Funciones de Onda en el Benceno: Una Introducción a la Mecánica Cuántica, Esquemas y mapas conceptuales de Gestión Social

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PROYECTO ESTANCIAS 1

GRAFICAS DE LOS ORBITALES DEL

BENCENO

Integrantes:

Fausto Falcon Pérez

Karla Paola Zanjuampa Morales

Índice

Portada

Introducción

Objetivo

Marco teórico

Desarollo

Resultados

Conclusiones

Bibliografía

Schrödinger usando el modelo de amarre fuerte del estado sólido. Se busca

obtener una representación gráfica de la distribución electrónica en esta molécula

aromática, esto es, las funciones de onda del benceno.

Marco teórico:

Función de onda:

En mecánica cuántica, una función de onda es una descripción matemática del

estado de un sistema cuántico, como un electrón en un átomo o una molécula.

Esta función contiene toda la información posible sobre el sistema en un momento

dado.

Se suele representar con la letra griega psi (Ψ) y es una función compleja de las

coordenadas espaciales y del tiempo. Su cuadrado, |Ψ|², representa la densidad

de probabilidad de encontrar la partícula en un punto específico del espacio en un

instante dado. Es decir, nos indica la probabilidad de encontrar al electrón en una

región determinada.

Propiedades de la función de onda:

 Complejidad: Las funciones de onda son, en general, números complejos.

 Cuadrado integrable: La integral del cuadrado de la función de onda en todo

el espacio debe ser igual a 1, lo que refleja la certeza de encontrar la

partícula en algún lugar del espacio.

 Univaluada: La función de onda debe tener un único valor en cada punto

del espacio.

 Continua: La función de onda y sus derivadas primeras deben ser

continuas.

Utilidad de las funciones de onda:

 Describir el estado de un sistema cuántico: Como ya mencionamos, la

función de onda contiene toda la información sobre el sistema.

 Calcular propiedades observables: A partir de la función de onda, se

pueden calcular propiedades observables como la energía, el momento

angular, etc.

 Predecir resultados de experimentos: La función de onda permite predecir

la probabilidad de obtener diferentes resultados al realizar una medida

sobre el sistema.

La Ecuación de Schrödinger:

La ecuación de Schrödinger es la piedra angular de la mecánica cuántica. Es una

ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de un sistema

cuántico. En este trabajo nos enfocaremos en la ecuación independiente del

tiempo

Los Diferentes Tipos de Orbitales Atómicos y Moleculares:

 Orbitales atómicos: Describen la distribución espacial de un electrón en un

átomo. Los principales tipos son s, p, d y f, que se diferencian en su forma y

orientación espacial.

 Orbitales moleculares: Se forman a partir de la combinación lineal de

orbitales atómicos. Pueden ser enlazantes (estabilizan la molécula), anti

enlazantes (desestabilizan la molécula) o no enlazantes.

Las funciones de onda tienen un amplio rango de aplicaciones en química y física:

 Química:

o Espectroscopia: Se utilizan para interpretar los espectros atómicos y

moleculares.

o Reactividad química: Ayudan a entender los mecanismos de

reacción y predecir la estabilidad de las moléculas.

o Diseño de materiales: Se utilizan para diseñar nuevos materiales con

propiedades específicas.

 Física:

o Física atómica y molecular: Se utilizan para describir la estructura de

los átomos y moléculas.

o Física nuclear: Se aplican al estudio de los núcleos atómicos.

o Física de la materia condensada: Se utilizan para describir el

comportamiento de los electrones en sólidos.

Relación con los orbitales atómicos y moleculares:

 Energía: Los orbitales moleculares π del benceno tienen diferentes

energías, y los electrones ocupan los orbitales de menor energía.

Importancia de las Funciones de Onda en el Benceno:

 Predicción de propiedades: Las funciones de onda permiten predecir

propiedades como la estabilidad, la reactividad y los espectros electrónicos

del benceno.

 Comprensión de reacciones: Ayudan a entender los mecanismos de las

reacciones químicas que involucran al benceno, como las sustituciones

electrofílicas aromáticas.

 Diseño de nuevos materiales: El conocimiento de las funciones de onda del

benceno es fundamental para el diseño de nuevos materiales con

propiedades específicas, como polímeros conductores y fármacos.

La mecánica cuántica, a través de las funciones de onda, nos proporciona una

descripción detallada de la estructura electrónica del benceno. Esta comprensión

es esencial para explicar las propiedades únicas de este compuesto y para su

aplicación en diversos campos de la química y la ciencia de materiales.

