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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es)
EJERCICIOS de RADICALES
RECORDAR:
Definición de raíz n-ésima: a x x a
n n
Consecuencia:
n n
x x, y también
n n
x x ¬^ simplificacion sencilla
Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario:
n m m/n
x x
Simplificación de radicales/índice común:
n p m p n (^) m
x x
5 Propiedades de las raíces: n^ a ꞏ bn^ naꞏb
n n n
a a
b b
n m m n
a a
m n mꞏn
a a
n n^ n
xꞏ a xꞏa ¬ Introducir/extraer factores
Definición de raíz :
1. Calcular mentalmente, sin usar calculadora :
2. Calcular mentalmente, sin usar calculadora :
3 9 3 6 3 30
EJERCICIOS de RADICALES 4º ESO Académicas
ALFONSO GONZÁLEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
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7. Calcular las siguientes potencias de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado (en
ambos casos no vale utilizar la calculadora ):
Pasando a forma de raíz.
Reemplazando la base por su descomposición en factores primos. (Véase el 1
er
ejemplo)
a) 4 4 2
1 / 2
, o bien
1/ 2 1/ 2 2
4 2 2 b)^^125
1/
c) 625
1/
= d) 8
2/
e) 64
5/
= f) 81
3/
g) 8
-2/
= h) 27
-1/
Radicales equivalentes. Simplificación y comparación de radicales:
1. Simplificar los siguientes radicales, y comprobar el resultado con la calculadora cuando proceda (véase el 1
er
ejemplo):
a) 3 3 3
4 2 4 / 2 2 / 2
b)^
8 4
5 c)^
9
27 d)^
5 1024
e)
6
8 f)^
9
64 g)^
8
81 h)^
12 9
x
i)
12 8
x j)
5 10
x k)
4 9 x (^) l) 6 2 4
a b
m)
10 4 6
a b n)^
6 3
5 o)^
15 12
2 p)^
10 8
a
q)
12 4 8 4
x y z r)^
2 2 2
8 x y s)
5 10 15 12
a b c
t)
6 3
4 a b u)^6 0,000512
Sol :^ 0,08
v)^4 0,4
Sol : 0,
9. Decir si los siguientes radicales son equivalentes (y comprobar después con la calculadora):
a) 5 ,
4
6
8
625 (Soluc: SÍ)
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ALFONSO GONZÁLEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
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2 2 6 5 6 5
(Soluc: 1)
40) (^) 7 3 5 21
2
41) (^) 3 8 2 2 2 8 3 2
(Soluc: 16)
42) (^) 2 3 3 2
2
(Soluc:^30 12 6 )
43) (^) 2 3 5 3 2
2 5 1
Racionalización:
4. Racionalizar denominadores, y simplificar (véase el 1
er
ejemplo):
(Soluc:
(Soluc: 6
53
(Soluc:
(Soluc:
(Soluc:
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(Soluc:
2 7 14
7
(Soluc:
2 1
(Soluc:
(Soluc:
(Soluc:
(Soluc: 3 2 )
(Soluc:
(Soluc:
(Soluc:
2
(Soluc:
(Soluc:
3 1 =
2
(Soluc:
2 1 2 1 = 2
(Soluc: 2 2 2 )
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(Soluc:
(Soluc: 13 6 3 )
(Soluc: 2 )
(Soluc: 3
(Soluc:
(Soluc: 4 3 4 2 )
(Soluc: 2
(Soluc: 3 6 )
(Soluc: 2
(Soluc: 4 3 )
(Soluc: 2 3 )
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES IRRACIONALES
Ecuaciones irracionales sencillas
Las ecuaciones irracionales son aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.
Para resolverla, seguimos los siguientes pasos:
1) Se aísla un radical en uno de los miembros, pasando los restantes términos al otro miembro.
2) Se elevan al cuadrado los dos miembros.
3) Si existe todavía algún radical, se vuelve a repetir los pasos 1 y 2.
4) Se resuelve la ecuación racional obtenida y se comprueba cuáles de las soluciones cumplen la
ecuación dada.
