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CAPÍTULO 4
Ecuaciones básicas
del flujo de fluidos
Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos son el
balance de masa o ecuación de continuidad, las ecuaciones del balance de momento y el balance de energía mecánica. Es posible escribir las ecuaciones en forma diferencial, mostrando las condiciones en un punto dentro de un elemento de volumen del fluido, o en forma integrada aplicable a un volumen o masa finitos de fluido.
Ecuaciones diferenciales y balances de concha
Las ecuaciones diferenciales deben ser integradas para que sean útiles en la resolución de problemas de ingeniería. En algunos casos simples, éstas pueden ser integradas matemáticamente, pero a menudo son integradas numéricamente por computadora. Por ejemplo, éstas podrían requerirse en una situación tan sencilla como el flujo estacionario de aire en un ducto largo que contenga deflectores, o en un problema altamente complejo tal como el flujo transitorio de un polímero no newtoniano de alta viscosidad fundido a través de un molde. Es posible deducir ecuaciones útiles para algunos sistemas bien definidos haciendo un balance de concha macroscópico, en el cual los flujos a través de los límites (o fron- teras) de todo el sistema entero se utilicen en lugar de aquellos que tengan un elemento de volumen diferencial. El sistema tal vez será tan pequeño como una tubería de longitud corta, o tan largo como toda una planta de procesamiento. En este capítulo algunas de las ecuaciones diferenciales fundamentales son derivadas, y muchas son ecuaciones integrales basadas en los balances de concha. Un estudio más extenso de las ecuaciones diferenciales se encuentra en textos que traten con la mecánica de los fluidos aplicada y los procesos de transporte.1-3, 7
BALANCE DE MASA EN UN FLUIDO
EN MOVIMIENTO: CONTINUIDAD
En cualquier elemento del fluido (o en un sistema limitado), la ecuación para un balance de masa es simple.
72 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
Para un pequeño elemento de volumen x y z , fijo en el espacio como se muestra en la figura 4.1, el balance de masa se obtiene como sigue. Para un fluido de densidad ρ, el flujo de masa en la dirección x en la cara x es (ρ u ) x ; en la cara x x , el flujo es (ρ u ) x +∆ x , donde u es la velocidad del fluido en la dirección x. El flujo se define como la velocidad de flujo de cualquier cantidad por unidad de área; por lo tanto, la velocidad de flujo de masa que entra del elemento en la dirección x es (ρ u ) x y z , y la de salida es (ρ u ) x +∆ x y z. Es posible expresar relaciones similares para las direcciones y y z , donde υ y w son las velocidades del fluido en las direcciones y y z , respectivamente. La velocidad de acumulación en el elemento de volumen es x y z (∂ρ / ∂ t ). De esta manera
(4.1)
Dividiendo entre x y z se obtiene
(4.2)
Tomando como límite a x , y y z que tiende a cero se obtiene la ecuación diferencial de la conservación de la masa en un fluido
∆ z
(ρ u ) x +∆ x
( x + ∆ x , y + ∆ y , z + ∆ z )
(ρ u ) x
∆ x
( x , y , z )
∆ y
z
x
y
FIGURA 4. Región del volumen x y z fijo en el espacio a través del cual el fluido se está moviendo.
(Velocidad de flujo de masa de entrada) –^ = (Velocidad de acumulación de masa) (Velocidad de flujo masa de salida)
ρ ρ ρυ ρυ
ρ ρ ρ
u u y z x z
w w x y x y z t
x x x y y y
z z z
[^ ( )^ − (^ ) ] + ([ )^ − (^ ) ]
∆ ∆
∆
ρ u ρ u ρυ^ ρυ^ ρ ρ (^) ρ x y
w w z t
( ) x − ( ) x x + (^ ) y^ − (^ )^ y y + ( ) z − ( ) z z = ∂
74 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
En coordenadas esféricas, las relaciones entre las variables son
La ecuación de continuidad se convierte en
(4.8) donde uØ es la velocidad en la dirección axial.
