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Taller ÁREA Y VOLUMENES, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral
temas de área bajo la curva, área entre curvas.. etc
Tipo: Ejercicios
2020/2021
1 / 10
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TALLER 2
Áreas
1) Calcular el área limitada por la función 𝒚 = 𝒙𝟐^ + 𝟗 , el eje x y las ordenadas de 𝒙 = 𝟐 𝒚 𝒙 = 𝟖. Dibujar.
Datos
𝒚 = 𝒙𝟐^ + 𝟗
𝒙 = 𝟐
𝒙 = 𝟖
𝑨 = ∫ (𝒙𝟐^ + 𝟗)𝒅𝒙
𝟖 𝟐 𝒙𝟑 𝟑
Límites de integración
3) Hallar el área de la figura limitada por: 𝒚 = 𝒙𝟐^ , y = x , x = 0 , x = 2. Dibujar.
Datos
𝒚 = 𝒙𝟐^ y 𝒚 = 𝒙
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟐
Calculamos primero A
𝑨 = ∫(𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝒅𝒙
𝑨𝟏 = ∫ (𝒙 − 𝒙𝟐^ )𝒅𝒙
𝟏 𝟎
𝑨𝟏 = ∫ 𝒙𝒅𝒙
𝟏
𝟎
− ∫ 𝒙𝟐^ 𝒅𝒙
𝟏
𝟎 𝒙𝟐 𝟐 −
𝑨𝟏 = [
𝟑 + 𝒄] − [
𝟑 + 𝒄]
𝑨𝟏 = [
𝟑 + 𝒄] − [𝒄]
𝑨𝟏 = [
𝟑 + 𝒄] − [𝒄]
𝑨𝟏 = [
+ 𝒄] − [𝒄]
Límites de integración
A A
Calculamos ahora A
𝑨 = ∫(𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝒅𝒙
𝑨𝟐 = ∫ (𝒙𝟐^ − 𝒙)𝒅𝒙
𝟐
𝟏
𝑨𝟐 = ∫ 𝒙𝟐^ 𝒅𝒙
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏 𝒙𝟑 𝟑
𝑨𝟐 = [
𝟐 + 𝒄] − [
𝟐 + 𝒄]
𝑨𝟐 = [
𝟐 + 𝒄] − [
𝟐 + 𝒄]
𝑨𝟐 = [
+ 𝒄] − [−
+ 𝒄]
Ahora hallamos el Área total 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝑨𝑻 𝟏 𝟔 +
𝒗 = ∫ = 𝝅(𝑹𝟐^ − 𝒓𝟐^ )𝒅𝒙
𝒗 = ∫ 𝝅(𝑹𝟐^ − 𝒓𝟐^ )𝒅𝒙
𝟐 −𝟐
𝒗 = ∫ 𝝅(𝒚𝑴𝟐 − 𝒚𝒎𝟐 )𝒅𝒙
𝟐 −𝟐
𝒗 = ∫ 𝝅(𝟒𝟐^ − (𝒙𝟐^ )𝟐)𝒅𝒙
𝟐
−𝟐
𝒗 = ∫ 𝝅(𝟏𝟔 − 𝒙𝟒^ )𝒅𝒙
𝟐
−𝟐
𝒗 = ∫ (𝟏𝟔𝝅 − 𝒙𝟒^ 𝝅)𝒅𝒙
𝟐
−𝟐
𝟏𝟔𝒙𝝅 −
𝒙𝟓^ 𝝅
𝒗 = [𝟏𝟔𝒙𝝅 −
𝒙𝟓^ 𝝅
𝟓 + 𝒄] − [𝟏𝟔𝒙𝝅 −
𝒙𝟓^ 𝝅
𝟓 + 𝒄]
𝒗 = [𝟏𝟔(𝟐)𝝅 −
(𝟐)𝟓^ 𝝅
𝟓 + 𝒄] − [𝟏𝟔(−𝟐)𝝅 −
𝟓 + 𝒄]
𝒗 = [𝟑𝟐𝝅 −
𝟓 + 𝒄] − [−𝟑𝟐𝝅 −
𝟓 + 𝒄]
𝒗 = [
𝟓 + 𝒄] − [−
𝟓 + 𝒄]
2) La región acotada por 𝑦 = (^) √𝒙 , 𝑦 = 2, 𝑥 = 0 alrededor del:
a) Eje x
Datos:
𝒚 = √𝒙 y 𝒚 = 𝟐
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
𝒗 = ∫ 𝝅(𝑹𝟐^ − 𝒓𝟐^ )𝒅𝒙
Límites de integración
𝒚𝟐^ = (√𝒙)𝟐
𝒚𝟐^ = 𝒙
𝒗 = ∫ 𝝅(𝟐𝟐^ − 𝒚𝟐^ )𝒅𝒚
𝟐 𝟎
𝒗 = ∫ 𝝅(𝟒 − 𝒚𝟐^ )𝒅𝒚
𝟐
𝟎
𝒗 = ∫ (𝟒𝝅 − 𝒚𝟐^ 𝝅)𝒅𝒚
𝟐
𝟎
𝟒𝒚𝝅 −