Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Este documento aborda los conceptos fundamentales de las sucesiones numéricas y gráficas, incluyendo definiciones, ejemplos y fórmulas clave. Se explican en detalle las sucesiones aritméticas, geométricas y armónicas, así como las sucesiones gráficas y literales. El documento proporciona una base sólida para comprender y trabajar con diferentes tipos de sucesiones, lo cual es esencial en áreas como matemáticas, ciencia y resolución de problemas. Además, se presentan diversos ejercicios y ejemplos prácticos que permiten al lector poner en práctica los conocimientos adquiridos.
Tipo: Apuntes
1 / 8
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Al principio, el género humano no conocía
la actividad de contar. Quizá no la necesitaba o, al
menos, no tenía que hacerlo para cazar los animales
y, así, sobrevivir. Como no conocía las horas, las
semanas y los meses, no tenía por qué hacer
conteos. Sin embargo, podía distinguir que existía
una diferencia entre uno, pocos y muchos, ya sea al
momento de la recolección de alimentos, al llevar a cabo
la cacería o al momento de enfrentarse a una situación de
peligro que entrañaba la lucha por la supervivencia.
El ser humano aprendió a contar por necesidad y
con el transcurrir del tiempo lo fue haciendo cada vez
mejor. Primero con los dedos, que fueron los primeros
símbolos usados como números, y luego haciendo usando
piedras, haciendo marcas en el tronco de un árbol, en la
tierra o arena del suelo.
¿Cuál es el origen del número?
Siendo el número un concepto de relación se
sabe que el número surgió de la comparación entre un
grupo de objetos y uno de esos objetos aislados.
Caminando por el desierto, el beduino ve una caravana de
camellos. ¿Cuántos son? Para definir ese cuántos , debe
emplear los números. El número será la pluralidad definida
bajo la forma de una palabra o de un símbolo.
Para llegar a ese resultado, el hombre precisa
poner, en ejercicio, cierta actividad. Necesita contar. Al
contar relaciona cada conjunto con un determinado
símbolo: uno, dos, tres, …; es decir, establece una
correspondencia entre los números y los objetos del
conjunto que desea contar. Nacía así, la noción de
sucesión. Ahora, para la representación de un número
cualquiera con pocos signos era necesario inventar un
sistema de numeración. El más antiguo sistema de
numeración es el Quinario, en el cual las unidades se
agrupan de cinco en cinco.
Surgió después el sistema de base 10 que se
presentaba para expresar grandes cantidades. El origen
de este sistema se explica por el número de dedos de la
mano. Algunos pueblos, sin embargo, demostraban
preferencia por un sistema que tenía por base el número
12 (una docena). La docena presenta sobre la decena una
gran ventaja: el número 12 tiene más divisores que el
número 10.
El sistema decimal fue universalmente adoptado.
Desde el Tuareg, que cuenta con los dedos, hasta el
matemático, que maneja instrumentos de cálculo, todos
contamos de 10 en 10. Dadas las divergencias profundas
entre los pueblos, semejante universalidad es
sorprendente; no puede jactarse de lo mismo ninguna
religión, código moral, forma de gobierno, sistema
económico, principio filosófico o artístico, lenguaje, ni
alfabeto alguno. Contar es uno de los pocos tópicos en
torno del cual los hombres no divergen pues lo consideran
lógico y natural.
1. ¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos
(pueden ser números, letras, figuras o una combinación de
los anteriores casos) que, cada uno, ocupa un lugar
establecido de modo que, gracias a este orden, se puede
distinguir el primero, el segundo, el tercero y así
sucesivamente; acorde con una ley de formación, criterio
de orden o fórmula de recurrencia. A los elementos de este
conjunto se les denomina términos de la sucesión.
Cuando decimos que una colección e objetos o
sucesos está en sucesión , queremos decir que dicha
agrupación está ordenada de manera que un primer
elemento está ya identificado, al igual que el segundo
elemento, el tercero, etc.
Están conformadas por figuras ordenadas y
construidas de acuerdo a ciertos criterios que determinan
cada término de la sucesión. Los criterios que rigen la
aparición o construcción de las figuras no son únicos; hay
gran diversidad de ellos, aunque podemos señalar los más
usados.
Criterio de giro.
