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Respuestas de sistemas
La respuesta de un sistema de control, o de un elemento del sistema, está formada por dos partes: la
respuesta en estado estable y la respuesta transitoria.
La respuesta transitoria es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en
la entrada y desaparece después de un breve intervalo.
La respuesta en estado estable es la respuesta que permanece después de que desaparecen todos los
transitorios.
Si tenemos un sistema mecánico formado por un resorte suspendido en forma vertical y de él se suspende
súbitamente un peso, la deformación del resorte se incrementa de manera abrupta y así puede oscilar hasta
que después de un tiempo se asienta en un valor estable. El valor estable es la respuesta en estado estable
del sistema resorte; la oscilación que se presenta antes de este estado es la respuesta transitoria.
La entrada al sistema es una cantidad que varía con el tiempo; el peso. Durante cierto tiempo no se adiciona
peso, y es hasta después de ese tiempo que se agrega el peso. Este tipo de entrada se conoce como entrada
escalón. La salida del sistema es un valor que varía con el tiempo. Tanto la entrada como la salida son
funciones del tiempo. Se escriben f (t)
, donde f es una función y (t) indica que su valor depende del tiempo
t.
Tenemos el resorte real en la condición inicial t 0
, estaría ubicado en una posición respecto de la
vertical, y vamos a suponer que en ese instante t 0
lo que hacemos es colocar un peso y lo soltamos.
El resorte se estira y luego se contrae para volver a estirarse hasta que llega un momento que
permanece con una altura constante. Pasa a ocupar la posición marcada con líneas de puntos. Si graficamos
la respuesta de la posición, en este caso es la altura y , respecto al tiempo, veríamos que este resorte haría la
curva de la figura.
Para esta respuesta podemos observar dos partes principales: una que tiene que ver con el tramo donde la
altura está cambiando permanentemente, está oscilando con cierta frecuencia, estado transitorio. Y la otra
parte donde el estado pasaría a ser estado estable.
Respuesta transitoria: la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en
la entrada y desaparece luego de un intervalo de tiempo.
Estado estable: parte de la respuesta que queda permanentemente en el tiempo luego que desaparecen
los fenómenos transitorios.
En este caso la señal de entrada es la función W (t)
que es una constante, en el instante t lo colocamos y
generamos una señal de salida que la representamos como una función g (t)
que varía en función del tiempo.
Representado en un diagrama de bloques tendríamos el bloque de nuestro sistema, la entrada para el sistema
seria la función W(t) y la salida para el sistema seria la función g(t).
Al graficar la función W(t) , o sea, el peso, tendría una respuesta del tipo de la gráfica; para un instante t
antes de colocar la pesa en el sistema la entrada sería 0 (cero), hasta que en t = 0 colocamos el peso que
vale W , una vez colocado el peso el valor de la entrada es W , que es una masa con cierto peso constante,
al colocarlo responde de cierta manera en el sistema por lo tanto la entrada al sistema es una constante W.
O sea que en t = 0 aumenta W y se va a mantener constante conforme transcurra el tiempo t.
W es la señal que va a ingresar al sistema (señal de entrada), que por su forma de escalón es una señal de
entrada escalón que va a tener una altura g. esta señal tipo escalón nos va a proporcionar una salida de un
sistema subamortiguado, tiene algunas oscilaciones hasta que queda en la posición final con la que ingresa
al estado estable.
Por ejemplo, si hacemos el agregado de una segunda pesa en las condiciones de estado estable, lo que
sucede con el sistema es lo mismo, va a oscilar, la diferencia es que ahora partimos de la posición en estado
estable del anterior, debería haber otro transitorio y después quedaría con una posición respecto de la
vertical un poco diferente; descendería más el punto de observación.
Para describir por completo el comportamiento de un sistema el modelo debe considerar la relación entre
las entradas y las salidas, las cuales son funciones del tiempo y, por lo tanto, describen los comportamientos
tanto transitorio como en estado estable. Se necesitará un modelo que indique cómo variará la respuesta del
sistema con el tiempo. Un tipo de modelo que con frecuencia se emplea para describir el comportamiento
de un sistema de control o un elemento del sistema es una ecuación diferencial ; incluye derivadas con
respecto al tiempo.
Las ecuaciones diferenciales son las que involucran derivadas. Se pueden clasificar como de primer orden ,
segundo orden , tercer orden , etcétera, de acuerdo con la derivada de mayor orden en la ecuación.