Ejemplos:
a x + 2 = 3
o Elevamos al cuadrado ambos miembros: (^) ( )
2
x + 2 = 9
o Efectuamos las operaciones : x + 2 = 9
o Resolvemos la ecuación: x = 7
o Comprobamos las soluciones:
Si x = 7 ⇒ 7 + 2 = 3 ⇒ x = 7 es solución
b) ) x + 1 + x −2 = 3
o Se despeja uno de los dos radicales: x + 1 = 5 −x
o Elevamos al cuadrado ambos miembros: (^) ( ) ( )
(^2 )
x + 1 = 5 −x
o Efectuamos las operaciones : x + 1 = 25 + x
2
o Resolvemos la ecuación: x
2
2 1
2
11 11 4· 24 11 5 x 8
x
2 2 x 3
o Comprobamos la solución:
Si x = 8 ⇒ 8 + 1 + 3 − 2 = 3 ⇒ x = 8 no es solución
Si x = 3 ⇒ 3 + 1 + 3 − 2 = 3 ⇒ x = 3 es solución
Luego la solución de la ecuación es x = 3
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Soluciones :
1) x −1 = 3
x – 1 = 9 ⇒ x = 10
Comprobación:
10 −1 = 3 ⇒ x = 10 solución
2) x +4 = 7
x + 4 = 49 ⇒ x = 45
Comprobación:
45 + 4 = 7⇒ x = 45 solución
3) 7x +2 = 4
7x + 2 = 16 ⇒ 7x = 14 ⇒ x = 2
Comprobación: 14 + 4 = 4⇒ x = 2 solución
4) x + 1 = 2x − 4
x + 1 = (2x – 4)
2 ⇒ x + 1 = 4x
2
2
(^2 1 )
2 2
x x 3 17 17 4·4·15 (^17 7 8 ) x 2·4 8 17 7 10 5 x x 8 8 4
Comprobación:
o Si x = 3 ⇒ 3 + 1 = 6 − 4 ⇒ x = 3 solución
o Si
x 4
= ⇒
5) 3 x − 2 + 2 = 2 x − 6
3 x − 2 = 2 x − 8 ⇒ 3x – 2 = (2x – 8)
2 ⇒ 3x – 2 = 4x
2
2
2 1 1
4 2
x 6 x 6 35 35 4·4·66 (^35 13 ) x 2·4 8 35 13 22 11 x x 8 8 4
Comprobación:
o Si x = 6 ⇒ 18 − 2 + 2 = 12 − 6 ⇒ 4 + 2 = 6 ⇒ x = 6 solución
o Si
x 4
= ⇒
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6) x + 7 = 2x − 1
x + 7 = (2x – 1)
2 ⇒ x + 7 = 4x
2
2
(^2 1 )
2 2
x 2 x 2 5 5 4·4·( 6) (^5 11 ) x 2·4 8 5 11 6 3 x x 8 8 4
Comprobación:
o Si x = 2 ⇒ 2 + 7 = 4 − 1 ⇒ 3 = 3 ⇒ x = 2 solución
o Si
x 4
= − ⇒
7) 3x + 1 − 2 = x − 3
3x + 1 − 2 = x − 3 ⇒ 3x + 1 = x − 1 ⇒ (x – 1)
2 = 3x + 1 ⇒ x
2
2
x(x – 5) = 0 ⇒ x = 0, x = 5
Comprobación:
o Si x = 0 ⇒ 1 −^ 2 = 0^ −^3
o Si x = 5 ⇒ 15 +^1 −^2 =^5 −^3 ⇒^4 −^2 =^2 ⇒ x = 5 solución
8) 4x + 4 − x = 2x − 5
4x + 4 − x = 2x − 5 ⇒ 4x + 4 = 3x − 5 ⇒ (3x – 5)
2 = 4x + 4 ⇒ 9x
2
2
(^2 1 )
2
x x 3 34 34 4 · 9 · 21 (^34 20 ) x 2·9 18 14 7 x 18 9
Comprobación:
o Si x = 3 ⇒ 4 · 3 + 4 − 3 = 6 − 5 ⇒ 4 – 3 = 1 ⇒ x = 3 solución
o Si x = 7/9 ⇒
2
x − 25 −x = 1
2 x − 1 = 25 − x ⇒ (x – 1)
2 = 25 – x
2 ⇒ x
2
2 ⇒ 2x
2
2
(^2 1 )
2 2
x 4 x 4 1 1 4·1·( 12) (^1 7 ) x 2·1 2 1 7 x 3 x 3 2
Comprobación:
o Si x = 4 ⇒ 4 − 25 − 16 = 1 ⇒ 4 − 3 = 1 ⇒ x = 4 solución
o Si x = − 3 ⇒ − 3 − 25 − 9 = 1 ⇒ − 3 − 4 ≠ 1
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x 3 x
x 3
2
x + 3 + x + 3x = 2 ⇒
2
x + 3x = − − 1 x⇒ x
2
+ 3x = 1 + x
2
+ 2x ⇒ x = 1
Comprobación:
Si x = 1 ⇒
⇒ x = 1 solución
x 20 x
x 20
2
x − 20 + x − 20x = 40 ⇒
2
x − 20x = 60 − x⇒ x
2
2
⇒ 3600 = 100x ⇒ x = 36
Comprobación:
Si x = 36 ⇒
2 x 5 x
5 x 2 x
4x = 25 – x ⇒ 5x = 25 ⇒ x = 5
Comprobación:
Si x = 5 ⇒
x 1 x 1
x 3 x 1
x – 1 = x
2
2
(^2 1 )
2 2
x 4 x 4 5 5 4·1· 4 (^5 3 ) x 2·1 2 5 3 x 1 x 1 2
Comprobación:
Si x = 4 ⇒
Si x = 1 ⇒
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