¡Descarga Resumen completo de Matemáticas para ingreso a la universidad y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Resumen de Lógica Matemática – Matemática Básica 1.1 Proposiciones
- Una proposición es una oración que se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F).
- Ejemplos: o "El cielo es azul" → ✔ Es una proposición. o "¡Cierra la puerta!" → No es una proposición (es una orden). 1.2 Operadores Lógicos Sirven para unir proposiciones y formar otras más complejas. Operador Nombre Símbolo Es verdadero cuando... ¬p Negación No Es lo contrario de p. p ∧ q Conjunción Y Las dos son verdaderas. p ∨ q Disyunción O Al menos una es verdadera. p → q Condicional Si...entonces Solo es falso si p es V y q es F. p ↔ q Bicondicional Si y solo si Es verdadero si ambos son iguales. 1.3 Clases de Proposiciones
- Simples : solo dicen una cosa. Ej: "Hoy es lunes"
- Compuestas : usan operadores para juntar varias. Ej: "Hoy es lunes y hace calor" (usa "y", o sea una conjunción). 1.4 Estructuras Lógicas con Variables
- Se usan letras como p, q, r para representar proposiciones.
- Con esas letras se pueden formar expresiones como: Ej: (p ∧ q) → r
- Se hacen tablas de verdad para ver cuándo una expresión es verdadera o falsa, dependiendo de los valores de p, q y r. 1.5 Propiedades de los Operadores Lógicos Ayudan a simplificar expresiones lógicas:
- Conmutativa : o p ∧ q = q ∧ p
o p ∨ q = q ∨ p (el orden no cambia el resultado)
- Asociativa : o (p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) (el agrupamiento no cambia el resultado)
- Distributiva : o p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- De Morgan (muy importante para exámenes): o ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q o ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q 1.6 Razonamientos Es el proceso de pensar lógicamente para sacar conclusiones.
- Razonamiento válido : si las premisas son verdaderas, la conclusión también debe serlo. Ejemplo: o Si llueve, me mojo. o Llueve. o → Me mojo.
- Modos comunes de razonamiento: o Modus Ponens : Si p → q y p es verdad → entonces q es verdad. o Modus Tollens : Si p → q y q es falso → entonces p es falso. Resumen – Tema 2: Conjuntos – Matemática Básica 2.1 Tipos de Conjuntos y Cardinalidad
- Conjunto : Grupo de elementos bien definidos. Se escribe con llaves. Ejemplo: A = {1, 2, 3}
- Cardinalidad : Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3}, entonces |A| = 3
- Tipos de conjuntos : o Finito : Tiene un número limitado de elementos. Ej: {2, 4, 6} o Infinito : Nunca termina. Ej: {1, 2, 3, 4, …} o Vacío : No tiene elementos. Se escribe ∅ o {} o Iguales : Tienen los mismos elementos.
o Reflexiva : Todo elemento está relacionado consigo mismo. (a, a) o Simétrica : Si (a, b) está, entonces (b, a) también. o Antisimétrica : Si (a, b) y (b, a) están, entonces a = b. o Transitiva : Si (a, b) y (b, c) están, entonces (a, c) también. 2.6 Funciones
- Una función es una relación especial: a cada valor de entrada (x) le corresponde solo una salida (y). Ejemplo: f(x) = x + 1 Si x = 2, entonces f(x) = 3 → par (2, 3)
- Domino : Todos los posibles valores de x.
- Rango o recorrido : Los posibles resultados (valores de y).
- Importante: Una x no puede tener dos y distintas. 2.7 Problemas de Aplicación Son ejercicios donde se usan los conjuntos para resolver situaciones reales. Ejemplo típico: En un grupo de 20 personas, 12 juegan fútbol, 10 juegan vóley y 5 juegan ambos. ¿Cuántos no juegan ninguno? Se resuelve con la fórmula: Total = (Solo fútbol) + (Solo vóley) + (Ambos) + (Ninguno) O también con diagramas de Venn. Resumen – Tema 3: Números Reales – Matemática Básica 3.1 Conjuntos Numéricos Los números reales ( ℝ ) incluyen todos los tipos de números que usamos normalmente:
- Naturales ( ℕ ) : 1, 2, 3, 4, …
- Enteros ( ℤ ) : … - 2, - 1, 0, 1, 2 …
- Racionales ( ℚ ) : Fracciones y decimales exactos o periódicos. Ej: ½, 0.75, - 4
- Irracionales ( ℝ - ℚ ) : Decimales infinitos no periódicos. Ej: √2, π
- Reales ( ℝ ) : Todos los anteriores. 3.2 Expresiones Algebraicas
Son combinaciones de números, letras y operaciones. Ejemplo: 3x + 2, a² - 5a + 6
- Término : Cada parte separada por suma o resta. Ej: En 3x + 2, hay dos términos: 3x y 2
- Coeficiente : El número que acompaña a la letra. En 3x, el coeficiente es 3.
- Grado : La potencia mayor de la variable. Ej: x² + 5x + 4 → grado 2 3.3 Razones y Proporciones
- Razón : Comparación entre dos cantidades (puede escribirse como fracción). Ej: Si hay 10 chicas y 5 chicos, razón = 10/5 = 2
- Proporción : Igualdad entre dos razones. Ej: 2/3 = 4/6 → es una proporción
- Se puede resolver con regla de tres : Si a/b = c/x → x = (b·c)/a 3.4 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad con una incógnita (letra). Ejemplo: 2x + 3 = 7 Pasos para resolver :
- Pasar todo a un lado: 2x = 7 - 3
- Resolver: 2x = 4
- x = 4 ÷ 2 → x = 2 Hay muchos tipos, pero las más comunes son:
- Lineales : ax + b = 0
- Cuadráticas : ax² + bx + c = 0 (se resuelven con fórmula general, factorización o completando cuadrados) 3.5 Inecuaciones Son como ecuaciones, pero con desigualdades en lugar de igualdades. Símbolos:
- < menor que
mayor que
- ≤ menor o igual
- ≥ mayor o igual Ejemplo: 2x - 3 < 5
4.2 Tipos de funciones Según su forma y comportamiento, hay distintos tipos:
- Constante : f(x) = c → siempre da el mismo valor.
