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Una introducción a la probabilidad y el valor esperado, conceptos fundamentales en la teoría de la probabilidad. Se exploran los conceptos de conjuntos, operaciones con conjuntos, permutaciones y combinaciones, eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes, eventos independientes y dependientes, probabilidad condicional y el teorema de bayes. El documento incluye ejemplos prácticos para ilustrar los conceptos y fórmulas.
Tipo: Resúmenes
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Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su cardinalidad es uno (1). Ejemplo: D={*/x sea vocal de la palabra "pez"} Operaciones con conjuntos Unión de conjuntos: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x € A o x € B} Intersección de conjuntos: La intersección es el conjunto formado por los elementos que son comunes entre dos o más conjuntos dados. Se denota por A∩B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir: A∩ B = { x / x € A y x € B }
Una permutación de un conjunto de elementos, es una disposición de dichos elementos teniendo en cuenta el orden. Una combinación de un conjunto de elementos, es una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden. La diferencia entre permutaciones y combinaciones, es que en las permutaciones importa el orden de los elementos, mientras que en las combinaciones no importa el orden en que se disponen los elementos (solo importa su presencia). Permutaciones: Permutaciones Una permutación de un conjunto de elementos, es una disposición de dichos elementos teniendo en cuenta el orden. El número de permutaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se calcula con la fórmula: Ejemplo 1: Eduardo, Carlos y Sergio se han presentado a un concurso de pintura. El concurso otorga $200 al primer lugar y $100 al segundo. ¿De cuántas formas se pueden repartir los premios de primer y segundo lugar?
Solución: En este caso, si importa el orden, ya que no es lo mismo quedar en primer lugar que en segundo, además, los premios son diferentes. Por ejemplo, un arreglo o disposición, es que Carlos ocupe el primer lugar y Sergio el segundo. Otro arreglo, sería que Sergio ocupe el primer lugar y Eduardo el segundo. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la fórmula: Combinaciones: Una combinación de un conjunto de elementos, es una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden. El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se calcula con la fórmula: Ejemplo 2: Un chef va a preparar una ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se puede preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes? Solución: En este caso, no importa el orden en que se tomen los ingredientes para la ensalada, pues da igual si es una ensalada de tomate con zanahoria, que una ensalada de zanahoria con tomate, ya que al final, el chef mezclará los dos ingredientes. Un arreglo podría ser zanahoria y tomate, otro arreglo podría ser tomate y papa, otro arreglo podría ser papa y brócoli. El problema nos indica que solo se pueden usar 2 ingredientes en la ensalada. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la formula:
deban ocurrir estos eventos en forma simultánea. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas. Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos. Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles. La fórmula es P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B). Ejemplo: 1.- Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5? Solución: Como son 19 números, la cantidad de elementos del espacio muestral es #E = 19. Sean los eventos: A ≡Obtener un número múltiplos de 3 B ≡Obtener un número múltiplos de 5. Si podemos identificar la cantidad de elementos del espacio muestral A∪Blo resolvemos directamente como sigue: A∪B = {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18} ⇒# A∪B = 8 ⇒P(A∪B)= #(A ∪B)/ #E =8/
Eventos independientes: Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales. P ( A y B ) = P ( A ) · P ( B ) Ejemplo: Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes. P (azul luego verde) = P (azul) · P (verde)
Eventos dependientes: Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales: P ( A y B ) = P ( A ) · P ( B ) Ejemplo: Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes. P (azul luego verde) = P (azul) · P (verde) Probabilidad condicional: Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: P(AlB) La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad. Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.
El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso. Puntos clave
Vamos a hacer una prueba y vamos a tirar una moneda 10 veces. Supongamos que la moneda es perfecta. Tiradas y resultado:
José Francisco López, 12 de octubre, 2017, recuperado el 06 de octubre de 2024. Esperanza matemática: Qué es y ejemplos prácticos. Economipedia.com Fuente: https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html José Francisco López, 21 de febrero, 2018, recuperado el 06 de octubre de 2024. Teorema de Bayes: Qué es, fórmula y ejemplos. Economipedia.com Fuente: https://economipedia.com/definiciones/teorema-de-bayes.html Eli Zurita, 2 de noviembre de 2014, recuperado el 6 de octubre de 2024. Probabilidad y estadística: teoría de conjuntos. Fuente: https://economipedia.com/definiciones/teorema-de-bayes.html INDEPENDIENTES. (2018, 6 marzo). misitio. Recuperado 06de octubre de 2024. Fuente: https://nikobosk2017.wixsite.com/misitio/post/eventos-mutuamente-excluyentes- no-excluyentes-dependientes-e-independientes.