Ejemplo de sistema de primer orden
Un ejemplo de sistema de primer orden es un
tanque de agua controlado por un flotador. En
este sistema la razón a la cual entra el agua al
tanque y, por lo tanto, la razón a la que cambia
la altura del agua en el tanque con el tiempo
depende de la diferencia entre la altura del
agua h en el tanque y la altura H a la que el
flotador cierra por completo la entrada del
agua.
La razón de cambio de altura es proporcional
a (H – h) , por lo tanto
Estamos aplicando en un tiempo t = 0 una
diferencia de potencial V a modo de señal escalón
de altura V y a la salida del sistema tenemos una
corriente inicial máxima pero conforme la
diferencia de potencial va tendiendo a cero la
corriente va disminuyendo. El valor de VC va a
crecer hasta que sea igual a la señal de entrada V ,
o sea, cuando V C
= V , la corriente va a ser cero,
en el estado estable en bornes del capacitor vamos
a tener una diferencia de potencial igual a la de la
fuente. Esto se va a mantener hasta que
aumentemos V ; se va a establecer un aumento de
V
C
con el tiempo hasta alcanzar el nuevo V.
La variación de la diferencia de potencial del
capacitor con respecto al tiempo es
𝐶
−
𝑡
𝑅𝐶
) (ecuación de la gráfica)
Se puede considerar que este sistema tiene como
entrada la diferencia de potencial V y como salida
la diferencia de potencia VC.
Tipos de señales
Las señales de entrada al sistema pueden adoptar diferentes formas. La más común es la entrada escalón
( a ). Ésta se presenta cuando la entrada cambia de valor de manera abrupta. Por ejemplo, cuando una fuente
se conecta de forma súbita en un circuito RC en serie. Otras formas de entrada son las señales de impulso
( b ), rampa ( c ) y senoidal ( d ). Un impulso es una entrada de muy corta duración, una rampa es una señal
que se incrementa en forma estable, y una entrada senoidal es aquella cuyas oscilaciones se pueden describir
mediante una ecuación de la forma sent, siendo la frecuencia angular.
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación de primer orden generalmente tiene
la forma
0
𝑖
0
0
o, como se escribe normalmente,
a
1
dθ
0
dt
0
θ
0
= b
0
θ
i
Donde
a 1 , a 0 y b 0 son constantes
θ i
es la función de entrada al sistema (variable de
entrada)
θ 0
es la función de salida (serían así: θ i(t)
y θ 0(t)
Si se hace la sustitución
0
= 𝜇 + 𝜈 (símbolos mu y nu)
Con μ : respuesta transitoria
ν : respuesta en EE
Entonces
1
0
0
𝑖
Reordenando
1
0
1
0
0
𝑖
Hacemos
1
0
1
0
0
𝑖
Para obtener la respuesta transitoria no es
necesario conocer ninguna forma que adopte la
entrada; la respuesta es independiente de la
entrada. De este modo, se necesita resolver la
ecuación diferencial (1) , lo cual se puede lograr
mediante la prueba de una solución.
Se supone
𝑠𝑡
Entonces
𝑠𝑡
La ecuación diferencial (1) queda
1
𝑠𝑡
0
𝑠𝑡
1
0
0
1
−
𝑎 0
𝑡
𝑎
1
Para obtener la solución de la ecuación diferencial
(2) también se prueba una solución. La forma de
la solución a probar dependerá de la forma de la
señal de entrada. Para una señal escalón cuando θ i
es una constante para tiempos mayores a t = 0 , la
solución que se prueba es
Donde k es una constante
Si se tiene una entrada que se puede describir
mediante una ecuación de la forma
𝑖
2
donde cualquiera de los coeficientes a, b, c, etc.
puede ser cero, entonces se prueba una solución
de la forma
2
Por lo tanto, para una señal de rampa donde se
tiene θ i
= bt entonces la solución a probar es
Para una señal seno o coseno se prueba con
Suponemos que la entrada que se toma es una
entrada escalón que se presenta en t = 0 , es
decir, la entrada súbitamente brinca de t = 0 a
un valor θ i
, y permanece constante en ese valor
para el resto del tiempo; entonces se puede
probar como posible solución
= 0 puesto que 𝐤 es una constante
La ecuación diferencial (2) se convierte en
0
0
𝑖
0
0
𝑖
0
𝑖
0
La solución completa es
0
0
−
𝑎
0
𝑎 1
𝑡
0
𝑖
0
Nos falta identificar A, buscamos un punto
conocido en la curva, o sea, damos una
condición inicial
0
Entonces
0
𝑖
0
0
𝑖
0
Lo reemplazamos en (3)
0
0
𝑖
0
−
𝑎
0
𝑎 1
𝑡
0
𝑖
0
0
0
𝑖
0
−
𝑎
0
𝑎
1
𝑡
Gráficamente la salida θ 0 varía con el tiempo para la entrada escalón.
