricas: 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑧 = 𝑡 en el punto
- Dadas las ecuaciones paramétricas de la curva Hélice 𝑪:
Dibuje la curva_._
a. Determine su longitud de arco del punto ( 1 , 0 , 0 ) al punto
b. Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en el punto ( 0 , 1 ,
𝜋
2
c. Hallar su curvatura en el punto ( 0 , 1 ,
𝜋
2
d. Los vectores 𝑻, 𝑵 𝒚 𝑩 en el punto ( 0 , 1 ,
𝜋
2
e. Determine las ecuaciones de los planos normal y Osculador en el punto ( 0 , 1 ,
𝜋
2
- Determine ecuaciones del plano normal y el plano osculador de la curva en el punto
dado.
a. 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2 𝑡 , 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 , 𝑧 = 4 𝑡 ; ( 0 , 1 , 2 𝜋)
b. 𝑥 = 𝑙𝑛𝑡 , 𝑦 = 2 𝑡 , 𝑧 = 𝑡
2
- Determine el punto de la curva 𝑦 = 𝑒
−𝑥
en el que la curvatura es máxima.
¿Qué ocurre a la curvatura cuándo
x →
? Hallar la ecuación del circulo osculador
en el punto
y dibuje la gráfica respectiva.
- Dadas las curvas, ¿En qué punto la curva tiene, su máxima curvatura? ¿Qué ocurre a
la curvatura cuándo
x →
a. 𝑦 = 𝑒
𝑥
b. 𝑦 = ln 𝑥
- Halle el vector posición de una partícula con la aceleración dada y la velocidad y
posición inicial especificada.
a. 𝒂(𝑡) = 2 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝒋 + cos 2 𝑡 𝒌, 𝒗( 0 ) = 𝒊, 𝒓( 0 ) = 𝒋
b. 𝒂(𝑡) = 𝑡 𝒊 + 𝑒
𝑡
−𝑡
- Ejemplo 6. Un proyectil es disparado con una rapidez de cañón de 150 𝑚 ⁄ 𝑠y un
ángulo de elevación de 45
𝑜
des una posición de 10 𝑚 sobre la superficie. ¿Dónde
impacta el proyectil la superficie y con qué rapidez?
- Determine las componentes tangencial y norma del vector aceleración:
a. 𝒓
b. 𝒓(𝑡) = 𝑡 𝒊 + 2 𝑒
𝑡
𝟐𝒕
c. 𝒓
d. 𝒓(𝑡) = ln 𝑡 𝒊 + (𝑡
2
e. 𝒓
1
𝑡
𝟏
𝒕
𝟐
𝟏
𝒕
𝟑
- Considere la curva paramétrica dada por:
, 𝑦 = cos
y 𝑧 = 𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ∈
[
]
y 𝑡
1
a. Calcule la longitud de la curva.
b. Calcule los vectores unitarios 𝐓, 𝐍 𝐲 𝐁 𝑒𝑛 𝑡 = 𝑡
1
c. Determine la curvatura 𝑘 en 𝑡 = 𝑡
1
d. Calcule la 𝑎
𝑡
𝑛
en 𝑡 = 𝑡
1
e. Realizar la gráfica.
