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Un análisis detallado de la modelación matemática de circuitos eléctricos, utilizando las leyes de kirchhoff para determinar las corrientes en un circuito rlc. Se explica el comportamiento dinámico de los inductores y se analiza la respuesta transitoria y permanente del sistema. El documento incluye un problema práctico resuelto, mostrando la aplicación de los conceptos teóricos.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Ecuaciones Diferenciales
Los circuitos eléctricos que incluyen inductancias presentan un comportamiento dinámico debido a la propiedad de almacenamiento de energía de estos elementos. Un inductor resiste cambios en la corriente a través de él, lo que genera una respuesta transitoria en los circuitos eléctricos. Para analizar estos circuitos, se utilizan herramientas como las Leyes de Kirchhoff, la impedancia de los inductores en el dominio de la frecuencia y la respuesta natural y forzada del sistema. Estas leyes se refieren en su honor como ley de la corriente de Kirchhoff (KCL, por sus siglas en inglés), y ley del voltaje de Kirchhoff (KVL). Las leyes de Kirchhoff son consecuencia de la carga y la conservación de la energía. Ley de la corriente de Kirchhoff (KCL): La suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero en todo instante. La frase suma algebraica indica que se deben tomar en cuenta las direcciones de referencia al agregar las corrientes de los elementos conectados a un nodo en particular. Una manera de tomar en cuenta las direcciones de referencia es utilizar un signo más cuando la corriente se dirige hacia fuera del nodo, y un signo menos cuando la corriente se dirige hacia el nodo. Según la ley de la corriente de Kirchhoff, la suma algebraica de las corrientes de los elementos i1, i2, i3 e i4 debe ser cero. Las corrientes i2 e i3 se dirigen hacia fuera del nodo a, por lo cual usaremos un signo más para i2 e i3. Por el contrario, las corrientes i1 e i4 se dirigen al nodo a, por lo que usaremos el signo menos para i1 e i4. La ecuación de la KCL para el nodo a de la figura 3.2-1c es
Otra alternativa para obtener la suma algebraica de las corrientes en un nodo es establecer que la suma de todas las corrientes que se alejan de nodo es igual a la suma de todas las corrientes que se dirigen a ese nodo. Con esta técnica encontramos que la ecuación de la KCL para el nodo de la figura 3.2.1 es i2 + i3 = i1 + i4 (3.2-2) Desde luego, las ecuaciones 3.2-1 y 3.2-2 Son equivalentes. Del mismo modo, la ecuación de la ley de la corriente de Kirchhoff para el nodo b de la figura 3.2- 1c es i1 = i2 + i3 + i Ley del voltaje de Kirchhoff (KVL): la suma algebraica de los voltajes en torno a cualquier circuito cerrado en un circuito es idéntica a cero en todo momento. La frase suma algebraica indica que se debe tener en cuenta la polaridad al agregar los voltajes de los elementos que comprenden un circuito cerrado. Una forma de tomar en cuenta la polaridad es moverse en torno al circuito cerrado en el sentido de las manecillas del reloj mientras se observan las polaridades de los voltajes del elemento. El voltaje se escribe con un signo más cuando encontramos el signo 2 de la polaridad del voltaje antes del signo 1. Por el contrario, el voltaje se escribe con un signo menos cuando encontramos el signo 2 de la polaridad del voltaje antes del signo 1. Por ejemplo, considere el circuito que se muestra en la figura 3.2-1c. Los elementos 3, 4, 5 y 6, comprenden un circuito cerrado del circuito. Según la ley del voltaje de Kirchhoff, la suma algebraica de los voltajes de los elementos v3, v4, v5 y v6 debe ser cero. Al movernos en torno al circuito cerrado en el sentido de las manecillas del reloj, encontramos el signo 1 de v4 antes del signo 2; el signo 2 de v5 antes del signo 1; el signo 2 de v6 antes del signo 1 y el signo 2 de v3 antes del signo 1. En consecuencia, utilizamos un signo menos para v3, v5 y v6, y un signo más para v4. La ecuación de la KCL para este circuito cerrado de la figura 3.2-1c es v4 – v5 – v6 – v3 = 0 Del mismo modo, la ecuación de la ley del voltaje de Kirchhoff para el circuito cerrado qie consta de los elementos 1, 4, 5 y 6 es v4 - v5 - v6 + v1 = 0 La ecuación de la Ley del Voltaje de Kirchhoff para el circuito cerrado que consta de los elementos 1 y 2 es
Figura 2.1 Modelo matemático por el autor
A partir del desarrollo de la práctica, logramos modelar y resolver matemáticamente el comportamiento de una red RLC, obteniendo expresiones analíticas que describen la tensión en el circuito. Calculamos que la combinación de resistencia, inductancia y capacitancia influye directamente en la respuesta transitoria y en la estabilidad del sistema. El análisis permitió entender cómo varía la tensión a lo largo del tiempo y cómo las condiciones iniciales afectan la solución.
[1] Circuitos eléctricos , 8a^ ed. México: Alfaomega, 2011. Accedido el 1 de febrero de 2025. [En línea]. Disponible: https://gabriel192blog.wordpress.com/wp- content/uploads/2018/08/circuitos-electricos-8a-ed-compressed-compressed.pdf [2] Análisis de circuitos en ingeniería , 8a^ ed. México: McGraw-Hill, 2012. [3] E. Tippens, Física conceptos y aplicaciones, 7a ed. México: McGRAW HILL/INTERAMERICANA, 2001.