Criterio de aparición y/o desaparición de elementos de
la figura.
Unión y/o intersección de figuras.
Relación con otras figuras.
Ejemplo 1. Determine la figura que continua en:
Solución :
Tenemos que encontrar una relación coherente de cambio
de posición (generalmente por medio de giros). De donde
hacemos que:
Luego:
Respuesta: C
Ejemplo 2: ¿Qué figura sigue en la secuencia?
Respuesta: W
Ejemplo4 : ¿Qué letra debe ir en lugar del signo de
interrogación?
Solución :
Respuesta: F
Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de
elementos numéricos en el cual cada uno de ellos tiene un
orden designado, es decir, a cada uno le corresponde un
número ordinal, de tal manera que puede distinguirse a
uno como el primero, otro como el segundo, otro como el
tercero y así sucesivamente de acuerdo a cierta ley de
formación.
Veamos:
Número
ordinal
1° 2° 3° 4° … n° …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Términos
de la
sucesión
𝑡 1
𝑡 2
𝑡 3
𝑡 4
… 𝑡 𝑛
…
Observación : Se aprecia que cada término de la sucesión
tiene un correspondiente número ordinal, gracias a lo cual
también se cumple lo inverso de modo que cada número
ordinal tiene su correspondiente término de la sucesión.
Como podemos apreciar, cada elemento del conjunto
ordenado recibe el nombre de término de la sucesión y
lo simbolizamos por 𝑡 𝑛
1.4.1. Sucesión aritmética lineal o de primer orden
Es aquella en la cual fijado el primer término; cada
término siguiente; a partir del segundo, se obtiene
sumando al término anterior un número llamado
“diferencia común” o razón aritmética constante de la
sucesión. También es usual decir que la diferencia entre
dos términos consecutivos cualesquiera de la sucesión
son siempre constante. A una sucesión aritmética con
estas características también se le denomina progresión
aritmética (P.A.)
Si 𝑟 > 0. La sucesión aritmética es creciente.
Si 𝑟 < 0. La sucesión aritmética es decreciente.
El término general de una progresión aritmética viene
dado por la expresión:
𝑛
1
Suma de “n” términos de una progresión aritmética:
𝑛
1
𝑛
𝑛
1
1.4.2. Sucesión armónica o progresión armónica
Se denomina así a la sucesión numérica en la cual se
cumple que cada término a partir del segundo es media
armónica del término que le precede y del término que
continua.
El término general de una progresión armónica viene
dada por la expresión:
𝑛
𝑛− 1
𝑛+ 1
𝑛− 1
𝑛+ 1
Ejemplo 1: El tratamiento de una enfermedad dura 8 días,
y la dosis del medicamento es de 100 mg el primer día y
10 mg menos cada día siguiente. ¿Cuántos miligramos en
total tomará el paciente?
a) 30 mg b) 520 mg c) 108 mg d) 170 mg e) 1040 mg
Solución:
Primer día: 100 mg
Segundo día: 100 – 10 = 90
Tercer día: 90 – 10 = 80
Para calcular el octavo día aplicamos la fórmula del
término enésimo de una P. A.:
𝑛
1
8
8
8
Para calcular la cantidad total de miligramos aplicamos la
fórmula de la suma:
𝑛
1
𝑛
8
8
El total de miligramos es 520
Respuesta: b
Ejemplo 2: Un alpinista planifica subir a la cima de un
nevado de la siguiente manera: el primer día escalará 750
m; el segundo día, 625; el tercer día, 500 m; el cuarto, 375
m, y así sucesivamente. El último día recorrerá 125 m.
Calcular la cantidad de metros que recorrió hasta llegar a
la cima del nevado.
a) 2 625 b) 2 600 c) 2 265 d) 2 628 e) 2 725
Solución:
Calculamos primero el número de días que utilizará
aplicando la fórmula del término enésimo de una P. A.,
porque la diferencia entre los datos es la misma:
d = 625 – 750 = – 125
d = 500 – 625 = – 125
d = 375 – 500 = – 125
𝑛
1
Calculamos ahora la suma de los tramos que recorrerá:
𝑛
1
𝑛
𝑛
𝑛
El alpinista subirá 2 625 m.
