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Área Matemática
Taller de Matemática Aplicada
Año 202 3
TALLER Nº 3
Núcleo B: Tópicos de Álgebra Lineal
ENCUENTRO SINCRÓNICO 5 6
CAPÍTULOS RELACIONADOS DEL NÚCLEO B^1
VIDEOS RELACIONADOS DEL NÚCLEO B B1 y B
ACTIVIDADES DEL TALLER A RESOLVER^1 2 y 3
TALLER Nº 3 : Cambio dinámico de poblaciones
En numerosas ocasiones nos enfrentamos con procesos que:
- evolucionan en el tiempo,
- atraviesan un número finito de estados separados por intervalos de tiempo de la misma longitud, - cada estado admite cierta población que va cambiando en pasos finitos
- la probabilidad de cambiar a otro estado (o no hacerlo) sólo depende del estado presente y no de la historia pasada. Estos procesos se denominan cadenas de Markov. Las cadenas de Markov pueden utilizarse para modelizar diversos fenómenos y son discretas: analizan las poblaciones en ciertos momentos. 1) Un cierto tipo de bacterias de la Puna muestra rápidas adaptaciones a la radiación UV. Puede presentar dos tipos de metabolismo que se intercambian entre sí, uno basal (B) y uno adaptado a la radiación UV (R). Cuando los niveles de exposición a radiación son muy bajos, todos los individuos presentan un metabolismo tipo B mientras que, si los niveles son altos, todos se adaptan a un metabolismo tipo R. El caso en estudio se da cuando los niveles de radiación son entre bajos e intermedios. En estos casos, las bacterias pueden sobrevivir en ambas formas. Los individuos de tipo B deben optar por mantenerse con su metabolismo más activo, aunque estresados por la radiación, o cambiar su metabolismo a un tipo R para sobrevivir fácilmente a la radiación, a pesar de que su metabolismo general pueda verse afectado. Por otra parte, los individuos de tipo R pueden mantenerse en él, o pasar al metabolismo B por pérdida de alguno de los componentes cruciales del tipo R. Se ha podido demostrar que, en las condiciones de radiación indicadas previamente, luego de transcurrido un día, el 78 % de los individuos que estaban en un estado B se quedan en él, mientras que el 22 % restante pasa al estado R. Al mismo tiempo, de los que estaban en un estado R, el 64 % se mantiene en él, mientras que todas las demás pasan al estado B. a) La descripción anterior corresponde a una cadena de Markov. Justifiquen por qué, identificando todos sus elementos constitutivos. Luego completen los espacios vacíos de la imagen lateral con las probabilidades correspondientes. b) Supongan que inicialmente cuentan con 29000 bacterias totales, con metabolismos tipo B y R, en proporción 50:50. Sin realizar ningún cálculo, ¿cómo creen que variará la proporción de cada tipo a medida que pase el tiempo? (Planteen una hipótesis de acuerdo a su intuición y explíquenla brevemente). c) Calculen las poblaciones de cada tipo de bacteria luego de un día (𝑥 1 𝐵 y 𝑥 1 𝑅) a partir de sus poblaciones iniciales (𝑥 0 𝐵 y 𝑥 0 𝑅). d) Planteen un SEL que permita calcular las poblaciones 𝑥 1 𝐵 y 𝑥 1 𝑅 a partir de las poblaciones iniciales 𝑥 0 𝐵 y 𝑥 0 𝑅. Planteen otro SEL que permita calcular las poblaciones del segundo día 𝑥 2 𝐵 y 𝑥 2 𝑅 a partir de las poblaciones 𝑥 1 𝐵 y 𝑥 1 𝑅. ¿Qué cambia entre ambos SELs? ¿Qué se mantiene constante? ¿Por qué? e) Los vectores de estado 𝒙𝟎 y 𝒙𝟏 son dos vectores columna: 𝒙𝟎 = (
𝑥 0 𝑅)^ y^ 𝒙𝟏^ =^ (
𝑥 1 𝑅 ). El vector^ 𝒙𝟏^ es^ el resultado de multiplicar a 𝒙𝟎 por una matriz 𝑃, es decir, 𝒙𝟏 = 𝑃. 𝒙𝟎. Esta matriz se denomina matriz de transición. i. Hallen la matriz de transición para el caso estudiado. ii. Si 𝒙𝟐 = 𝑃. 𝒙𝟏, ¿qué representa 𝒙𝟐 en el contexto del problema?