Flujo unidimensional. El estudio del flujo de fluidos se facilita imaginando, en la corriente del fluido, las trayectorias del mismo, que reciben el nombre de líneas de corriente. Una línea de corriente es una trayectoria imaginaria en la masa de fluido en movimiento, representada de tal manera que en cada punto, el vector de la velocidad neta a lo largo de la línea de corriente u , es tangente a dicha línea. A través de tal línea no hay flujo neto. En el flujo turbulento, los remolinos cruzan en una y otra dirección las líneas de corriente, pero como se muestra en el capítulo 3, el flujo neto de tales remolinos en cualquier dirección distinta a la del flujo es cero. El flujo a lo largo de la línea de corriente es por lo tanto unidimensional, y se necesita sólo un término para la velocidad. Un tubo de corriente es un tubo de sección transversal grande o pequeña y de una forma transversal tal que está totalmente limitado por líneas de corriente. Un tubo de corriente puede visualizarse como una tubería imaginaria situada en el interior de la masa del fluido en movimiento, a través de cuyas paredes no hay flujo neto. Si el tubo tiene un área de sección transversal diferencial dS , la velocidad a través del mismo también se representa por el término u.
FIGURA 4. a ) Coordenadas cilíndricas; b ) coordenadas esféricas.
a ) b )
sen sen
sen sen
sen
CAPÍTULO 4 Ecuaciones básicas del flujo de fluidos 75
La masa del flujo a través del área diferencial es
(4.9)
Para encontrar el flujo total a través de un conducto impermeable†^ de área seccional transversal S , la ecuación (4.9) se integra a través de toda la sección transversal. En ge- neral, la velocidad local u varía a través de la sección transversal. Si el fluido se calienta o enfría, su densidad varía, pero normalmente la variación es pequeña y despreciable. La velocidad del fluido a través de la sección transversal total es
(4.10)
donde ρ es la constante a través de la sección transversal. La velocidad media V
, de la corriente total que fluye a través de la sección transversal de área S está definida por
(4.11)
La velocidad V
también es igual a la velocidad de flujo volumétrico total, dividida entre el área de la sección transversal del conducto, y de hecho, generalmente se calcula de esta forma. Se considera como el flujo de volumen en m^3 /m^2 · s o ft 3 /ft^2 · s. Por lo tanto,
(4.12)
donde q es la velocidad de flujo volumétrico.
Balance de concha para el flujo de masa
Las velocidades promedio son útiles para el balance de coraza o de flujo a través de una tubería o un sistema de tuberías. Considere el flujo a través de un conducto de área seccional transversal Sa a la entrada y de área Sb a la salida, en el cual la velocidad local del fluido varía dentro de la seccional transversal. La velocidad promedio y la densidad a la entrada son V
a y^ ρ a ; y a la salida son^ V
b y^ ρ b. En el estado estacionario, el flujo de masa que entra es igual al flujo de masa que sale, y la ecuación de continuidad se convierte en
(4.13)
Para el caso especial importante donde el flujo se lleva a cabo a través de canales de sección transversal circular
de la cual
(4.14)
donde D (^) a y D (^) b son los diámetros del canal de la entrada y salida, respectivamente.
† (^) Si las paredes del conducto son permeables, como en los tubos de membrana estudiados en el capítulo 26, estas ecuaciones no son aplicables.
