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FUNCIÓN DERIVADA DERIVADA POR REGLA DE LA CADENA
𝑓(𝑥)^ = 𝑘 𝑓
𝑥)^ = 0 -
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = 𝑥
𝑥)^ = 𝑛 ⋅ 𝑥
ି ଵ
ᇱ
ି ଵ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
2 ඥ𝑔(𝑥)^
ᇱ
ᇱ
𝑔(𝑥)^
𝑓(𝑥)^ = 𝑙𝑜𝑔(𝑥)^ 𝑓
𝑥)^ =
𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑎)^
ᇱ
𝑔(𝑥)^ ⋅ 𝑙𝑛(𝑎)^
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = 𝑒
௫
ᇱ
௫
(௫)
ᇱ
(௫)
ᇱ
௫
ᇱ
௫
(௫)
ᇱ
(௫)^
⋅ 𝑙𝑛(𝑎)^ ⋅ 𝑔
ᇱ
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)^ 𝑓
ᇱ
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)^ 𝑓
𝑥)^ = 𝑠𝑒𝑐
𝑥)^ ൫𝑡𝑎𝑛൫𝑔(𝑥)൯൯
ᇱ
ଶ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)^ 𝑓
𝑥)^ = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)^ ⋅ 𝑡𝑎𝑛(𝑥)^ ൫sec൫𝑔(𝑥)൯൯
ᇱ
= sec൫𝑔(𝑥)൯^ ⋅ tan൫𝑔(𝑥)൯^ ⋅ 𝑔
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = cot(𝑥)^ 𝑓(𝑥)^ =^ −^ 𝑐𝑠𝑐
ଶ
ᇱ
ଶ
𝑓(𝑥)^ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)^ 𝑓
ᇱ
√^1 −^ 𝑥
ଶ
ᇱ
ඥ^1 −^ 𝑔
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)^ 𝑓
ᇱ
ଶ
ᇱ
ඥ^1 −^ 𝑔
𝑓(𝑥)^ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)^ 𝑓
ᇱ
1 + 𝑥ଶ^
൫arctan൫𝑔(𝑥)൯൯
ᇱ
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(𝑥)^ 𝑓
ᇱ
ଶ
ᇱ
𝑥)^ − 1
𝑓(𝑥)^ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥)^ 𝑓
𝑥)^ =
𝑥√𝑥ଶ^ − 1
ᇱ
𝑥)^ − 1
ᇱ
𝑓(𝑥)^ = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑓ᇱ(𝑥) =
ଶ
ᇱ
𝑥)^
ᇱ
INTEGRALES INDEFINIDAS
ଶ
ାଵ
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥|^ + 𝐶
௫
௫
௫
௫
௫
௫
𝑙𝑛(𝑎)^
ᇱ
∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)^ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)^ + 𝐶
∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑥)^ 𝑑𝑥 = − 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠(𝑥)|^ + 𝐶
∫ 𝑐𝑠𝑐(𝑥)^ 𝑑𝑥 = ± 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐(𝑥)^ ∓ 𝑐𝑜𝑡(𝑥)|^ + 𝐶
𝑥)^ 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡(𝑥)^ + 𝐶
ଶ
∫ 𝑠𝑒𝑐(𝑥)^ ⋅ 𝑡𝑎𝑛(𝑥)^ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)^ + 𝐶
∫ 𝑐𝑠𝑐(𝑥)^ ⋅ 𝑐𝑜𝑡(𝑥)^ 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐(𝑥)^ + 𝐶
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)^ 𝑑𝑥 =
𝜃)^ + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃)^ = 1
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
d
dx
(arc cos x) = °
p
1 ° x^2
, (0 ∑ arc cos x ∑ º)
