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I. Sistemas de ecuaciones lineales
1.1 Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal en una variable x ∈ R es una igual-
dad de la forma
ax = b,
con a, b ∈ R constantes. En esta ecuación, a es el coefi-
ciente de la variable x y b es el término independiente. El calificativo "lineal" se refiere a que la variable x aparece con exponente igual a uno.
Ejemplos:
- 2 x − 1 = 0 es una ecuación lineal.
53 x = 3 es una ecuación lineal.
- x^2 = 7x no es una ecuación lineal.
- cos(x) = 12 no es una ecuación lineal.
Resolver la ecuación implica encontrar los valores de x, si es que existen, que satisfacen la igualdad. Denotamos por S al conjunto de soluciones posibles, o conjunto solución.
Ejemplos:
- Resuelve la ecuación 2 x = 6. Por las propiedades de los números reales, se tiene: 2 x = 6 1 2 (2x)^ =^
1 (^2 (6) 1 2 ·^2
) x = (^63) 1 · x = 3 x = 3. Efectivamente, la solución es el número 3 , ya que 2 (3) = 6. El conjunto solución es, entonces
S = {x ∈ R |x = 3} , o simplemente S = { 3 }.
De esta manera, observamos cómo una ecuación tan sim- ple como ax = b puede admitir 3 tipos de soluciones.
Ahora consideremos una ecuación lineal en dos variables
x, y ∈ R (ambas sumadas y con exponente uno)
ax + by = c,
con a, b, c ∈ R constantes. Aquí a es el coeficiente de
la variable x, b es el coeficiente de la variable y y c es el término independiente. ¿Cuántas soluciones posibles tendrá esta ecuación?
Ejemplos:
- Resuelve la ecuación x + y = 3. Por las propiedades de los números reales, se tiene: x + y = 3 −x + (x + y) = −x + 3 (−x + x) + y = 3 + (−x) 0 + y = 3 − x y = 3 − x.
Observamos que hay una infinidad de soluciones de esta ecuación. En ese caso, el conjunto solución es la recta S = {(x, y)| y = 3 − x}
- Resuelve la ecuación ax+by = c, con a, b, c arbitrarios.
Caso 1. Si a = 0 y b = 0, utilizamos el inverso multiplicativo b−^1 de b para despejar y, obteniendo y = c b
a b
x. Se trata de una recta con pendiente −a b que interseca a ambos ejes del plano xy. Así,
S =
{ (x, y)| y = c b
a b
x
} .
Ej. b, c > 0 , a < 0. Caso 2. Si a = 0 y b = 0, utilizamos el inverso multiplicativo b−^1 de b para despejar y, obteniendo y = c b
Caso 5. Si a = b = 0 y c = 0, cualesquiera valores de x y y satisfacen la ecuación 0 · x + 0 · y = 0. Así,
S = {(x, y)| x, y ∈ R} = R^2.
De esta manera, la ecuación lineal ax + by = c admite 5 tipos diferentes de conjunto solución.
En el último caso hemos usado
R^2 = {(x, y)| x, y ∈ R}
para denotar al conjunto de todas las parejas ordenadas cuyas componentes son números reales. Análogamente,
R^3 = {(x, y, z)| x, y, z ∈ R}
es el conjunto de todas las tripletas (triadas) ordenadas cuyas componentes son números reales. Para cualquier número natural n tenemos la siguiente definición.
Definición. Rn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn)| x 1 , x 2 ,... , xn ∈ R}
es el conjunto de todas las n-adas o n-tuplas cuyas com- ponentes son números reales.
Para el caso caso general de n variables se define una ecuación lineal de la siguiente manera.
Definición. Una ecuación lineal con n variables x 1 , x 2 ,... , xn es una igualdad de la forma
a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn = b,
en donde ai es el coeficiente de la variable xi y b es el tér- mino constante o término independiente de la ecuación. Si b = 0 se dice que la ecuación es homogénea.