dm �^ =ρ u dS
V
q S
ρ ρ
a a b b
b a
V
V
D
D
2
m^ � u dS s
= ρ∫
V
m S S
u dS s
≡ = (^) ∫
ρ
m^ � D V D V = (^) a a a = b b b 1 4
(^2 ) 4 π ρ π 2 ρ
m^ � V S V S VS = ρ a (^) a a = ρ b (^) b b =ρ
CAPÍTULO 4 Ecuaciones básicas del flujo de fluidos 77
b ) Utilice la ecuación (4.12). La velocidad a través de la tubería A es
a través de la tubería B es
y a través de cada una de las tuberías C es
c ) Utilice la ecuación (4.15). La velocidad de masa a través de de la tubería A es
a través de la tubería B es
y a través de cada una de las tuberías C es
EJEMPLO 4.2 El aire a 20 °C y a 2 atm de presión absoluta entra a un calentador de vapor con aletas a través de un tubo de 50 mm a una velocidad promedio de 15 m/s. Sale del calentador a través de un tubo de 65 mm a 90 °C y a 1.6 atm de presión absoluta. ¿Cuál es la velocidad promedio del aire a la salida?
Solución El subíndice a se refiere a la entrada del calentador y el b a la salida. Utilice la ecuación (4.14). Las magnitudes requeridas son
La densidad se obtiene a partir de la ecuación (1.56), donde ρ = 1/ V y V es el volumen de 1 kg de aire. El número de moles n es igual a 1/ M , donde M es el peso molecular del aire.
A
B
3 in.
2 in. C 112 in. C
112 in.
FIGURA 4. Sistema de tuberías para el ejemplo 4.1.
VA = ×
240 7 = 3 600 0 0233
. 2 87 . . ft/s
VB = ×
= 240 7 3 600 0 0513
1 30 . .
. ft/s
VC = × ×
= 240 7 2 3 600 0 01414
2 36 . .
. ft/s
G (^) A = = ⋅ (^) ( ⋅) 13 300 0 0233
571 000 .
lb/ft 2 h 744 kg/m 2 s
G (^) B = = ⋅ (^) ( ⋅) 13 300 0 0513
259 000 .
lb/ft 2 h 351 kg/m 2 s
GC = ×
= ⋅ (^) ( ⋅) 13 300 2 0 01414
470 000 .
lb/ft 2 h 637 kg/m 2 s
D D p p T T
a b a b a b
= = = = = + = = + =
0.05 m 0.065 m 2 atm 1.6 atm 20 273.16 293.16 K 90 273.16 363.16 K
78 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
Las densidades a la entrada y a la salida son entonces ρ a = Mp (^) a /( RTa ) y ρ b = Mp (^) b /( RTb ). Por lo tanto
Sustituyendo en la ecuación (4.11) se obtiene
BALANCE DIFERENCIAL DEL MOMENTO:
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
Es posible realizar un balance de momento sobre un elemento de volumen, de forma similar a como se hace un balance de masa, pero puesto que la velocidad es una canti- dad vectorial, las derivaciones son mucho más complicadas. Los conceptos básicos del balance de momento son los siguientes:
(4.16)
(τ zx ) z +∆ z
(τ zx ) z
( x, y, z )
(τ xx ) x (τ xx ) x +∆ x
(τ yx ) y
(τ yx ) y +∆ y
z
x
y
FIGURA 4. Elemento del volumen x y z con flechas que indican la direc- ción en la cual el componente x del momento se transporta a través de las superficies.