d
dx
(arctan x) =
1 + x
2
∑ arctan x ∑
d
dx
(arccotan x) = °
1 + x^2
, 0 ∑ arccotan x ∑ º
d
dx
(arcsec x) =
|x|
p
x
2
, 0 ∑ arcsec x <
< arcsec x ∑ º
d
dx
(arccosecx) = °
|x|
p
x^2 ° 1
∑ arccosecx < 0 , 0 < arccosecx ∑
d
dx
(ln x) =
x
d
dx
(e
x
) = e
x
d
dx
(loga x) = (loga e) ·
x
d
dx
(a
x
) = ln a · a
x
20. Las derivadas de las funciones hiperb´olicas.
d
dx
cosh x = senh x,
d
dx
senh x = cosh x ,
d
dx
tanh x = sech
2
x
d
dx
coth x = ° sec h
2
x,
d
dx
sech x = °sech tanh x,
d
dx
cosech x = °cosech cotanh x
21. Las derivadas de las funciones hiperb´olicas inversas.
d
dx
arc cosh x =
p
x^2 ° 1
d
dx
arc senh x =
p
x^2 + 1
d
dx
arc tanh x =
1 ° x
2
, x
2
d
dx
arc coth x =
1 ° x
2
, x
2
d
dx
(arcsechx) = °
x
p
1 ° x^2
, 0 < x < 1 ,
d
dx
(arccosechx) = °
x
p
1 + x^2
, x > 0
Derivadas
Reglas de derivaci´on
Suma
d
dx
[f (x) + g(x)] = f 0 (x) + g 0 (x)
d
dx
[kf (x)] = kf 0 (x)
Producto d
dx
[f (x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
Cociente
d
dx
f (x)
g(x)
f 0 (x)g(x) ° f (x)g 0 (x)
g(x)^2
d
dx
{f [g(x)]} = f 0 [g(x)]g 0 (x)
Regla de la cadena d
dx
{f (g[h(x)])} = f 0 (g[h(x)])g 0 [h(x)]h 0 (x)
d
dx
(k) = 0
d
dx
(x k ) = kx k° 1 d dx
[f (x) k ] = kf (x) k° 1 f 0 (x)
Potencia
d
dx
p x) =
d
dx
(x 1 / 2 ) =
p x
d
dx
[
p f (x)] =
f 0 (x)
2
p f (x)
d
dx
μ 1
x
d
dx
(x ° 1 ) = °
x^2
d
dx
f (x)
f 0 (x)
f (x)^2
Ejercicios de derivadas
- Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = x 3 cuando x = 1/2 y x = °1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes.
Soluci´on.- a) 3/4, b) 3.
- Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes.
Soluci´on.- a) -4, b) -1.
- Hallar la derivada de la funci´on y = x 4 + 3x 2 ° 6.
Soluci´on.- y 0 = 4x 3
- Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 3 ° x 2 .
Soluci´on.- y 0 = 18x 2 ° 2 x.
- Hallar la derivada de la funci´on y = x^5 a+b
x^2 a°b
Soluci´on.- y^0 = 5 x^4 a+b
2 x a°b
- Hallar la derivada de la funci´on y = x^3 °x^2 + 5
Soluci´on.- y^0 = 3 x
(^2) ° 2 x 5
- Hallar la derivada de la funci´on y = 2ax^3 ° x^2 b + c.
Soluci´on.- y 0 = 6ax 2 ° 2 x b
- Hallar la derivada de la funci´on y = 6x
7 (^2) + 4x
5 (^2) + 2x.
Soluci´on.- y 0 = 21x
5 (^2) + 10x
3 (^2) + 2.
- Hallar la derivada de la funci´on y =
p 3 x + 3
p x + 1 x
Soluci´on.- y 0 =
p 3 2
p x
1 3
p 3 x^2
1 x^2.
- Hallar la derivada de la funci´on y =
(x+1)^3 x
3 2
Soluci´on.- y^0 = 3(x+1)^2 (x°1) 2 x
5 2
- Hallar la derivada de la funci´on y =
3 p x^2 ° 2
p x + 5.
Soluci´on.- y 0 = 2 3
1 p (^3) x ° p^1 x
- Hallar la derivada de la funci´on y = ax^2 p (^3) x + b x
p x
p (^3) x p x
Soluci´on.- y 0 = 5 3 ax^
2 (^3) ° 3 2 bx
° (^52)
1 6 x
° (^76) .
- Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x 3 )(1 + 2x 2 ).