Ejemplos:
Clasifica las siguentes ecuaciones (lineal o no, homogénea o no, número de variables):
- x 1 + 2x 2 − 3 x 3 + x 4 = 1.
- x − 3 y + 4z − 5 = 0.
- y = 3x.
- xy − 3 = 2x.
- x^2 − cos y = 1.
- x 2 + (cos π/5) y = 5x.
- 2 x + 3y.
(iii) 3 variables:
ax + by + cz = d
un plano en R^3
(iv) ≥ 4 variables:
a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + anxn = h
un hiperplano en Rn^ (no se puede dibujar)
Sistemas de ecuaciones lineales
Los ejemplos anteriores corresponden al caso de una sola ecuación para una o varias variables. También puede suceder que las variables de interés satisfagan dos o más ecuaciones de manera simultánea, lo que se conoce como un sistema de ecuaciones. Un ejemplo de ello es el si- guiente modelo lineal para la oferta (S) y la demanda
(D) de un bien, en donde p representa su precio y Q la cantidad demandada:
Q = 5. 0 p − 1700 , (S) Q = − 4. 5 p + 4000. (D)
Este es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, cuya solución puede hallarse mediante opera- ciones simples, obteniendo p = 600, Q = 1 300.
En el caso de más variables y ecuaciones, suele resultar engorroso encontrar "a mano" la solución del sistema, por lo que conviene contar con métodos alternativos. Para ello, primero estudiaremos el caso más simple de dos ecuaciones lineales con dos variables, como el del ejemplo anterior.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es un sistema descrito por las ecuaciones
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 ,
Si multiplicamos ambos lados de la ecuación (I) por (^12) obtenemos el nuevo sistema
x − y = 4 , (III) − 4 x + 2y = − 6. (II) (B)
Los sistemas (A) y (B) son equivalentes, en el sentido de que tienen el mismo conjunto solución. Ahora sumamos 4 veces la ecuación (III) a la ecuación (II), para obtener
x − y = 4 , (III) − 2 y = 10. (IV) (C)
El sistema (C) es equivalente a (B), y por tanto a (A). El siguiente paso es multiplicar ambos lados de (IV) por −^12 , obteniendo el sistema equivalente
x − y = 4 , (III) y = − 5. (V) (D)
Finalmente, sumando la ecuación (V) a la (III) se llega a
x = − 1 , (VI) (E) y = − 5. (V)
Este último sistema, cuya solución se lee en forma directa, es equivalente a todos los anteriores. De esta forma, el conjunto solución de todos estos sistemas está dado por
S = {(x, y)| x = − 1 , y = − 5 } = {(− 1 , −5)}.
Los pasos que empleamos en este ejemplo pueden sis- tematizarse de la siguiente manera, observando que lo relevante no son las variables sino sus coeficientes:
[ 2 − 2 − 4 2
∣∣ ∣∣ ∣
] (^1) 2 R^1 ∼→R^1
[ 1 − 1 − 4 2
∣∣ ∣∣ ∣
]
4 R 1 +R ∼ 2 →R 2
[ 1 − 1 0 − 2
∣∣ ∣∣ ∣
] −^12 R 2 →R 2 ∼
[ 1 − 1 0 1
∣∣ ∣∣ ∣
]
R 2 +R ∼ 1 →R 1
[ 1 0 0 1
∣∣ ∣∣ ∣
] .
Cada sistema queda representado por un arreglo con dos renglones de números, denotados por R 1 y R 2. El sím- bolo ∼ significa que hay equivalencia entre los sistemas,
rectas no paralelas), el conjunto vacío (sistema inconsis- tente, rectas paralelas), o puede consistir en un número infinito de soluciones dadas por cualquiera de las rectas (rectas coincidentes).
A diferencia del método de sustitución (despejar una va- riable de una ecuación, sustituirla en la otra y resolver), el método de eliminación puede extenderse más fácilmente a sistemas más complejos de varias ecuaciones y variables. Para este fin, en la siguiente sección se introducirá el concepto de matriz de un sistema lineal.