La gráfica y la ecuación son generales y describen la respuesta a todos los sistemas de primer orden a una
entrada escalón que se presenta en t =.
0
0
𝑖
Ejemplo de sistema de segundo
orden
Muchos sistemas de segundo orden se pueden
considerar sólo como un resorte con una masa y
algún medio para proporcionar amortiguamiento.
Las fuerzas que actúan sobre la masa m son la
fuerza aplicada F en una dirección y, en la
dirección contraria, la fuerza generada por el
resorte estirado y el amortiguamiento.
La fuerza neta que actúa sobre la masa es
Esta fuerza neta hace que la masa m adquiera una
aceleración a (segunda ley de Newton).
Pero
2
2
Entonces
2
2
Reordenado
2
2
Ecuación de segundo orden del sistema que tuvo
una abrupta aplicación de la fuerza F , es decir,
una entrada escalón.
La forma en que el desplazamiento x variará con
el tiempo dependerá de la cantidad de
amortiguamiento en el sistema:
- Si no hubiera amortiguamiento la masa oscilaría
libremente sobre el resorte y las oscilaciones
continuarían de manera indefinida; b(dx/dt)=.
- El amortiguamiento causará oscilaciones que
desaparecen hasta que se obtiene el
desplazamiento estable de la masa.
- Si el amortiguamiento es lo suficientemente
grande no habrá oscilaciones y el
desplazamiento de la masa se incrementará
lentamente con el tiempo y la masa se moverá
en forma gradual hacia su posición de
desplazamiento estable.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Una ecuación de segundo orden tiene la forma general
2
2
0
2
1
0
0
0
0
𝑖
Donde b 0 , a 0 , a 1 y a 2 son constantes.
En ausencia de amortiguamiento la salida del sistema de segundo orden es una oscilación continua, la cual
se puede escribir mediante la ecuación
0
𝑛
Donde A es la amplitud de la oscilación y n es la frecuencia angular de las oscilaciones. Al diferenciar se
obtiene
0
𝑛
𝑛
2
0
2
𝑛
2
𝑛
𝑛
2
0
2
0
2
𝑛
2
0
La ecuación diferencial de segundo orden general se escribe como
2
0
2
𝑛
0
𝑛
2
0
0
𝑛
2
𝑖
Donde n es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará libre en ausencia de cualquier tipo de
amortiguamiento
(dseta) es el factor de amortiguamiento relativo.
se tienen oscilaciones libres
se tiene la situación subamortiguada
: la situación es la sobreamortiguada
Solución de la ecuación
Una ecuación diferencial de segundo orden se puede resolver mediante el método usado para la ecuación
diferencial de primer orden.
0
Para tenemos
2
2
𝑛
𝑛
2
Y para
2
2
𝑛
𝑛
2
𝑛
2
0
𝑖
Para resolver la ecuación transitoria se puede
probar una solución de la forma
𝑠𝑡
Derivamos
𝑠𝑡
2
2
2
𝑠𝑡
En (1)
2
𝑠𝑡
𝑛
𝑠𝑡
𝑛
2
𝑠𝑡
2
𝑛
𝑛
2
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La figura muestra la forma típica de la respuesta de un sistema subamortiguado a una entrada escalón. Se
emplean algunos términos para especificar tal desempeño.
Tiempo de levantamiento t
L
: es el tiempo que le toma a la respuesta 0 levantarse desde 0 hasta el
valor en estado estable EE , y es la medida de qué tan rápido el sistema responde a una entrada. Éste es el
tiempo para que la respuesta oscilatoria complete un cuarto de ciclo, es decir, /.
𝐿
𝐿
Tiempo pico t
p
: es el tiempo que toma a la respuesta levantarse desde 0 hasta el primer valor pico. Éste
es el tiempo para que la respuesta oscilatoria complete medio ciclo, es decir, .
𝑝
𝑝
Sobrepaso: es la máxima cantidad que adquiere la respuesta por encima del valor en estado estable.
Tiempo de establecimiento t
s
: es el tiempo que toman las oscilaciones en desaparecer. Éste es el tiempo
que toma a la respuesta decaer y mantenerse dentro de un porcentaje especificado, por ejemplo, 2%,
alrededor del valor en estado estable.
𝑠
𝑛