Respuesta: a
Ejemplo 3: El valor de depreciación de una máquina es de
S/ 1 360 por cada año. Al cabo de 8 años, ¿cuál será su
valor si su precio de compra inicial fue de S/ 27 200?
a) 36 720 b) 17 720 c)17 680 d) 16 780 e) 22 320
Solución:
Valor inicial: S/ 27 200
Depreciación: S/ 1 360
Número de años: 8
Hallamos el término a 8
(término enésimo):
𝑛
1
8
8
8
Al término de los 8 años, la máquina costará S/ 17 680.
Respuesta: c
Ejemplo 4: Calcula la suma de los 10 primeros términos
de la progresión aritmética:
5x + 2y; 8x – 6; x + 5y; 6x + 3y;...
a) 405 b) 462 c) - 54 d) - 462 e) - 405
Solución :
Por definición, la “diferencia” de dos términos sucesivos de
una P. A. se halla restando un término con el anterior.
d = (8x-6) – (5x +2y) = 8x – 6 – 5x – 2y = 3x – 6 – 2y (1)
d = (x + 5y) – (8x – 6) = x + 5y – 8x + 6 = – 7x + 5y + 6 (2)
d = (6x + 3y) – (x + 5y) = 6x + 3y – x – 5y = 5x – 2y (3)
Ahora con las ecuaciones planteadas vamos a hallar los
valores de x e y. Igualamos el (1) y (3)
3x – 6 – 2y = 5x – 2y
Igualando (3) y (2):
5x – 2y = – 7x + 5y + 6
y = 42/– 7
y = – 6
Los términos de la P. A. serán – 27; – 30; – 33; – 36; …
Como piden la suma de los 10 primeros, hallaremos el
término 10 primero:
𝑛
1
10
10
10
Aplicamos la fórmula de la suma:
𝑛
1
𝑛
𝑛
𝑛
La suma de los 10 términos será – 405.
Respuesta: e
Ejemplo 5: Una estudiante está ahorrando sus propinas.
Si inicia con S/ 10 la primera semana y aumenta cada
semana S/ 4, ¿cuántas semanas habrá ahorrado si al final
tiene S/ 319?
a) 13 b) 10 c) 11 d) 14,5 e) 12
Solución :
t 1
t 2
t n
= t 1
El 5.º término es 112
Respuesta: d
Ejemplo 3 : Calcula la suma de los infinitos términos de
una progresión geométrica ilimitada si su primer término
es 1/2 y la razón 1/3.
a) 2/3 b) 5/6 c) 3/4 d) 3/2 e) 1/
Solución:
Suma de infinitos términos de una progresión
geométrica de razón q:
Primer término: ½
Razón: 1/
𝑛
𝑛
La suma será 3/4.
Respuesta: c
Ejemplo 4 : Se tiene una progresión geométrica donde el
producto del primer término por el tercero es 64 y el sexto
término es 128. Calcula el cuarto término.
a) 32 b) 24 c) 64 d) 30 e) 48
Solución:
t 1
= t
t 3
= t 1
.q
2
Producto: t 1
.t 3
= t 1
.(t 1
.q
2
) = 𝑡
1
2
2
1
2
Deduciendo: t 1
.q = 8
t 6
= t 1
.q
5
= t 1
.q.q
4
= 128
Entonces:
8 q
4
128
8
4
El cuarto término es:
t 4 = t 1 .q
3
= (t 1 .q).q
2
2
El cuarto término es 32.
Respuesta: a
1. ¿Qué letra continúa en cada
sucesión?
a) 𝐴 , 𝐶 , 𝐹 , 𝐽 , …
b) B , D , H , N , …
c) A , B , E , F , I , J , …
d) D , C , S , O , D , …
e) E , V , D , I , N , o , …
2. Halle que número continúa en cada sucesión:
a) 2 ; 4 ; 10 ; 22 ; 42 ; …
b) 3 ; 6 ; 4 ; 2 ; 4 ; …
c) 2 ; 3 ; 2 ; 4 ; 4 ; 6 ; 12 ; 9 ; …
d) 2 ; 9 ; 28 ; 65 ; 126 ; …
3. En una PA el 4to término es 8 y el 7mo término es 14.
Halla el término de lugar 20.
4. Un número múltiplo de 9 tiene seis cifras en total que
están en PA creciente. Halle el producto de las dos
últimas cifras.
