Limites y continuidad de una función de varias variables, Guías, Proyectos, Investigaciones de Microbiología

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4.3 limite y continuidad de una función de varias variables Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima también a otro número. En una función de dos variables del tipo y = f(x), cuando x se aproxima al valor de a, la función se acerca al valor L que corresponde al límite. La notación es así: Cuando x tiende al valor de c, la función f tiende al valor de L. Algunos limites son obvios y corresponden al mismo valor de c evaluado en la función. Sin embargo, los límites no se usan en casos obvios sino en funciones más complejas donde el valor de una función puede ser desconocido o inaccesible. No se ahondará demasiado en este asunto. En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función f tiende a un valor L. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a los que se aproximan todas las variables independientes que componen a la función. Por ejemplo, la función anterior es una función cualquiera de dos variables. En este caso, es el límite de dicha función cuando tanto x como y (variables independientes) tienden a 0. El valor de las tendencias puede cambiar, pero es necesario considerar a ambas variables. Al igual que funciones de una variable independiente, los límites pueden existir o pueden no existir. En caso de que existan, puede ser que el procedimiento para encontrar el valor del límite no sea tan directo. Esto quiere decir, que, al evaluar directamente los valores de las variables en la función, podría haber una indefinición matemática como 0/0. En tal situación, un procedimiento algebraico para simplificar la función podría ser suficiente, pero si aun así el resultado se indefine o la función es irreducible, se necesita un procedimiento especial. Se tiene el límite de la función:

Pues resulta que en funciones de varias variables, la definición de continuidad es igual, pero aplica no para un valor de una sola variable, sino para un punto P( x, y ) sobre el cual quiera evaluarse la continuidad. Solo es necesario encontrar el límite, evaluar la función en el mismo punto y comparar valores.