- Lineal : f(x) = mx + b → una recta.
- Cuadrática : f(x) = ax² + bx + c → forma de parábola.
- Polinomial : f(x) = suma de potencias de x.
- Racional : fracción de polinomios.
- Exponencial : f(x) = a^x
- Logarítmica : f(x) = logₐ(x) 4.3 Función lineal Forma general: f(x) = mx + b
- m es la pendiente (indica si sube o baja)
- b es el punto donde cruza el eje y (ordenada al origen) Ejemplo: f(x) = 2x + 3 → Pendiente 2 (sube rápido), corta el eje y en 3. 4.4 Función cuadrática Forma general: f(x) = ax² + bx + c
- Su gráfica es una parábola.
- Si a > 0 : abre hacia arriba
- Si a < 0 : abre hacia abajo
- El vértice es el punto más alto o más bajo.
- Corta el eje x en los ceros o raíces (cuando f(x) = 0) Ejemplo: f(x) = x² - 4 → Es una parábola que corta el eje x en - 2 y 2 4.6 Función polinomial y racional Polinomial : suma de varios términos como x³, x², x, etc. Ej: f(x) = x³ - 2x² + 4
- El grado (mayor exponente) define su comportamiento.
- Grado impar: puede subir en un lado y bajar en el otro.
- Grado par: abre como parábola (ambos extremos hacia arriba o hacia abajo).
Racional : cociente de polinomios Ej: f(x) = (x + 1) / (x - 2)
- No está definida cuando el denominador es 0 → x ≠ 2
- Puede tener asíntotas (líneas que la función se acerca pero no toca) 4.7 Función exponencial y logarítmica Exponencial : f(x) = a^x
- a > 1 → crece muy rápido
- Ej: f(x) = 2^x → 1, 2, 4, 8, 16… Logarítmica : f(x) = logₐ(x)
- Inversa de la exponencial
- Solo existe para x > 0
- Ej: log₂(8) = 3 porque 2³ = 8 Estas funciones aparecen mucho en ciencias (crecimiento, decaimiento, pH, escala Richter). Resumen – Tema 5: Transformaciones geométricas, escalas y patrones 5.1 Nociones básicas sobre transformaciones geométricas Una transformación geométrica es un cambio de posición, tamaño o forma de una figura. Tipos principales:
- Traslación : mover sin girar ni cambiar tamaño.
- Rotación : girar una figura alrededor de un punto.
- Reflexión (simetría) : voltear una figura como en un espejo.
- Homotecia (ampliación/reducción proporcional) Estas transformaciones no cambian la forma , solo la posición o el tamaño. 5.2 Movimientos en el plano Los movimientos (también llamados isometrías ) son transformaciones que no alteran el tamaño ni la forma. Tipos:
- Traslación : mueve una figura una cierta distancia en una dirección.
- Rotación : gira la figura un ángulo determinado.
- Colores
- Orientaciones 5.7 Patrones geométricos del mundo que nos rodea Los patrones están por todas partes:
- En la naturaleza : las abejas (hexágonos), conchas (espirales), flores (simetrías).
- En la arquitectura : mosaicos, pisos, vitrales.
- En el arte : mandalas, bordados, tejidos, diseño islámico.
- En moda y decoración : estampados repetitivos. Observar patrones ayuda a desarrollar el pensamiento lógico, la creatividad y la percepción matemática. Resumen – Tema 6: Geometría Analítica Plana 6.1 Rectas en el plano
- Una recta en el plano se puede representar con la ecuación y = mx + b , donde: o m es la pendiente (indica si sube, baja o es horizontal) o b es el punto donde cruza el eje y (ordenada al origen)
- También puede expresarse en forma general: Ax + By + C = 0
- Para encontrar la pendiente entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂): m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 6.2 Circunferencia
- La circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia fija (radio, r) de un punto fijo (centro, (h, k)).
- Ecuación estándar: (x - h)² + (y - k)² = r²
- Ejemplo: centro (2, 3), radio 4 → (x - 2)² + (y - 3)² = 16 6.3 Parábola
- Lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo (foco) y una línea fija (directriz).
- Ecuación típica (vértice en el origen): y² = 4px (parábola horizontal) o x² = 4py (parábola vertical)
- La parábola tiene forma de “U” y puede abrir hacia arriba, abajo, izquierda o derecha.
6.4 Elipse
- Lugar geométrico de los puntos donde la suma de las distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
- Ecuación estándar (centro en el origen): (x² / a²) + (y² / b²) = 1
- Si a > b → el eje mayor es horizontal
- Si b > a → el eje mayor es vertical 6.5 Hipérbola
- Lugar geométrico de los puntos donde la diferencia de las distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
- Ecuación estándar (centro en el origen): (x² / a²) - (y² / b²) = 1 (hipérbola horizontal) o (y² / a²) - (x² / b²) = 1 (hipérbola vertical)
- Tiene dos ramas abiertas hacia lados opuestos.