Desarrollo

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es fundamental en la

mecánica cuántica y describe cómo la energía total de un sistema cuántico se

relaciona con su función de onda estacionaria. Para el caso del átomo de

hidrógeno, donde el electrón experimenta un potencial de Coulomb generado por

el núcleo, la ecuación se expresa en coordenadas esféricas como:

[

2

2 μ

2

• V ( r )] Ψ ( r , θ , ϕ )= EΨ ( r ,θ , ϕ )

Donde:

 ℏ es la constante reducida de Planck.

 Μ es la masa reducida del sistema núcleo-electrón.

 V(r) =

− e

2

4 π ϵ

¿

es el potencial de Coulomb.

 E es la energía total del sistema.

Separación de Variables

La solución general se obtiene separando las variables espaciales en partes radial

y angular:

Ψ ( r , θ , ϕ )= R

n , l

( r ) ⋅Y

l , m

( θ , ϕ )

1. Parte Radial R n , l

( r ):

La ecuación radial incluye la energía total del electrón y determina las regiones

donde es más probable encontrarlo. Para el orbital 2𝑝(𝑛=2,𝑙=1):

R

2 , 1

( r )=

(

r

a

0

)

e

− r

2 a

0

Esta solución incluye el radio de Bohr ( a ¿¿ 0 )¿, que define la escala espacial

característica del sistema.

2. Parte Angular

Y

l , m

( θ , ϕ ) :

H =

E Δ 0

Δ E Δ

0 Δ E

E Δ 0

Δ E Δ

0 Δ E

= Acoplamiento

Base Canónica:

Diagonalización:

1

2

3

4

5

6

En este análisis se graficaron las densidades de probabilidad de los orbitales

2 p

x

, 2 p

y

y 2 p

z

definidos por:

2 p

z

( r , θ )= R

2 , 1

( r ) ⋅Y

1,

( θ , ϕ )

2 p

x

( r , θ , ϕ )= R

2 , 1

( r ) ⋅Y

1,

( θ , ϕ )

2 p

y

( r ,θ , ϕ )= R

2 , 1

( r ) ⋅Y

1 , − 1

( θ , ϕ )

Las densidades de probabilidad se obtuvieron elevando al cuadrado la magnitud

de las funciones de onda:

P ( r , θ , ϕ )= ∣Ψ

n ,l , m

( r , θ , ϕ ) ∣

2

Estas densidades representan las regiones del espacio donde es más probable

encontrar al electrón.

Implementación Computacional

Se desarrolló un código en MATLAB para calcular las funciones de onda y graficar

las densidades de probabilidad en 3D:

1. Definición del espacio:

Una malla tridimensional (X,Y,Z) fue generada para discretizar el espacio

entre −

a

0

y 10

a

0

, con 100 puntos por dimensión.

2. Conversión a coordenadas esféricas:

Las posiciones en el espacio cartesiano fueron convertidas a coordenadas

esféricas ( R , Θ ,Φ ), usando las relaciones:

R =

√

( X

2

+ Y

2

+ Z

2

) Θ =arccos(¿

Z

R

) Φ =tan

− 1

Y

X

3. Cálculo de funciones de onda:

Se evaluaron las funciones radial y angular para obtener

2 p z

2 p x

y Ψ

2 p y

Visualización 3D:

Las densidades de probabilidad fueron graficadas mediante superficies de

isovalores (isosurface), destacando las formas características de los orbitales 2p.

Estas formas corresponden a:



2 p

x

: Lóbulos alineados con el eje x.

 2 p

y

: Lóbulos alineados con el eje y.

 2 p

z

: Lóbulos alineados con el eje z.

Resultados:

Conclusiones:

Las funciones de onda son una herramienta fundamental en la mecánica cuántica

que nos permiten entender y predecir el comportamiento de la materia a nivel

atómico y molecular. Al resolver la ecuación de Schrödinger, podemos obtener

información valiosa sobre la distribución de los electrones en los átomos y

moléculas, lo que a su vez nos permite comprender las propiedades y reactividad

de las sustancias.

La función de onda es una herramienta fundamental en la mecánica cuántica para

describir el comportamiento de las partículas a nivel atómico y molecular. Nos

permite entender la naturaleza probabilística de la mecánica cuántica y predecir

las propiedades de los sistemas cuánticos.