- la tasa de natalidad ( ni ): es la cantidad de individuos de la variedad inicial que genera, en promedio, cada individuo de una cierta variedad en un intervalo de tiempo. Por ejemplo, si la tasa es de 2 para la variedad X, esto significa que luego de un intervalo de tiempo, cada individuo X habrá generado (en promedio) 2 nuevos individuos de la variedad inicial. Gráficamente para una población con cuatro variedades (A, B, C y D), donde A es la variedad inicial y D la final, podemos construir el siguiente esquema que representa el cambio poblacional tras un intervalo de tiempo. Veamos como funciona el modelo en un caso concreto. Se desea estudiar la resistencia de un cultivo de la levadura Candida albicans al antibiótico fluconazol. Este hongo provoca candidiasis, una infección generalmente superficial (oral o vaginal) que puede provocar enfermedades sistémicas graves (candidemia) en pacientes inmunodeprimidos. El fluconazol es un antibiótico usual para su tratamiento, aunque últimamente se han reportado cepas de C. albicans que generan rápida resistencia al antibiótico. A un cultivo inicial de cándida, se le ha incorporado una cierta cantidad de fluconazol, lo que genera que las levaduras respondan metabólicamente a la situación de estrés. En la etapa de adaptación al estrés, se pueden clasificar a las levaduras presentes en tres variedades sucesivas de acuerdo a sus características morfológicas: las nóveles ( N ) son la variedad inicial, de crecimiento rápido, metabólicamente activas pero sensibles al fluconazol, por lo que rápidamente mueren o se adaptan a la variedad adulta ( A ). Estas poseen tasas de crecimiento más lento, y metabolismo disminuido, pero son capaces de sobrevivir con fluconazol en el medio. Luego de un tiempo, las levaduras adultas se reproducirán (generando levaduras nóveles), morirán o darán origen a levaduras de variedad latente ( L ) que disminuyen su tasa metabólica; son capaces reproducirse lentamente (y dar origen a levaduras nóveles), pero eventualmente morirán. El comportamiento de esta cepa resistente de C. albicans se estudió caracterizando los cultivos a intervalos equiespaciados por 12 horas. Se pudo determinar que, luego de transcurrido un intervalo de tiempo:
- las levaduras nóveles : no pueden reproducirse y cada 100 nóveles que existen inicialmente en el medio, 30 sobreviven como nóveles, 60 se vuelven adultas y las 10 restantes mueren por acción del antibiótico.
- las levaduras adultas : cada 4 00 levaduras adultas iniciales se generan, en promedio, 840 levaduras nóveles; además, de estas 4 00 levaduras adultas, 50 se volverán latentes, 80 sobrevivirán como adultas, y las restantes morirán por desórdenes metabólicos. A B C D
Muerte
- las levaduras latentes: disminuyen su capacidad de reproducción, generando (en promedio) solo 1 nueva levadura novel cada una; además, tras un periodo sobrevive solo el 15% de la población, mientras que muere el 85% restante. a) Realicen un esquema similar al anterior que dé cuenta del proceso de evolución de C. albicans en un medio con fluconazol. Escriban claramente cuánto valen las distintas tasas de avance, supervivencia y natalidad de cada variedad. b) Planteen un sistema de ecuaciones lineales (SEL) que permita predecir la población de cada variedad de levadura luego del primer periodo de tiempo (𝑁 1 , 𝐴 1 𝑦 𝐿 1 ) si en el momento inicial del estudio se cuenta con N 0 levaduras nóveles, A 0 levaduras adultas y L 0 levaduras latentes. c) El SEL anterior se puede expresar como una ecuación matricial de la forma 𝐿. 𝒙𝟎 = 𝒙𝟏. Si 𝒙𝟎 = (
), hallen la matriz L , y el vector 𝒙𝟏. La matriz 𝐿 suele llamarse matriz de Leslie. d) Hallen la población de cada variedad de levadura luego de un periodo de tiempo si inicialmente se contaba con 5000 levaduras nóveles, 5 000 adultas y 5000 latentes. Hallen los vectores 𝒙𝟐 y 𝒙𝟑, es decir, la distribución de poblaciones luego de 2 y 3 periodos respectivamente. e) Hallen los vectores 𝒙𝒊 para i entre 1 y 10 , y a partir de ellos: i. Grafiquen la población de cada variedad de levadura en función de i. Describan el comportamiento de la población de cada variedad a medida que pasa el tiempo. ii. Grafiquen el porcentaje de cada variedad de levadura en función de i. Describan el comportamiento de estas proporciones a medida que pasa el tiempo. iii. Grafiquen la población total de levadura en función de i. Describan su comportamiento a medida que pasa el tiempo. f) La población de cada variedad de levadura evoluciona en función del tiempo de modo que, en cierto momento, 𝐿. 𝒙𝒆−𝒑𝒐𝒃 = 𝜆𝑒𝑞. 𝒙𝒆−𝒑𝒐𝒃, siendo 𝜆𝑒𝑞 un número real. i. Demostrar que solo existen tres posibles 𝜆𝑒𝑞 que cumplen la igualdad anterior. ii. Para el único valor de 𝜆𝑒𝑞 con sentido en el contexto planteado, hallar un posible vector 𝒙𝒆−𝒑𝒐𝒃 que cumpla la ecuación anterior, y verificarla. g) La proporción de cada variedad de levadura evoluciona en función del tiempo de modo que, en cierto momento, 𝐿. 𝒙𝒆−𝒑𝒓𝒐𝒑 = 𝜆𝑒𝑞. 𝒙𝒆−𝒑𝒓𝒐𝒑. ¿Qué representa el vector 𝒙𝒆−𝒑𝒓𝒐𝒑 en el contexto del problema? ¿Cómo podrían obtenerlo de forma exacta, sin necesidad de realizar numerosos cálculos iterativos^1? h) Una población de levaduras se deja crecer siguiendo el modelo en estudio. En un cierto momento, cuando la población total es de 16 millones de bacterias, alcanza el estado estacionario. ¿Cómo se distribuirá esta población entre sus 3 tipos? 3) Luego de analizar las actividades 1 y 2, a) Comparar las gráficas de la evolución de la población total de bacterias/levaduras en función del tiempo. ¿Cómo se relacionan con el autovalor que describe al sistema en cada caso? b) ¿Qué similitudes y diferencias encuentran entre los vectores estacionarios 𝒙𝒆 (act. 1) y 𝒙𝒆−𝒑𝒐𝒃 (act. 2). (^1) Iterativo se refiere a un proceso que se repite idénticamente sobre su propio resultado.
