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Estimación del VaR y el EVaR: Métodos y Aplicaciones, Esquemas y mapas conceptuales de Derecho Cambiario

Cuatro procedimientos para estimar el var (valor de riesgo) y el evar (valor de riesgo extremo) en un portafolio de inversiones. Se explican los métodos de varianza-covarianza, histórico, integración monte carlo y la teoría del valor extremo (tve). Además, se presentan procedimientos para calcular intervalos de confianza para ambas medidas de riesgo. El documento también incluye ejemplos de medidas de riesgo y una introducción al concepto.

Tipo: Esquemas y mapas conceptuales

2023/2024

Subido el 22/02/2024

wendy-hernandez-8en
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¡Descarga Estimación del VaR y el EVaR: Métodos y Aplicaciones y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Derecho Cambiario solo en Docsity!

ANTOLOGIA

ESTIMACIO
N DEL RIESGO
EN PORTAFOLIOS DE INVERSIO
N
  • Introduccio´n Indice general - 1.1. Portafolio de inversi´on - 1.1.1. Riesgo en un portafolio...................................................................... - 1.1.2. Acciones................................................................................................ - 1.1.3. Bonos.................................................................................................... - 1.1.4. Tipo de cambio.............................................................................. - 1.2. Medidas de riesgo coherentes......................................................................... - 1.3. Ejemplos de medidas de riesgo...................................................................... - 1.3.1. El modelo de Markowitz................................................................ - 1.3.2. Inclusi´on de un activo libre de riesgo - 1.3.3. Modelo de la Valuaci´on de Activos de Capital (CAPM) - 1.3.4. Valor en Riesgo VaR...................................................................... - 1.4. Beneficios del manejo de riesgo......................................................................
    1. Estimaci´on del VaR y el EVaR
      • 2.1. Estimaci´on puntual del VaR y el EVaR - 2.1.1. M´etodo de varianza-covarianza - 2.1.2. M´etodo hist´orico - 2.1.3. Aproximaci´on Monte Carlo - 2.1.4. Teor´ıa de Valores Extremos..........................................................
      • 2.2. Estimaci´on por intervalos de confianza - 2.2.1. M´etodos bootstrap - 2.2.2. Otros m´etodos para calcular intervalos de confianza
    1. Aplicacion a portafolios de inversi´on INDICE GENERAL
      • 3.1. Portafolio de acciones...................................................................................... - 3.1.1. Modelo de Markowitz......................................................................... - dent...................................................................................................... 3.1.2. Validaci´on del supuesto de normalidad y distribuci´on t de Stu- - 3.1.3. Estimaci´on del VaR y el EVaR
      • 3.2. Portafolio de acciones y tipo de cambio.................................................... - 3.2.1. Estimaci´on del VaR y el EVaR
      • 3.3. Portafolio de bonos.......................................................................................... - dent...................................................................................................... 3.3.1. Validacion del supuesto de normalidad y distribuci´on t de Stu- - 3.3.2. Estimaci´on del VaR y el EVaR
  • Conclusiones

Cap´ıtulo 1

Introduccio

´n

Los inversionistas adquieren instrumentos financieros con el prop´osito de obtener

ga- nancias a trav´es de ellos en un horizonte de tiempo determinado y anticiparse

ante eventos que lo afecten desde un punto de vista financiero.

El t´ermino inversionista se refiere a la persona o empresa que compra instrumentos

financie- ros y especula la magnitud de la ganancia o p´erdida obtenida en ese

horizonte de tiempo. En la mayorıa de los instrumentos financieros existe una

incertidumbre en sus precios en el horizonte de inter´es. Debido a ello, el

inversionista corre el riesgo de obtener una p´erdida. El riesgo, desde el punto de

vista financiero, se define como la exposici´on ante posibles eventos que impactan

de manera adversa en el capital que posee un individuo. Existen diversos tipos de

riesgo, entre otros, de mercado, cr´edito y liquidez.

El riesgo que se analiza es el de mercado, puesto que los activos con los que se

trabaja son aquellos cuyas cotizaciones est´an disponibles en algunas

instituciones financieras. Algunos ejemplos son la Bolsa Mexicana de Va- lores

(BMV) y el Banco de M´exico (BANXICO).

Se han propuesto varias formas de medir el riesgo. Una de las finalidades de

medir el riesgo, por mencionar una de ellas, es que por medio de la medida de

riesgo el inversionista puede saber el capital econ´omico que necesita para

compensar una p´erdida de gran magnitud.

El t´ermino capital se refiere al monto o valor total de todos los instrumentos

financieros que el inversionista posee. Se explican los beneficios de medir el riesgo.

La medici´on del riesgo puede ser tanto para un s´olo activo o un conjunto de

activos financieros. A este conjunto de activos financieros se le llama portafolio de

inversi´on. La complejidad de la evaluacion de los portafolios recae en la

estructura de dependencia de los precios de los activos. En algunos casos esta

estructura se des- conoce. Una medida de riesgo ayuda a comparar distintas

alternativas de inversi´on y

a tomar la decisi´on con base en ellas. Cada una de las medidas de riesgo que se

han propuesto asume ciertos supuestos bajo los cuales la medida produce

estimaciones consistentes, de lo contrario, las inferencias pueden no ser adecuadas.

