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Integrales Indefinidas y Dobles de Funciones: Cálculo de Áreas y Volúmenes - Prof. Fuentes, Resúmenes de Cálculo
Este documento contiene soluciones a diferentes problemas de cálculo integral, incluyendo el cálculo de áreas de superficies y volúmenes de sólidos. Se presentan integrales indefinidas y dobles, con sus respectivas funciones evaluadas en distintos límites.
Qué aprenderás
- ¿Cómo se calcula el volumen de un sólido limitado por dos parábolas y una esfera?
- Cómo se calcula la integral de una superficie concreta?
- ¿Cómo se encuentra la función parametrizada de una superficie conica?
Tipo: Resúmenes
2020/2021
1 / 5
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¡Descarga Integrales Indefinidas y Dobles de Funciones: Cálculo de Áreas y Volúmenes - Prof. Fuentes y más Resúmenes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
- Integral de línea:
Calcule, (x,y), siendo C un triangulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1):
C es la trayectoria del triángulo
recorrida siendo:
𝛼
1
( 𝑡
)
( 𝑡, 0
) , 𝛼 1
( 𝑡
)
( 1,
) ,
‖ 𝛼 1
( 𝑡
)‖ = 1, 𝑡 ∈
[ 0,
]
𝛼 2
(𝑡) = (1 − 𝑡, 𝑡), 𝛼 2
(𝑡) = (−1,1),
‖ 𝛼 2
(𝑡)
‖ = √2, 𝑡 ∈ [0,1]
𝛼 3
( 𝑡
)
( 0,1 − 𝑡
) , 𝛼 3
( 𝑡
)
( 0, −
) ,
‖ 𝛼 2
( 𝑡
)‖ = 1, 𝑡 ∈
[ 0,
]
Puesto que:
𝛼 1
( 0
)
( 0,
) = 𝛼 3
( 1
) , 𝛼 1
( 1
)
( 1,
) = 𝛼 2
( 0
) y 𝛼 2
( 1
)
( 0,
) = 𝛼 3
(0)
Se considera a C como el arco unión 𝐶 = 𝛼 1
𝖴 𝛼 2
𝖴 𝛼 3,
entonces…
c
( x + y )=
α 1
( x + y ) +
α 2
( x+ y )+
α 3
( x + y )=¿
0
1
tdt +
0
1
2 dt +
0
1
( 1 −t) dt=
[
t
2
2 t+t −
t
2
]
- Integral de superficie.
Calcule el área de la porción de
superficie cónica x
2
- y
2
=z
2
situada
por encima del plano z=0 y limitada
por la esfera x
2
- y
2
- z
2
= 2 ax
Solución: Se parametriza la
superficie para hallar el área, z > 0 del
cono x
2
- y
2
=z
2
. Como S es la gráfica de la función z=
x
2
- y
2
=f ( x , y )
sobre
la región D que queda definida por la intersección de cono y la esfera.
x
2
- y
2
=z
2
x
2
- y
2
+z
2
= 2 ax
→ 2 ( x
2
- y
2
) = 2 ax → ¿
D=¿Entonces S=r(D) siendo r la
parametrización:
r =( x , y )=¿El producto vectorial fundamental es:
- Integral triple-
Calcule ∫
𝑐
Solución: