Universidad del Valle
PARCIAL 3
Matemáticas Especiales
Autor:
Juan Sebastian Castillo
Profesor:
Carlos Segundo Pitre
25 de abril del 2020
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Serie de Fourier para X°2, Ejercicios de Matemáticas Aplicadas
Serie de fourier para X"2 aqui mostramos todo el procedimiento para resolver un serie de fourier desde 0
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 6
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Universidad del Valle
PARCIAL 3
Matemáticas Especiales
Autor:
Juan Sebastian Castillo
Profesor:
Carlos Segundo Pitre
25 de abril del 2020
PREGUNTAS
- Sea f ( x )= X
2
;− 1 < X < 1
a) Escriba la serie de Fourier para
f en[− 1 , 1 ]
Respuesta:
f ( x )=
a
0
∑
n= 1
∞
[
a
n
cos
(
n π x
L
)
+b
n
sin
(
n π x
L
)
]
Donde L = 1
Procedemos a hallar
a
0
a
0
L
∫
−L
L
f ( x ) dx
a
0
∫
− 1
1
X
2
dx
a 0
[
X
3
]
− 1
1
a 0
[
3
3
]
a
0
Procedemos a hallar
a
n
U =X du=dx
a
n
n π
[
[
1 cos ( nπ 1 )
nπ
− 1 cos ( nπ − 1 )
nπ
]
nπ
∫
− 1
1
cos ( nπx ) dx
]
a
n
n π
[
[
cos ( nπ )
nπ
cos ( nπ )
nπ
]
nπ
∫
− 1
1
cos ( nπx ) dx
]
a
n
n π
[
[
2 cos ( nπ )
nπ
]
nπ
[
sin ( n π x )
n π
]
− 1
1
]
a
n
n π
[
[
2 cos ( nπ )
nπ
]
nπ
[
sin ( n π )
n π
sin ( n π )
n π
] ]
a
n
n π
[
[
2 cos ( nπ )
nπ
]
nπ
[
]
]
a
n
4 cos ( nπ )
n
2
π
2
a
n
n
n
2
π
2
Procedemos a hallar
b
n
b
n
L
∫
−L
L
f ( x ) sin
(
n π x
L
)
dx
b
n
∫
− 1
1
X
2
sin
(
n π x
)
dx
b
n
∫
− 1
1
X
2
sin ( n π x ) dx
Se resuelve median integración por partes
UV −
∫
V du teniendo en cuanta I L A T E por lo tanto:
U =X
2
du= 2 x dx dv =sin ( n π x ) V =
−cos ( nπx )
nπ
b
n
[
−x
2
cos ( nπx)
nπ
]
− 1
1
∫
− 1
1
−cos ( nπx )
nπ
2 x dx
b
n
[
2
cos
nπ
nπ
2
cos
−nπ
nπ
]
nπ
∫
− 1
1
cos
nπx
x dx
cos
nπ
n
sin ( nπ ) =¿ 0 ¿
∫
cos ( ax )=
a
sin( ax )
b
n
[
−cos ( nπ )
nπ
cos( nπ )
nπ
]
nπ
∫
− 1
1
x cos ( nπx ) dx
b
n
nπ
[
[
x
sin ( nπx )
nπ
]
− 1
1
∫
− 1
1
sin ( nπx )
nπ
dx
]
b
n
nπ
[
[
1 sin ( nπ )
nπ
− 1 sin (−nπ )
nπ
]
nπ
∫
− 1
1
sin ( nπx) dx
]
b
n
nπ
[
nπ
∫
− 1
1
sin( nπx) dx
]
b
n
nπ
[
nπ
[
−cos ( nπx )
nπ
]
− 1
1
]
b
n
nπ
[
nπ
[
− 1 cos ( nπ 1 )
nπ
− 1 cos (−nπ )
nπ
]
]
b
n
nπ
[
nπ
[ 0 ]
]
b
n
Serie de Fourier -- > Reemplazamos en la ecuación principal
f ( x )=
a
0
∑
n= 1
∞
[
a
n
cos
n π x
L
+b
n
sin
n π x
L
]
a
0
a
n
n
n
2
π
2
b
n
f ( x )=
∑
n= 1
∞
[
n
n
2
π
2
cos
n π x
- 0 sin
n π x
]
f ( x )=
∑
n= 1
∞
[
n
cos ( nπx )
n
2
π
2
]
sin ( n π )=¿ 0 ¿
∫
sin ( ax) =
a
cos ( ax )