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2. FUNCIONES SINGULARES
En el tratamiento de la asignatura Análisis de Señales se trabajará con las funciones escalón e impulso o delta dirac.
2.1 LA FUNCIÓN ESCALÓN.
Desde el punto de vista físico, esta función representa una señal constante, como por ejemplo un voltaje o una corriente, que existe a partir de un determinado instante to.
Matemáticamente la función escalón se expresa como sigue:
( t ) 1 para t 0
( t ) 0 para t<
Corresponde a lo que denominaremos escalón unitario.
Entonces se podrán considerar escalones no unitarios y definidos a partir de to.
Ejemplos:
1. f(t) = 2 ( t 2 )
f(t) 2
( t )
t
- f(t) = 5 ( t 6 )
- f(t) = -3 ( t 2 )
o
- f(t) = 2 ( t 4 ) 2 ( t 4 )
Se observa que a partir de t=4, los escalones se anulan, por lo tanto la señal f(t) queda como sigue:
4 t
f(t ) 2
t
f(t)
t
f(t )
f(t) 5
(^6) t
2.2 LA FUNCIÓN IMPULSO
Desde el punto de vista físico, esta función no es representable, no obstante su significado corresponde a una señal idealmente infinita y definida en el instante t0.
Lo más similar desde el punto de vista físico y que puede ser interpretado como un impulso corresponden a aquellas señales de duración infinitesimal y de gran amplitud.
Matemáticamente la función impulso o delta dirac se expresa como sigue:
( t ) para t=
( t ) 0 para 0 <t<
Corresponde a lo que denominaremos impulso unitario.
El concepto de unitario o también denominado peso unitario encierra el concepto del área del impulso, por lo tanto se puede expresar que:
La derivada del escalón es la función impulso: ( t ) ( t ) dt
d
También, se podrán considerar impulsos no unitarios y definidos en to.
Ejemplos:
1. f(t) = 2 ( t 3 )
( t )
t
0 (^ t ) dt^ ^1
2. f(t) = 4 ( t 2 )
3. f(t) = 10 ( t 5 )
4. f(t) = 2 ( t 3 ) 2 ( t 2 ) 2 ( t 1 ) 2 ( t 1 ) 2 ( t 2 ) 2 ( t 3 )
De la ecuación anterior, se desprende que:
EJERCICIOS: 1.- Graficar las siguientes funciones:
a) f(t) =
2 f(t)
2 -^1 - 2
f(t)
t
f ( t )
2 t
f ( t )
t
( t t 0 ) dt 1
( t t 0 ) f ( t ) dt f ( t 0 )
3 ( t 3 ) 2 ( t 2 )( t 1 ) 3 ( t 3 ) 2 ( t 2 ) ( t 1 )
Sea
a ( t ) un voltaje no ideal.
( ) 1 a
t a t
dt a
d (^) a ( t ) 1
Lo que gráficamente podemos representarlo como sigue:
Si a varia, la forma del pulso varia, pero su area se mantiene cte.
En el limite cuando a ^0 , la altura del pulso y su duración ^0 , pero su área se mantiene en 1.
Luego podemos expresar que:
dt
d t t (^) a a
( ) ( ) lim 0
() ( )
1 ( ) lim 0 t t a a
t (^) a
Entonces:
( t ) dt 1 ( t ) 0 para t 0
Se observa que ( t )no es una función verdadera matemáticamente.
Otras formas de expresar ( t ):
- Pulso de Gauss:
2
2 1 ( ) lim 0
t
t e
- Pulso triangular:
0 para t >
( )
1 <
1 lim (^0)
t
para t
t
- Pulso exponencial.
t t e
(^) 2
1 ( ) lim 0
- Función de muestro.
(^ ) ^1
S kt dt
k a
Consideremos que una función f(t) se aproxima en el intervalo ^ t 1 , t 2 por una combinación lineal de n funciones ortogonales. Entonces:
f ( t ) C 1 g 1 ( t ) C 2 g 2 ( t ) C 3 g 3 ( t )................ Cngn ( t )
( ) () ( 1 ) 1
n
r
f t Cr gr t
( ) () () ( 2 ) 1
n
r
f t f t Cr gr t
( ) () ( 3 )
1
2
2 1 1
2
1
f t C g t dt t t
t
t
n
r
^ r r
Se requiere que , que corresponde al error cuadrático medio de f ( t )sea mínimo.
( 4 )
()
() ()
2
1
2
1
2 g tdt
f t g t dt
C (^) t
t
t
t
r
r
r
( 4. 1 )
() ()
2
1 r
t
t
r
r k
f t g t dt
C
2.4.2. Determinación del error cuadrático medio.
( ) () ( 3 )
1
2
2 1 1
2
1
f t C g t dt t t
t
t
n
r
^ r r
() ( ) 2 () () ( 5 )
1 2
1 1 1
2 2 2
2 1
f t C g t C f t g t dt t t
t
t
n
r
n
r
^ r r ^ r r
() () 2 ( ) () ( 6 )
1
1 1
2 2 2
2 1
2
1
2
1
2
1
(^) (^) (^)
n
r
n
r
t
t
r r
t
t
r
t
t
f t dt C g t dt C f t g t dt t t r
De 4 y 4.1.