Suma de las fuerzas que actúan en el sistema del momento
Acumulación de la velocidad del momento
Entrada de la velocidad del momento
Salida de la velocidad del momento
ρ ρ
a b
a b b a
p T p T
=
V V D D
V p T D b (^) p T D a a a b b
a a b a b a b
= =
= × × × × × =
ρ ρ
2 2
2 2 2 2
15 2 0 05 363 16 1 6 0 065 293 16 1
.. ... 3.74 m/s
V V D D
V p T D b (^) p T D a a a b b
a a b a b a b
= =
= × × × × × =
ρ ρ
2 2
2 2 2 2
15 2 0 05 363 16 1 6 0 065 293 16 1
.. ... 3.74 m/s
80 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
(4.20)
Esta ecuación se reordena con la ayuda de la ecuación de continuidad [ecuación (4.3)] para dar
(4.21)
Se derivan ecuaciones similares para los componentes y y z. Considerando los tres com- ponentes vectoriales se obtiene
(4.22)
Las tensiones (o esfuerzos) en cualquier punto dependen de los gradientes de veloci- dad y de las propiedades reológicas del fluido. Por ejemplo, para los fluidos newtonianos, los componentes en la dirección x del tensor de tensión son^2 a
(4.23)
(4.24)
(4.25)
donde κ es la viscosidad global. Hay mucha incertidumbre acerca del valor de κ. Para los gases monoatómicos, es cero y probablemente de menor importancia para los líquidos y gases densos.^2 a^ Las ecuaciones para las tensiones en las direcciones y y z (y todas las ecuaciones en los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos) están dadas por Bird, Stewart y Lightfoot.^2 c Las ecuaciones generales del movimiento para un fluido newtoniano cuando varían la densidad y la viscosidad se ejemplifican en la siguiente ecuación para la dirección x , obtenida por sustitución de las ecuaciones (4.23) y (4.24) en la ecuación (4.21)
(4.26)
ρ τ τ^ τ ρ Du Dt
p x x y z
= − xx^ yx^ zx^ gx
V
u x y
w z
υ
^
t
u x
uu y
u z
wu
x y z
p x xx yx zx gx
ρ ρ ρυ ρ
τ τ τ ρ
ρ τ ρ
DV
Dt
= −∇ p − ∇ ⋅[ ] + g
τ τ μ υ xy yx
u y x
τ (^) xx μ μ κ u x
(^2) (∇ ⋅ )
V
ρ μ μ κ
μ υ
μ ρ
Du Dt
p x x
u x
V
y
u y x
z
w x
u z
g (^) x
(∇ ⋅ )
^
CAPÍTULO 4 Ecuaciones básicas del flujo de fluidos 81
(4.27)
(4.28)
Ecuaciones de Navier-Stokes****. Las ecuaciones (4.26) hasta la (4.28) se utilizan en sus formas completas sólo para establecer problemas de flujo altamente complicados. En la mayoría de las situaciones, las formas restringidas son suficientes. Para un fluido de densidad y viscosidad constantes, se emplean las ecuaciones de movimiento, conocidas como las ecuaciones Navier-Stokes, y son las siguientes:
(4.29)
(4.30)
(4.31)
En forma vectorial estas ecuaciones se convierten en
(4.32)
ρ
υ υ υ
υ υ
μ υ υ υ ρ
t
u x y
w z
x y z
p y
g (^) y
2 2
2 2
2 2
ρ υ
μ ρ
w t
u
w x
w y
w
w z
w x
w y
w z
p z
g (^) z
2 2
2 2
2 2
ρ υ μ υ
μ
υ μ κ
μ υ ρ
D
Dt
p y x x
u y
y y
V
z
w y z
g (^) y
(∇ ⋅ )
ρ μ μ
υ
μ μ κ ρ
Dw Dt
p z x
w x
u z y
w y z
z
w z
V g (^) z
^
^
(∇ ⋅ )
ρ υ
μ ρ
u t
u u x
u y
w u z
u x
u y
u z
p x
g (^) x
2 2
2 2
2 2
ρ μ ρ
DV
Dt
= −∇ p + ∇ 2 V^ + g
CAPÍTULO 4 Ecuaciones básicas del flujo de fluidos 83
donde
(4.39)
Ecuación de Euler****. Para una densidad constante y viscosidad cero, como es el caso del flujo potencial, se utiliza la ecuación del movimiento, conocida como la ecuación de Euler, que es la siguiente:
(4.40)
EJEMPLO 4.3 Un fluido newtoniano está confinado entre dos placas verticales paralelas anchas, separadas por una distancia B , como se muestra en la figura 4.5. La placa sobre la izquierda es estacionaria; y sobre la derecha está moviéndose verticalmente en forma ascen- dente a una velocidad constante υ 0. Suponga que el flujo es laminar y obtenga la ecuación para el perfil de la velocidad en el estado estacionario del fluido.
