Distribuciones de Probabilidad Discretas: Bernoulli, Binomial y Poisson, Diapositivas de Probabilidad

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UNIDAD 4.

DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD DISCRETAS

DRA. ROSARIO ALDANA FRANCO

CONTENIDOS

4. Distribuciones de

probabilidad discretas

4.1 Introducción

4.2 Distribución uniforme discreta

4.3 Distribución binomial y

multinomial

4.4 Distribución hipergeométrica

4.5 Distribución Binomial negativa y

geométrica

4.6 Distribución de Poisson

Distribución de Bernoulli

 (^) O distribución dicotómica, nombrada así por el matemático y científico suizo Jako b Bernoulli,  (^) Es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q=1-p)  (^) x es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria x  (^) La función de probabilidad es:  (^) Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo , y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

4.2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME

DISCRETA

 (^) Es el resultado de una experiencia aleatoria puede ser un conjunto finito de n posibles resultados, todos ellos igualmente probables.  (^) Ejemplo: puntuación en el lanzamiento de un dado regular. Esta variable toma seis valores posibles, todos con la misma probabilidad p = 1/6. La función de densidad de esta variable será: f(k) = P [ X = k ] = 1/ k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Función de probabilidad uniforme

discreta

 (^) La variable X puede tomar n ( k = 1 , 2 , ..., n ) valores, todos con igual probabilidad, su función de densidad será: f ( k ) = P [ X = k ] = 1/ n k = 1, 2, ..., n  (^) Media  (^) Varianza

Función de distribución binomial

 (^) Ejemplo:  (^) Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Distribución binomial

 (^) Función de probabilidad  (^) Media  (^) Varianza Distribución binomial

Función multinomial

 (^) Ejemplo: Se lanza al aire un dado normal, 5 veces, determine la probabilidad de que aparezca dos números uno, dos números tres y un número cinco. Sustituyendo:

Características:

a) Al llevar a cabo un

experimento con esta

distribución se esperan más de

dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades

asociadas a cada uno de los

resultados son constantes.

c) Cada uno de los ensayos o

repeticiones del experimento son

independientes.

d) El número de repeticiones

del experimento, n es constante.

4.4 Distribución hipergeométrica  (^) Es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo.  (^) Función de probabilidad Donde: N es el tamaño de la población, n es el tamaño de la muestra extraída d elementos que pertenecen a la categoría deseada x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.  (^) La notación:  (^) Es el coeficiente binomial o el número de combinaciones posibles al seleccionar x de un total a  (^) La media es:  (^) La Varianza:

4.4 Distribución hipergeométrica Usando Sustituyo:  (^) Ejemplo  (^) En la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?  (^) N = 10 objetos en total  (^) a = 3 objetos defectuosos  (^) n = 4 objetos seleccionados en muestra  (^) x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

 (^) La probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes  (^) Las formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos: Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes, la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:

Distribución binomial negativa

Características:

• (^) El proceso consta de un número no definido de pruebas separadas o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga un determinado número de resultados favorables K · Cada prueba puede dar dos resultados posibles mutuamente excluyentes A y no A · La probabilidad de obtener un resultado A en cada una de las pruebas es p siendo la probabilidad de no A , q. Lo que nos lleva a que p+q= · Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas. Todas las pruebas son independientes. Si se trata de un experimento de extracción éste se llevará cabo con devolución del individuo extraído, a no ser que se trate de una población en la que el número de individuos tenga de carácter infinito. · (Derivación de la distribución) Si, en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria x sea "el número de pruebas necesarias para conseguir K éxitos o resultados A " ; entonces la variable aleatoria x seguirá una distribución binomial negativa con parámetros p y k La variable aleatoria x podrá tomar sólo valores superiores a k

 (^) Función de probabilidad  (^) Para enteros mayores o iguales que k  (^) La media si sólo se consideran los fracasos  (^) La media si se consideran los k-éxitos  (^) Varianza en ambos casos