Soluci´on.- y 0 = 4x(1 + 3x + 10x 3 ).
- Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x ° 1)(3x + 2).
Soluci´on.- y 0 = 2(9x 2
- Hallar la derivada de la funci´on y = (2x ° 1)(x^2 ° 6 x + 3).
Soluci´on.- y 0 = 6x 2 ° 26 x + 12.
- Hallar la derivada de la funci´on y = 2 x^4 b^2 °x^2
Soluci´on.- y 0 =
4 x^3 (2b^2 °x^2 ) (b^2 °x^2 )^2.
- Hallar la derivada de la funci´on y = a°x a+x.
Soluci´on.- y 0 = ° 2 a (a+x)^2.
- Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t^3 1+t^2
Soluci´on.- f 0 (t) =
t^2 (3+t^2 (1+t^2 )^2
- Hallar la derivada de la funci´on f (s) =
(s+4)^2 s+.
Soluci´on.- f 0 (s) =
(s+2)(s+4) (s+3)^2.
- Hallar la derivada de la funci´on y = x^3 + x^2 °x° 2
Soluci´on.- y 0 = x^4 ° 2 x^3 ° 6 x^2 ° 2 x+ (x^2 °x°2)^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = (2x 2 ° 3) 2 .
Soluci´on.- y^0 = 8x(2x^2 ° 3).
- Hallar la derivada de la funci´on y = (x^2 + a^2 )^5.
Soluci´on.- y 0 = 10x(x 2
- Hallar la derivada de la funci´on y =
p x^2 + a^2.
Soluci´on.- y^0 = px x^2 +a^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = (a + x)
p a ° x.
Soluci´on.- y 0 = a° 3 x 2
p a°x
- Hallar la derivada de la funci´on y =
q 1+x 1 °x
Soluci´on.- y 0 = 1 (1°x)
p 1 °x^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = 2 x
(^2) ° 1 x
p 1+x^2
Soluci´on.- y 0 = 1+4x^2 x^2 (1+x^2 )
3 2
- Hallar la derivada de la funci´on y = 3 p x^2 + x + 1.
Soluci´on.- y 0 = 2 x+ 3 3
p (x^2 +x+1)^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 3 p x) 3 .
Soluci´on.- y^0 =
1 p (^3) x
- Hallar la derivada de la funci´on f (x) = tan(ln x).
Soluci´on.- f 0 (x) =
sec^2 (ln x) x.
- Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(cos x).
Soluci´on.- f 0 (x) = ° sin x cos(cos x).
- Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1+x 1 °x
Soluci´on.- y^0 = 2 1 °x^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = log 3 (x 2 ° sin x).
Soluci´on.- y 0 = 2 x°cos x (x^2 °sin x) ln 3.
- Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1+x^2 1 °x^2.
Soluci´on.- y^0 = 4 x 1 °x^4
- Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x 2
Soluci´on.- y 0 = 2 x+ x^2 +x
- Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x 3 ° 2 x + 5).
Soluci´on.- y^0 = 3 x
(^2) ° 2 x^3 ° 2 x+
- Hallar la derivada de la funci´on y = x ln x.
Soluci´on.- y 0 = ln x + 1.
- Hallar la derivada de la funci´on y = ln 3 x.
Soluci´on.- y^0 = 3 ln^2 x x
- Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x +
p 1 + x^2 ).
Soluci´on.- y 0 = p^1 1+x^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = ln(ln x).
Soluci´on.- y^0 = 1 x ln x
- Hallar la derivada de la funci´on y = e (4x+5) .
Soluci´on.- y 0 = 4e (4x+5) .
- Hallar la derivada de la funci´on y = a x^2 .
Soluci´on.- y^0 = 2xax
2 ln a.
- Hallar la derivada de la funci´on y = 7(x
(^2) +2x) .
Soluci´on.- y^0 = 2(x + 1)7(x
(^2) +2x) ln 7.
- Hallar la derivada de la funci´on y = e x (1 ° x 2 ).
Soluci´on.- y 0 = e x (1 ° 2 x ° x 2 ).
- Hallar la derivada de la funci´on y = ex° 1 ex+.