Solución Utilice la ecuación de Navier-Stokes para la coordenada y , ecuación (4.30). A un estado estacionario ∂υ/∂ t = 0 y el flujo está sólo en la dirección y. Por lo tanto las velocidades u y z son ambas cero. De la ecuación de continuidad [ecuación (4.6)], ∂ u /∂ y = 0. También, ∂υ/∂ z = 0 y ρ gy = –ρ g. Las derivadas parciales se convierten en derivadas, y la ecuación (4.30) se transforma en
(4.41)
El gradiente de presión dp / dy es constante, debido a que las ecuaciones (4.29) y (4.31) muestran que p es independiente de x y z. Integrando la ecuación (4.41) da
(4.42)
Integrándola de nuevo se obtiene
(4.43)
FIGURA 4. x Flujo entre las placas verticales del ejemplo 4.3.
y
B
v 0
ρ ρ DV Dt = −∇ p + g
μ^ d υ^ ρ dx
dp dy
g
2 2 −^ −^ =^0
d dx
x dp dy
g C υ μ
− +ρ ^
=
(^1)
υ μ
− +ρ ^
=
x dp dy
g C x C
2 2 1 2
ρ ∂ t
r ∂θ
r senθ ∂φ
r
r cot θ
= μ ∇^2 u φ −
u φ r^2 sen^2 θ
2 r^2 senθ
∂ u (^) r ∂φ
2 cos θ r^2 sen^2 θ
∂ u θ ∂φ
−
1 r senθ
∂ p ∂φ
∇^2 = 1 r^2
∂ ∂ r
r^2 ∂ ∂ r
1 r^2 senθ
∂ ∂θ
sen θ ∂ ∂θ
1 r^2 sen^2 θ
∂^2 ∂φ^2
84 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
Las condiciones límite son las siguientes: a x = 0, υ = 0 y x = B , υ = υ 0. Resolviendo para las constantes se demuestra que C 1 = υ 0 / B – [ B /(2μ)]( dp / dy ρ g ) y C 2 = 0. Al sustituir en la ecuación (4.43) queda
(4.44)
Flujo de Couette Cuando las placas en un sistema como el del ejemplo 4.3 son horizontales (o en cual- quier situación donde la fuerza de gravedad sea despreciable), la velocidad del fluido varía linealmente con la distancia de la placa estacionaria, y el gradiente de velocidad es constante. La viscosidad entonces está relacionada con la tensión de corte (o esfuerzo cortante) Fs / A por la ecuación siguiente:
(4.45)
donde A es el área de cada placa. El fluido bajo estas condiciones se conoce como flujo de Couette. La capa de flujo con una superficie libre se estudia en la siguiente sección.
BALANCES MACROSCÓPICOS DEL MOMENTO
Para el volumen de control de la figura 4.6, puede expresarse un balance de momento promedio, bajo el supuesto de que el flujo es estacionario y unidireccional en la dirección x. La suma de las fuerzas que actúan sobre el fluido en la dirección x , de acuerdo con la ecuación (4.16), es igual al aumento en la velocidad de flujo de momento del fluido, o bien
(4.46)
Momento de la corriente total; factor de corrección del momento La velocidad de flujo del momento M
de una corriente de fluido tiene una velocidad de flujo de masa m
y todo él se mueve a una velocidad u igual a m
u. Sin embargo, si u varía
FIGURA 4. Balance de momento.