2
1
2
1
( ) ( )^2 ( )
t
t
r r r r
t
t
f t gr t dt Ck C g t dt
Luego:
(^)
n
r
n
r
r r r r
t
t
f t dt C k CC k t t 1 r 1
2 2
2 1
() 2
1 2
1
Z
(^)
n
r
r
t
t
f t dt C k t t 1 r
2 2
2 1
2
1
( )
1
Ejercicio:
Se tiene la siguiente señal f(t)
a) Aproxime f(t) mediante una serie de funciones cosenoidales. b) Determine el error cuadratico medio.
c) Determine^ r parar 1 , 3 , 5 , 7
Haciendo n=0 para an
t T
t
f t dt T
a
0
0
( )
1 0
Igualmente:
2
cos ( ) ( )
0
0
0
0
0
2 0
2 T nwt dt sen nwt dt
t T
t
t T
t
^ ^
Entonces:
t T
t
f t dt T
a
0
0
( )
1 0
t T
t
n f t nwt dt T
a
0
0
()cos( )
2 0
t T
t
n f t sennwt dt T
b
0
0
() ( )
2 0
La representación compacta de la serie trigonométrica de Fourier es la siguiente:
1
( ) 0 cos( 0 ) n
f t c Cn nwt n
Donde:
2 2 Cn an b n
n
n n a
b
tg^1
3.2 Serie exponencial de Fourier.
Representación de una función f(t) cualquiera en el intervalo
t (^) 0 , t 0 T mediante una combinación lineal de funciones exponenciales.
........ ......
( ) ........ ...... 0 0 0
0 0 0
2 1 2
2 0 1 2
jnw t n
jwt j wt
jnwt n
jwt j wt
F e F e F e
f t F Fe Fe Fe
n
jnwt f t Fne ( )^0
Donde
^
(^)
(^)
t T t
jnwt jnwt
t T t
jnwt
n e e dt
f t e dt F 0 0
0 0
0 0
( )^0
(^)
(^)
t T t
jnwt jnwt
t T t
jnwt
n e e dt
f t e dt F 0 0
0 0
0 0
( )^0
T
f t e dt F
t T t
jnwt
n
(^)
0 0
( )^0
Las series exponencial y trigonométrica de Fourier no son 2 tipos diferentes de series, sino dos formas diferentes de expresar la misma serie.
Relaciones:
n
jnwt f t Fne ( )^0 ( t 0 (^) , t 0 T )
jnw tT jnwt jnwt jnwt
jnwt jnw tT jnwt jnwT jnwt
e e n jsen n e e
wT
e e e e e nwT jsen nwT
0 0 0 0
0 0 0 0 0
cos( 2 ) ( 2 ) 1 0
2
cos( ) ( )
( )
0
0 0
( )
Por lo tanto si f(t) es periódica, con periodo T, entonces la serie de
Fourier es válida en todo el intervalo (^ ^ t ).
Entonces, para una f(t) periódica:
n
jnwt f t Fne ( )^0 ( t )
Donde:
T
f t e dt F
t T t
jnwt
n
(^)
0 0
( )^0
Ejercicio:
Para una f(t) onda seno rectificado, de amplitud A y periodo T=1, determine la serie exponencial de Fourier.
3.4 EL ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER
Tal como se ha visto, el desarrollo en serie de Fourier de una función periodica, equivale realmente a la representación de la función en termino de sus componentes de distintas frecuencias.
Una función f(t) con periodo T tiene componentes de frecuencias
angulares w 0 ,^2 w 0 ,^3 w 0 ,........., nw 0 ......, con T
w
2 0 .
Si tenemos f(t) entonces podemos determinar su espectro.
Igualmente o inversamente, si tenemos el espectro de una señal, podemos encontrar su f(t).
De lo anterior se deduce que:
Tenemos 2 maneras de expresar una función:
En el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
Notar que el espectro no es una señal continua, sino que es discreta, dando origen a lo que llamaremos espectro discreto.
Dada una función periódica de periodo T, la serie exponencial esta dada por:
n
jnwt f t Fne ( )^0
..... .....
( ) ....... ..... 0 0 0 0
0 0 0 0
3 3
2 1 2
3 3
2 0 1 2
jnw t n
jwt j wt jwt
jnwt n
jwt jwt jwt
F e F e F e F e
f t F Fe Fe Fe Fe
Se observan las siguientes frecuencias:
0 , w 0 (^) , 2 w 0 , 3 w 0 ,........., nw 0 ...... y sus amplitudes son F 0 , F 1 F 2 F 3 ....... Fn .....
Cuando las amplitudes corresponden a complejos, se les describe por su magnitud y fase.
Ejercicio:
Grafique el espectro para una f(t) onda seno rectificado, de amplitud A y periodo T=1.
Ejercicio:
Demuestre que el espectro de magnitud de cualquier función periódica es simétrico con respecto al eje vertical que pasa por el origen.
Consideremos la siguiente señal f(t):
Lo que se quiere: representar f(t) como suma de funciones exponenciales en todo el intervalo (^ ,)
Se define una nueva función periódica (^ fT ( t )con periodo T
En el limite, con ( T^ ), entonces los pulsos de la función periodica se repiten después de un intervalo infinito.
Por lo tanto, en el limite ( T ) las señales fT ( t ) y f(t) son idénticas.
lim fT ( t ) f ( t ) T
De este modo, la serie de Fourier que representa a fT ( t )en todo el intervalo, tambien representa a f(t) en todo el intervalo si hacemos ( T ).
Se puede expresar la serie exponencial de Fourier de fT ( t ) como:
n
jnwt
f T t Fne
0
T
w
Y
T
f t e dt
F
T
T
jnwt T
n
2
2
( )^0
Fn corresponde a la amplitud de las componentes de frecuencia nw 0.
Suponemos que T aumenta.
Entonces w 0 disminuye y el espectro se pone mas denso.
Tambien se observa que Fn disminuye.
La forma del espectro no cambia.
En el limite, cuando ( T^ ), la magnitud de cada componente se vuelve muy pequeña y existe un numero infinito de componentes espectrales, es decir el espectro existe para cualquier w, entonces ya no es discreto sino que continuo.
Sea nw 0^ wn
Entonces Fn es funcion de wn