Soluci´on.- y^0 = 2 e
x (ex+1)^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = esin^ x.
Soluci´on.- y^0 = esin^ x^ cos x.
- Hallar la derivada de la funci´on y = atan^ nx.
Soluci´on.- y^0 = natan^ nx^ sec^2 nx ln a.
- Hallar la derivada de la funci´on y = e cos x sin x.
Soluci´on.- y 0 = e cos x (cos x ° sin 2 x).
- Hallar la derivada de la funci´on y = e x ln(sin x).
Soluci´on.- y 0 = e x (cot x + ln(sin x)).
- Hallar la derivada de la funci´on y = x
1 x (^).
Soluci´on.- y 0 = x
1 x
1 °ln x x^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = x ln x .
Soluci´on.- y 0 = x ln x° 1 ln x 2 .
- Hallar la derivada de la funci´on y = x x .
Soluci´on.- y 0 = x x (1 + ln x).
- Hallar la derivada de la funci´on y = ex
x .
Soluci´on.- y^0 = ex
x (1 + ln x)xx.
- Hallar la derivada de la funci´on y = arcsin(x/a).
Soluci´on.- y^0 = p^1 a^2 °x^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = (arcsin x) 2 .
Soluci´on.- y 0 = 2 arcsinp x 1 °x^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = arctan(x^2 + 1).
Soluci´on.- y 0 = 2 x 1+(x^2 +1)^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = arctan( 2 x 1 °x^2 ).
Soluci´on.- y^0 = 2 1+x^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = arc cos x x
Soluci´on.- y 0 =
°(x+
p 1+x^2 arc cos x) x^2
p 1 °x^2
- Hallar la derivada de la funci´on y = x arcsin x.
Soluci´on.- y^0 = arcsin x + px 1 °x^2
Tabla de integrales inmediatas (continuaci´on)
Z
p 1 ° x^2
dx = arc cos x + C
Z
°f 0 (x) p 1 ° f (x)^2
dx = arc cos f (x) + C
Z
e
x dx = e
x
Z
f
0 (x)e
f (x) dx = e
f (x)
Z
a x dx =
ax
ln a
+ C
Z
f 0 (x)a f (x) dx =
af^ (x)
ln a
+ C
Ejercicios de integrales indefinidas
- Calcular la integral
R
x 5 dx.
Soluci´on.-
x 6
+ C.
- Calcular la integral
R
(x +
p x)dx.
Soluci´on.-
x 2
2 x
p x
3
+ C.
- Calcular la integral
R
μ 3 p x
x
p x
4
dx.
Soluci´on.- 6
p x °
x 2 p x + C.
- Calcular la integral
R (^) x^2 p x
dx.
Soluci´on.-
x 2 p x + C.
- Calcular la integral
R
μ 1
x^2
x
p x
dx.
Soluci´on.- °
x
p x
- Calcular la integral
R 1
4 p x
dx.
Soluci´on.-
p 4 x^3 + C.
- Calcular la integral
R
e^5 xdx.
Soluci´on.-
e 5 x
- Calcular la integral
R
cos 5xdx.
Soluci´on.-
sin 5x
5
+ C.
- Calcular la integral
R
sin axdx.
Soluci´on.- °
cos ax
a
+ C.
- Calcular la integral
R (^) ln x
x
dx.
Soluci´on.-
ln 2 x + C.
- Calcular la integral
R 1
sin
2 3 x
dx.
Soluci´on.- °
cot 3x
3
+ C.
- Calcular la integral
R 1
cos^2 7 x
dx.
Soluci´on.-
tan 7x
7
+ C.
- Calcular la integral
R 1
3 x ° 7
dx.
Soluci´on.-
ln | 3 x ° 7 | + C.
- Calcular la integral
R 1
1 ° x
dx.
Soluci´on.- ° ln | 1 ° x| + C.
- Calcular la integral
R 1
5 ° 2 x
dx.
Soluci´on.- °
ln | 5 ° 2 x| + C.
- Calcular la integral
R
tan 2xdx.
Soluci´on.- °
ln | cos 2x| + C.