a )
b )
Ma
x dirección
M (^) b
μ υ
F B
A
s 0
υ μ = − +ρ υ
^
^ ( − ) +
1 2
2 0
dp dy g Bx x^ x B
∑^ F^ =^ M^ b − Ma
86 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
Flujo de capa con superficie libre En una forma de flujo de capa, la capa líquida tiene una superficie libre y fluye bajo la fuerza de gravedad sobre una superficie vertical o inclinada. Si tal flujo está en estado estacionario, con los gradientes de velocidad desarrollados completamente, el espesor de la capa es constante. A la inversa, hay un arrastre tan pequeño en la superficie líquida libre de manera que la tensión de corte (o esfuerzo cortante) puede ser despreciable. Si el flujo es laminar y la superficie líquida es plana y libre de ondulaciones, es posible analizar matemáticamente el movimiento del fluido. Considere una capa de un líquido newtoniano fluyendo en flujo estacionario a una velocidad y espesor constantes sobre una placa plana, como se muestra en la figura 4.7. La placa está inclinada en un ángulo φ con la vertical. El ancho de la capa en la dirección perpendicular al plano de la figura es b , y el espesor de la capa en la dirección perpendicular a la placa es δ. Se aísla un volumen de control como se muestra en la figu- ra 4.7. La superficie superior del volumen de control está en contacto con la atmósfera, los dos extremos son planos perpendiculares a la placa separados una distancia L , y la superficie inferior es el plano paralelo con respecto a la pared a una distancia r de la super- ficie superior de la capa. Puesto que la capa está en flujo estacionario sin aceleración, en virtud del principio de momento, la suma de todas las fuerzas sobre el volumen de control es cero. Las posibles fuerzas que actúan sobre el volumen de control en una dirección paralela al flujo son las fuerzas de presión en los extremos, los esfuerzos cortantes en las superficies superior e inferior, y el componente de la fuerza de gravedad en la dirección del flujo. Como la presión en la superficie exterior es la atmosférica, las presiones sobre el volumen de control en los
FIGURA 4. Fuerzas que actúan sobre el elemento de líquido en el flujo de capa.
L τ A
Elemento de líquido (volumen de control)
Capa del líquido
Placa
φ Fg
r
Flujo
δ
CAPÍTULO 4 Ecuaciones básicas del flujo de fluidos 87
extremos del volumen son iguales y en dirección opuesta. Por consiguiente desaparecen. También, por suposición, el corte en la superficie superior del elemento es despreciable. Las dos fuerzas restantes son entonces la fuerza de corte sobre la superficie inferior del volumen de control y el componente de gravedad en la dirección del flujo. Entonces
(4.53)
donde Fg = fuerza de gravedad τ = esfuerzo cortante en la superficie inferior del volumen de control A = área de la superficie inferior del volumen de control
De esta ecuación, observe que A = bL y Fg = ρ rLbg ,
(4.54)
Puesto que el flujo es laminar, τ = –μ du / dr y
(4.55)
Reordenando e integrando entre los límites se obtiene
(4.56)
donde δ es el espesor total de la capa líquida. La ecuación (4.56) muestra que en el flujo laminar sobre una placa, la distribución de la velocidad es parabólica. Ahora considere un elemento diferencial del área de la sección transversal dS , donde dS = b dr. La velocidad de flujo de la masa diferencial dm
a través de este elemento es igual a ρ ub dr. La velocidad de flujo de la masa total del fluido es entonces
(4.57)
Sustituyendo de la ecuación (4.56) en la ecuación (4.57) e integrándola se obtiene
(4.58)
donde Γ ≡ m
/ b y se denomina la carga del líquido. Las unidades de Γ son los kilogramos por segundo por metro de ancho o libras por segundo por pie de anchura. Reordenando la ecuación (4.58) se obtiene, para el espesor de la capa,
(4.59)
o
du
g rdr
u g r
u r = −
= (^) ( − )
∫ ∫
ρ φ μ ρ φ μ
δ
δ
cos
cos
0 2 2 2
Fg cos φ − τ A = 0
ρ rLbg cos φ =τ Lb
τ = ρ rg cosφ
− μ = ρ φ du dr
g r cos
δ μ ρ φ
2
1 3 Γ g cos
/
du g rdr
u g r
u r = −
= (^) ( − )
∫ ∫
ρ φ μ ρ φ μ
δ
δ
cos
cos
0 2 2 2
m^ � = ub dr ∫^ ρ
δ 0
m^ �^ cos b
g = = δ ρ φ μ
3 2
3
CAPÍTULO 4 Ecuaciones básicas del flujo de fluidos 89
Suponga que la figura 4.8 representa parte del impulsor de una bomba centrífuga o turbina a través de la cual circula un fluido a una velocidad de masa constante m
. Entra por el punto Q cerca del centro de rotación a una distancia radial r 1 desde el punto O y sale a una distancia radial r 2. Sus velocidades tangenciales en estos puntos son u θ 1 y u θ 2 , respectivamente. La fuerza tangencial F θ que actúa sobre el fluido en el punto P , es proporcional a la variación de la velocidad del momento angular del fluido; por lo tanto, a partir de la ecuación (4.61), el momento de torsión viene dado por la relación
(4.62)
La ecuación (4.62) es la ecuación del momento angular para el flujo estacionario bidimensional. Es análoga a la ecuación (4.51), la ecuación del momento. Se ha supuesto, al deducir la ecuación (4.62), que para cualquier distancia radial dada r , todo el fluido se mueve con la misma velocidad, así que β 1 = β 2 = 1. En los capítulos 8 y 9 se presentan aplicaciones de la ecuación (4.62).
ECUACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
Una ecuación que describe las interconversiones de la energía que ocurren en un fluido en movimiento, puede derivarse para formar el producto escalar de la velocidad local V con la ecuación del movimiento. Al aplicar este procedimiento a la ecuación (4.22) se obtiene una ecuación general que establece que la velocidad de aumento en la energía cinética por unidad de masa es igual a la velocidad neta de entrada de la energía cinética por convección menos lo siguiente: 1) velocidad de trabajo hecha por la presión de los alrededores; 2) velocidad de la conversión reversible para la energía interna; 3) velocidad
FIGURA 4. Momento angular del líquido en movimiento.
Q
r 2
ur u θ
r 1
P
V
O
Dirección de la rotación
T = F r θ 2 = m r u^ �( 2 θ 2 − r u 1 θ 1 )
90 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
de trabajo efectuada por las fuerzas viscosas; 4) conversión irreversible para la energía interna; 5) velocidad de trabajo hecho por la gravedad (este término puede ser positivo o negativo).^2 b^ Como se estudiará más adelante, también es posible adicionar la energía mecánica al fluido mediante una bomba o soplador. Aquí las derivaciones son inicialmente restringidas al flujo de fluidos unidireccional de densidad constante y viscosidad cero, utilizando la ecuación de Euler.
Ecuación de energía para flujo potencial; ecuación de Bernoulli sin fricción El componente x de la ecuación de Euler [ecuación (4.40)] es
(4.63)
Para el flujo unidireccional υ y w son cero. Multiplicando los términos restantes por la velocidad u se obtiene
(4.64)
Ésta es la ecuación de la energía mecánica para el flujo potencial unidireccional de fluidos de densidad constante cuando la velocidad de flujo varía con el tiempo. Considere ahora un elemento de volumen de un tubo de corriente dentro de una corriente mayor de fluido, que circula con flujo estacionario, como se muestra en la figura 4.9. Suponga que la sección transversal del tubo aumenta continuamente en la dirección del flujo, y que el eje del tubo es recto e inclinado hacia arriba formando un ángulo φ con la vertical. Represente la presión, la velocidad del fluido y la elevación a la entrada por p (^) a , u (^) a y Z (^) a , respectivamente, y sean las correspondientes magnitudes a la salida p (^) b , u (^) b y Z (^) b. Considere el eje x paralelo al eje del tubo.
FIGURA 4. Flujo potencial a través de un tubo de corriente inclinado.
o
x xb
pb
Zb
g
g (^) x
pa
Za xa
φ Dirección del flujo
ρ υ ρ
u t
u u x
u y
w u z
p x
g (^) x
ρ ρ
ρ ρ
u
u t
u
u x
u
p x
ug
u t
u
u x
u
p x
ug
x
x
= −^
∂( ) ∂
∂( ) ∂
