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teoria de colas o teoria de lineas de llegada de investigacion de operaciones
Tipo: Monografías, Ensayos
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La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura "de hacia": de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aquí hacia allá. Al enfrentar este tipo de problema, la intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las fuentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinación óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en el gran número de combinaciones posibles. En general, los problemas de transporte se ocupan (en forma literal o imaginaría) de la distribución desde cualquier grupo de centros de suministro, llamados orígenes, a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos de modo que se minimice el costo total de distribución. Cada origen tiene ciertos recursos (oferta) para distribuir a los destinos y cada destino tiene cierta demanda de estos recursos que recibe de los orígenes. El modelo de un problema de transporte hace la siguiente suposición acerca de estos recursos (ofertas) y demandas. El problema del transporte o distribución es un problema de redes especial en programación lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado fuente u Origen hacia otro punto específico llamado Destino. Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los destinos y claro está la minimización de los costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas. El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a cabo mediante programación lineal común, sin embargo, su estructura permite la creación de múltiples alternativas de solución tales como la estructura de asignación o los métodos más populares. La programación lineal puede ser utilizada para la resolución de modelos de transporte, aunque no sea sensato resolver los modelos mediante el Método Simplex si puede ser de gran utilidad la fase de modelización, la programación carece de la practicidad de los métodos de asignación, pero puede ser de gran importancia dependiendo de la complejidad de las restricciones adicionales que puede presentar un problema particular. El problema de transporte trata de enviar unidades de un producto desde m orígenes, O1, ..., O m, a n destinos, D1,.. ., Dn, en las siguientes condiciones:
Figura 3.1 Forma matricial para el problema de transporte o tabla de costes. Para adecuar el método simplex a la búsqueda de una solución óptima para el problema de transporte, veamos los teoremas que verifican las soluciones de un problema de este tipo. Para que el problema de transporte tenga solución es condición necesaria y suficiente que la oferta total sea igual a la demanda total. De la forma estándar del problema se tiene que la oferta de cada origen verifica la restricción. Sumando las ofertas de todos los orígenes, la oferta total es Por otra parte, las demandas de los destinos verifican las restricciones La demanda total es En el teorema anterior se demuestra que para que un problema de transporte tenga solución la oferta total debe ser igual a la demanda total. Sin embargo, esta condición no se verifica en todos los problemas. En los casos en los que dicha condición no se verifica es necesario adecuar el problema y posteriormente interpretar la solución obtenida.
Para calcular una solución para el problema del transporte, utilizaremos una tabla, de las mismas dimensiones que la tabla de costes, llamada tabla de flujos. En esta tabla colocaremos los flujos de transporte, es decir, las cantidades de producto transportadas desde cada origen hasta cada destino. Figura 3.2 Tabla de flujos del problema de transporte. El método de la esquina noroeste y el método de Vogel se diferencian únicamente en el paso de selección de la variable a asignar. Para la selección de dicha variable se calculan en la tabla de costes las diferencias por filas y por columnas que se definen de la siguiente manera.
El problema de asignación es una variación del problema original de transporte, variación en la cual las variables de decisión X(i,j) solo pueden tomar valores binarios, es decir ser cero (0) o uno (1), en la solución óptima, lo que supone que la oferta y la demanda están perfectamente alineadas, de hecho ambas son iguales a uno (1). El problema de asignación consiste en encontrar la forma de asignar ciertos recursos disponibles (máquinas o personas) para la realización de determinadas tareas al menor coste, suponiendo que cada recurso se destina a una sola tarea, y que cada tarea es ejecutada por uno solo de los recursos. Es uno de los problemas fundamentales de optimización combinatoria de la rama de optimización o investigación operativa en matemática. El modelo se puede aplicar a la asignación de empleados a tareas, de fábricas a productos, de vendedores a territorios, de postores a contratos, etc. Con una sencilla manipulación, el método también se puede aplicar al caso en el que se pretende maximizar cierta cantidad. En su forma más general, el problema es como sigue: Hay un número de agentes y un número de tareas. Cualquier agente puede ser asignado para desarrollar cualquier tarea, contrayendo algún coste que puede variar dependiendo del agente y la tarea asignados. Es necesario, para desarrollar todas las tareas, asignar un solo agente a cada tarea de modo que el coste total de la asignación sea mínimo. Este tipo de problemas son lineales, con una estructura de transporte, solo que la oferta en cada origen es de valor uno y la demanda en cada destino es también de valor uno. Sería muy ineficiente resolver este tipo de problemas por medio del método simplex o por medio del algoritmo de transporte. Debido a la estructura propia de los problemas de asignación, existen métodos de solución llamados "algoritmos de asignación" que son más eficientes que el simplex o que el método de transporte. Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. La restricción importante para cada agente es que será asignado a una sola tarea. Una característica particular del modelo de asignación es que para su resolución no se hace necesario que el número de fuentes sea igual al número de destinos, lo cual es muy común en la vida real, teniendo en cuenta su aplicación, pues generalmente la cantidad de aspirantes es superior al número de vacantes (lógicamente haciendo referencia a la aplicación del modelo al contexto de oferta y demanda laboral).