- Calcular la integral
R
sin
2 x cos xdx.
Soluci´on.-
sin 3 x
3
+ C.
- Calcular la integral
R
cos^3 x sin xdx.
Soluci´on.- °
cos 4 x
4
+ C.
- Calcular la integral
R (^) ln^2 x
x
dx.
Soluci´on.-
ln 3 x
3
+ C.
- Calcular la integral
R (^) arcsin x p 1 ° x^2
dx.
Soluci´on.-
arcsin 2 x
2
+ C.
- Calcular la integral
R (^) x
x^2 + 1
dx.
Soluci´on.-
ln(x 2
- Calcular la integral
R (^) x + 1
x^2 + 2x + 3
dx.
Soluci´on.-
ln(x
2
- Calcular la integral
R
e^2 xdx.
Soluci´on.-
e 2 x
- Calcular la integral
R
e
x (^2) dx.
Soluci´on.- 2 e
x (^2) + C.
- Calcular la integral
R
e sin x cos xdx.
Soluci´on.- e sin x
- Calcular la integral
R
x e x dx.
Soluci´on.-
x e x
ln 3 + 1
+ C.
- Calcular la integral
R
e ° 3 x dx.
Soluci´on.- °
e
° 3 x
- Calcular la integral
R
e x^2 +4x+ (x + 2)dx.
Soluci´on.-
e
x^2 +4x+
- Calcular la integral
R 1
1 + 2x^2
dx.
Soluci´on.-
p 2
arctan(
p 2 x) + C.
- Calcular la integral
R 1
p 1 ° 3 x^2
dx.
Soluci´on.-
p 3
arcsin(
p 3 x) + C.
- Calcular la integral
R 1
p 9 ° x^2
dx.
Soluci´on.- arcsin
x
3
+ C.
- Calcular la integral
R 1
4 + x^2
dx.
Soluci´on.-
arctan
x
2
+ C.
Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes
R
x n e x dx u = x n dv = e x dx
R
x n sin xdx u = x n dv = sin xdx
R
x n cos xdx u = x n dv = cos xdx
R
x n ln xdx u = ln x dv = x n dx
R
arctan xdx u = arctan x dv = dx
R
arcsin xdx u = arcsin x dv = dx
R
ln xdx u = ln x dv = dx
Ejercicios de integraci´on por partes
- Calcular la integral
R
xe x dx.
Soluci´on.- xe x ° e x
- Calcular la integral
R
ln xdx.
Soluci´on.- x ln x ° x + C.
- Calcular la integral
R
x 2 e 3 x dx.
Soluci´on.- e^3 x
μ x 2
2 x
9
+ C.
- Calcular la integral
R
x 3 e °x dx.
Soluci´on.- °e °x
x 3
+ C.
- Calcular la integral
R
x sin xdx.
Soluci´on.- °x cos x + sin x + C.
- Calcular la integral
R
x 2 cos 2xdx.
Soluci´on.-
x 2 sin 2x
2
x cos 2x
2
sin 2x + C.
- Calcular la integral
R
ex^ sin xdx.
Soluci´on.-
°e x cos x + e x sin x
2
+ C.
- Calcular la integral
R
x^5 ex
3 dx.
Soluci´on.-
ex
3
(x 3 ° 1) + C.
Ejercicios de integrales definidas y c´alculo de ´areas
- Calcular la integral definida
R 1
0 x 4 dx.
Soluci´on.-
- Calcular la integral definida
R 1
0 e
x dx.
Soluci´on.- e ° 1.
- Calcular la integral definida
R º
2 0 sin xdx.
Soluci´on.- 1.
- Calcular la integral definida
R 1
0
1 + x^2
dx.
Soluci´on.-
- Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curva y = 4 ° x 2 y el eje X.
Soluci´on.- 10
- Hallar el ´area de la figura comprendida entre las curvas y 2 = 9x e y = 3x.
Soluci´on.-
- Hallar el ´area de la figura limitada por la hip´erbola equil´atera xy = a 2 , el eje X y las rectas x = a y x = 2a.
Soluci´on.- a 2 ln 2.
