5-2-2021
SUMAS DE RIEMANN Y LA
INTEGRAL DEFINIDA.
DATOS
ALUMNO: LUIS ANTONIO LEON SALAZAR
NUMERO DE CONTROL: 20TE0723*
CARRERA: INGENIERÍA MECATRÓNICA
SISTEMA: ESCOLARIZADO*
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sumatorias de riemann, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo diferencial y integral
como sacar el área bajo una curva de una función, por medio de las sumatorias de riemann.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2020/2021
1 / 10
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SUMAS DE RIEMANN Y LA
INTEGRAL DEFINIDA.
DATOS ALUMNO: LUIS ANTONIO LEON SALAZAR NUMERO DE CONTROL: 20TE0723* CARRERA: INGENIERÍA MECATRÓNICA SISTEMA: ESCOLARIZADO*
INTRODUCCIÓN
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto, merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajó con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. “It may be true that men who are mere mathematicians have certain specific deficiencies, but that is not the fault of mathematics, since it is equally true in the case of any other exclusive occupation..” (GAUSS, 1801) Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente, el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat. “Si yo me despertara después de haber dormido durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿Ha sido demostrada la hipótesis de Riemann?” (HILBERT, 1899) Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte. “Los matemáticos no estudian objetos, sino las relaciones entre objetos.” (POINCARÉ, 2015) El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.
entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores, obteniendo la suma superior de Riemann de f(x) en [a, b] con respecto a la partición P: y la respectiva suma inferior: Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una función dada en un intervalo, con respecto a una partición concreta P, está acotado superiormente por U(f, P) e inferiormente por L(f, P). Definición. Se dice que una función f(x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumas inferiores de Riemann coincide con el ínfimo de todas sus sumas superiores. A dicho número se le denomina integral definida o integral de Riemann de f(x) en [a, b] y se denota como: Es posible definir de manera equivalente la integral definida como el límite de las sumas de Riemann de la función en el intervalo cuando el número de puntos de las particiones consideradas tiende a infinito mientras que la anchura máxima de los subintervalos determinados por la partición tiende a cero, siempre que dicho límite sea además independiente de la elección de puntos realizada para construir las sumas de Riemann. La definición de integral definida se completa añadiendo que se considerar a también el caso en el que a > b, y el caso a = b, de la forma: “Muchos pensadores se han hecho eco de un antiguo pesar: ¿Yo habría sido filósofo de haber podido ser matemático?” (STEINER, 1929)
DESARROLLO
Empezaremos por intentar resolver el problema del área: encuentre el área de la región S que está debajo de la curva y = f (x), desde a hasta b. Esto significa que S (figura 1) está limitada por la gráfica de una función continua f [donde f (x) w0], las rectas verticales x = a y x = b y el eje x. Al intentar resolver el problema del área, debemos preguntarnos: ¿cuál es el significado de la palabra área? Esta cuestión es fácil de responder para regiones con lados rectos. Para un rectángulo, se define como el producto del largo y el ancho. El área de un triángulo es la mitad de la base multiplicada por la altura. El área de un polígono se encuentra al dividirlo en triángulos (figura 2) y sumar las áreas de esos triángulos. Sin embargo, no es fácil hallar el área de una región con lados curvos. Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región, pero parte del problema del área es hacer que esta idea intuitiva se precise dando una definición exacta. Recuerde que, al definir una recta tangente, primero obtuvimos una aproximación de la pendiente de la recta tangente para las pendientes de rectas secantes y, a continuación, tomamos el límite de estas aproximaciones. Sigamos una idea similar para las áreas. En primer lugar, obtenemos una aproximación de la región S representándola por medio de rectángulos, y después tomamos el límite de las áreas de los rectángulos cuando se incrementa el número de éstos. En el ejemplo siguiente se ilustra el procedimiento: EJEMPLO : Utilice rectángulos para estimar el área bajo la parábola y = x^2 , desde 0 hasta 1 (la región parabólica S se ilustra en la figura 3). Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Llevadas al límite se obtiene la integral de Riemann.
(El rectángulo de la extrema izquierda se ha aplastado debido a que su altura es 0.) La suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación es Vemos ahora que el área de S es mayor que L4, de modo que se tienen estimaciones superior e inferior para A: 0.21875 .< A <. 0. Es posible repetir este procedimiento con un número mayor de franjas. En la figura 6 se muestra lo que sucede cuando dividimos la región S en ocho franjas de anchos iguales. Al calcular la suma de las áreas de los rectángulos más pequeños (L8) y la suma de las áreas de los rectángulos más grandes (R8), obtenemos mejores estimaciones inferior y superior para A: 0.2734375 .< A .<0. De modo que una posible respuesta para la pregunta es decir que el área verdadera de S se encuentra entre 0.2734375 y 0.3984375. Podríamos obtener mejores estimaciones al incrementar el número de franjas. Sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,...xn} tales que a= x0<x1<x2...< xn = b. Consideramos la partición de este intervalo P= {[ x 0 , x 1 ), [ x 1 , x 2 ), ... [ xn - 1 ,^ xn ]}. Entonces la suma de Riemann de f(x) es: donde xi - 1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo suele ser arbitraria. Si yi = xi- 1 para todo i , entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. Si yi = xi , entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Ejemplo 1. Hallar el área de la región bordeada por la gráfica de f(x)=(x-1)^2+2, en el intervalo x=-1 y X=2 mediante la búsqueda del límite de la suma de Riemann. Se divide [-1, 2]: La enésima suma de Riemann es: El área de la suma de Riemann:
EJEMPLO 2.
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f (x)=x^2, x=0, x=2 y el eje x
mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann:
FUENTES DE INFORMACION
GAUSS, C. F. (1801). Disquisitiones arithmeticae. Alemania: unica. HILBERT, D. (1899). Fundamentos de la Geometría. San Francisco: Editorial CSIC. POINCARÉ, H. (2015). mathematics and science: last essays. Madrid: Kessinger Publishing, LLC. STEINER, G. (1929). Matemáticas y sus fronteras. Nueva York: Steiner.