El problema de asignación presenta las siguientes características: El Problema de Asignación debe estar equilibrado, es decir, que la relación entre las ofertas y las demandas sean igual a 1. Un elemento importante para el problema de asignación es la matriz de costos. Si el número de renglones o columnas no son iguales el problema está desbalanceado y se puede obtener una solución incorrecta. Para obtener una solución correcta la matriz debe ser cuadrada. Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de asignación lineal. Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asignación lineal. Oferta: Cantidad que representa la disponibilidad del artículo en la fuente/fábrica de donde proviene. Demanda: Cantidad de artículos que necesita recibir el destino para cumplir sus necesidades. Se dice que un problema de asignación se encuentra balanceado, si los recursos totales son iguales a las demandas totales. En caso contrario se dice que no está balanceado el problema. Además, en el modelo, m = n (obtener una matriz cuadrada), en donde m número de renglones y n es número de columnas. Para lograr que el modelo este balanceado se pueden agregar trabajadores/tareas ficticias con costos de cero. Método Húngaro. El método húngaro es un método de optimización de problemas de asignación, conocido como tal gracias a que los primeros aportes al método clásico definitivo fueron de Dénes König y Jenő Egerváry dos matemáticos húngaros. El algoritmo tal como se detallará a continuación está diseñado para la resolución de problemas de minimización únicamente, será entonces cuestión de agregar un paso adicional para abordar ejercicios de maximización. Los problemas de asignación incluyen aplicaciones tales como asignar personas a tareas. Aunque sus aplicaciones parecen diferir de las del problema del transporte, constituye un caso particular. Los problemas de transporte y asignación son casos particulares de un grupo más grande de problemas, llamados problemas de flujo en redes.
Figura 3.4 Tabla del método esquina noroeste. Paso 1 En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda. Paso 2 En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del Paso 1, si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso. Paso 3 Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método detenerse. El método de la esquina es un método de programación lineal hecho a mano para encontrar una solución inicial factible del modelo, muy conocido por ser el método más fácil al determinar una solución básica factible inicial, pero al mismo tiempo por ser el menos probable para dar una solución inicial acertada de bajo costo, debido a que ignora la magnitud relativa de los costos. Es un proceso utilizado para resolver problemas de transporte o asignación, si bien es un método no exacto tiene la ventaja de poder resolver problemas manualmente y de una forma rápida, muy cercano al valor óptimo. Cada problema debe representarse en forma de matriz en donde las filas normalmente representan las fuentes y las columnas representan los destinos.
Es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método. Procedimiento: 1.- Se busca la celda con menor costo y después se ajusta la oferta y la demanda afectada. 2.- Se revisa si la demanda fue satisfecha. De ser así se elimina esa columna. 3.- Si hay más de un renglón o columna se repite el paso 1. El Método del Costo Mínimo determina una mejor solución básica factible inicial que el Método de la Esquina Noroeste debido a que se concentra en las rutas menos costosas. De esta forma el Método del Costo Mínimo se inicia asignando lo máximo posible a la celda que tenga el mínimo costo unitario (en caso de empates, éstos se rompen de forma arbitraria). A continuación, la fila o columna ya satisfechos de tacha, y las cantidades de oferta y demanda se ajustan en consecuencia. Si se satisfacen de forma simultánea una fila y una columna, sólo se tacha uno de los dos (de forma idéntica que el Método de la Esquina Noroeste). Luego se busca la celda no tachada con el costo unitario mínimo y se repite el proceso hasta que queda sin tachar exactamente una fila o una columna. Aplicación.
El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte, capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio. Este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo, produce mejores resultados iniciales que los mismos. El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método. Paso 1 Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. Paso 2 Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el Paso 1, se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). Paso 3 De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0). Paso 4: De ciclo y excepciones
El Método de Aproximación de Vogel es una versión mejorada del Método del Costo Mínimo y el Método de la Esquina Noroeste que en general produce mejores soluciones básicas factibles de inicio, entendiendo por ello a soluciones básicas factibles que reportan un menor valor en la función objetivo (de minimización) de un Problema de Transporte balanceado (suma de la oferta = suma de la demanda). La principal ventaja del método Vogel es que utiliza una serie de penalizaciones para calcular el coste mínimo, así como que su cálculo es sencillo. Por otro lado, el principal inconveniente es que requiere de mayores esfuerzos que otros y, en base a esto, no aporta un criterio para decidir si la solución es la mejor.
El modelo de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos que se destinan a la realización de tareas. Por ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo. La asignación de personas a trabajos es una aplicación común del problema de asignación. Sin embargo, los asignados no tienen que ser personas. También pueden ser máquinas, vehículos o plantas, o incluso periodos a los que se asignan tareas. El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (de costo mínimo) de trabajadores a puestos.
Para que se ajuste a la definición de un problema de asignación, es necesario que este tipo de aplicaciones se formule de manera tal que se cumplan los siguientes supuestos:
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