5. Se reparte caramelos a un grupo de niños en
cantidades que forman una PA. Al séptimo niño le tocó
la mitad de lo que le tocó al último y a este el quíntuplo
de lo que le tocó al primero ¿Cuántos niños son?
6. ¿Qué figura ocupa el 5° lugar en la siguiente sucesión? 7. Calcule el valor de T° + A° + K° + I°, si los ángulos
mostrados forman una PA de razón 20°
8. Angela se encuentra en una huerta de cerezas donde
comienza a comer de ella de la siguiente manera. El
primer día come 4 cerezas, el segundo día come 7
cerezas, el tercer día come 11, el cuarto come 16 y así
sucesivamente, hasta que cierto día se da cuenta de
que el número de cerezas que comió ese día era 10
cerezas menos que el triple de cerezas que comió el
décimo día ¿Cuántos días han transcurrido hasta ese
cierto día?
9. El quinto término de una PA es tanto como la razón
multiplicado por el primer término. Si el tercer término
resulta al sumar los términos anteriores a éste, halle la
suma de cifras del décimo término.
10. La suma de los n términos de una sucesión está dada
por la siguiente expresión: S n
= n(2n + 9). Calcule el
primer término de tres cifras en dicha sucesión.
11. En una fábrica de municiones hay 210 granadas. Estas
se van a acomodar en forma triangular; de modo que
en la primera fila haya 1; en la segunda, 2; en la
tercera, 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas filas se
formarán?
𝑴°
𝑻° 𝑨°
𝑲°
𝑰°
cada cadete realice abdominales
de acuerdo a su hora de llegada al patio. A las 6:16 am
se realiza 2 abdominales; a las 6:17 am, 5
abdominales; a las 6:18 am, 9 abdominales; a las 6:
am, 14 abdominales y así sucesivamente. Si cierto
cadete llegó al patio a las 6:59 am, ¿cuántos
abdominales deberá realizar?
Calcule el valor de x + y
El primer día lee 3 páginas; el segundo día 8 páginas;
el tercer día, 15 páginas, el cuarto día, 24 páginas y así
sucesivamente. Cierto día se da cuenta que el número
de páginas que ha leído ese día es 14 veces el número
de días que ha estado leyendo. Halle el número de
páginas leídas en dicho día.
día vende 6; el segundo día vende 9; el tercer día, 14;
el cuarto día, 21 y así sucesivamente hasta que el
último día vendió 630 revistas ¿Cuántos días estuvo
vendiendo?
el término 6 es igual a 19. ¿Cuál es el valor del término
es - 23 y el último 32. Si se sabe que hay 12 términos,
calcula el término general.
y cada año se incrementa en 50 soles (cada mes).
Calcula cuánto dinero ganará en los 10 años
siguientes.
de sus lados para obtener otro cuadrado inscrito. Se
repite el proceso sucesivamente con los cuadrados
obtenidos:
Calcula la sucesión cuyo término n-ésimo corresponde con
la longitud del lado del cuadrado n-ésimo. ¿Qué tipo de
sucesión es?
colocadas en progresión aritmética, que la suma de
todas ellas es 20 y que la primera es el doble de la
tercera.
entre los números 500 y 7 800 inclusive.
aritmética son a 1 = (a - b)
2
y a 2 = (a + b)
2
. Calcula la
diferencia de la progresión y la suma de los 5 primeros
términos.
sirviente, Sisa, que creara un juego para que pudiera
entretenerse. Sisa le presentó el tablero de ajedrez y
el brahmán quedó tan satisfecho que le dejó escoger
su recompensa. Así pues, le pidió que le pagara con
un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos
por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el
cuarto, etc. hasta llegar a los 64 casilleros.
recompensa.
¿cuántos kilogramos de trigo obtuvo Sisa?
amigos un secreto. Media hora después, cada uno de
estos tres amigos cuenta el secreto a otras tres
personas. Media hora más tarde, cada uno de éstos
cuenta el secreto a otras tres personas y así
sucesivamente.
Calcula cuántas personas saben el secreto a las 9 de
la noche suponiendo que cada persona sólo cuenta el
secreto a otras tres personas y a nadie más durante el
día y que ninguno ha recibido la información varias
veces.