Algunas propuestas para medir el riesgo son por ejemplo los trabajos de Harry Mar-

kowitz quien fue el primero en proponer que la volatilidad de un portafolio es una

buena medida de riesgo. Sharpe, Lintner y Mossin desarrollaron el Modelo de Valua- ci

´on de Activos de Capital (CAPM, por sus siglas en ingl´es), el cual sigue la l´ogica

del modelo de media-varianza de Markowitz (ver Luenberger, 1998 [5]). A diferencia

de este u´ltimo, el modelo CAPM asume que debe tomarse en cuenta el

comportamiento del mercado. La medida de riesgo que maneja este m´etodo es el

coeficiente beta que a su vez mide la influencia que tienen los cambios en el mercado

en los rendimientos de un activo. Los modelos anteriores estiman el riesgo en t

´erminos de las varianzas de los rendimientos de los activos y del mercado. Sin

embargo, al medir el riesgo por medio de la varianza impl´ıcitamente se asume que

existe el segundo momento central de la distribuci´on de la variable en cuesti´on.

Debido a que los rendimientos de los activos, en la pr´actica exhiben colas

pesadas, el segundo momento no nece- sariamente existe. Adem´as, asumen que

la distribuci´on que siguen los rendimientos es sim´etrica, lo cual en la realidad no

se cumple. Por lo tanto, el modelo de media- varianza y el CAPM no miden

adecuadamente el riesgo (ver McNeil et. al., 2005 [6]).

La siguiente medida de riesgo que naci´o en el siglo pasado, y que au´n se usa hoy

en d´ıa, es el Valor en Riesgo ( Value at Risk ) (VaR). El VaR es la p´erdida m

´axima que se obtiene al invertir en un activo o portafolio de inversi´on a un nivel

de confianza y en un horizonte de tiempo dados. En el Cap´ıtulo 1 se mencionan las

cualidades que posee el VaR. Hoy en d´ıa es una medida de riesgo empleada en

lugar de la desviaci´on est´andar y el coeficiente beta. No obstante, no posee la

propiedad de subaditividad. Otra medida propuesta es el Valor en Riesgo

Condicionado (CVaR) o Riesgo Extre- mo (EVaR), el cual subsana la deficiencia del

VaR en cuanto a la subaditividad. De todas las medidas que se han propuesto para

medir el riesgo de mercado, se eligieron en este trabajo el Valor en Riesgo (VaR) y el

Valor en Riesgo Condicionado o Ex- tremo (EVaR) para describir el riesgo de

mercado al que se expone el inversionista al invertir en un portafolio. El motivo

por el cual se estima el riesgo mediante el VaR es que ´este es muy utilizado por las

empresas y corporaciones en todo el mundo para evaluar sus portafolios y con base

en ello se determina el capital econ´omico que requieren para cubrirse ante ciertos

escenarios. El EVaR se eligi´o debido a que es una medida de riesgo coherente y

aunque no es muy utilizada en la pr´actica es m´as confiable desde el punto de

vista financiero. Las estimaciones del VaR y el EVaR se obtienen a partir de la

distribuci´on de las p´erdidas en el valor del portafolio, la

la TVE se recurre al m´etodo de corridas con la cual se obtiene una muestra de

va- lores extremos independientes para estimar los par´ametros de la distribuci´on te

´orica.

Contenido

El presente trabajo se conforma de la siguiente manera: en el Cap´ıtulo 1 se

explican conceptos b´asicos de finanzas sobre acciones, tasas de cambio, bonos,

medidas de riesgo y ejemplos de estas medidas. En el Cap´ıtulo 2 se describen

m´etodos para estimar el VaR y el EVaR puntualmente y por intervalos de

confianza, los supuestos que requiere cada procedimiento, as´ı como sus

limitaciones. En el Cap´ıtulo 3, las metodolog´ıas del Cap´ıtulo 2 se aplican a tres

portafolios de inversi´on y se validan los supuestos necesarios de cada

metodolog´ıa. Todo ello se detalla en el cap´ıtulo 3. En el Anexo se presentan las

pruebas de bondad de ajuste. Finalmente, se muestran las conclusiones y la

bibliograf´ıa utilizada.

1.1. Portafolio de inversi´on

Antes de definir qu´e es un portafolio de inversi´on primero se explica de

manera general, los conceptos de acciones y bonos. Una acci´on es un t´ıtulo

de propiedad de cierta porci´on de la empresa que la emite. Existen dos tipos

de acciones: las preferentes y las comunes. Los poseedores de las acciones

preferentes reciben un pago fijo (un beneficio que proviene de los ingresos de la

empresa) periodicamente. Quienes tienen acciones comunes reciben un pago variable

despu´es de los accionistas preferentes. Por otra parte, los bonos son t´ıtulos de deuda

emitidos por entidades gubernamentales y empresas hacia inversionistas. El

duen˜o del bono recibe pagos fijos (cupones) en cada periodo de tiempo antes y en

la fecha de vencimiento del bono. Un tipo especial de bonos es el bono cup´on cero

con el cual solamente se recibe un pago al vencimiento. Un portafolio de inversi´on

es un conjunto de activos compuesto por acciones, bonos y opciones, entre otros, con

los cuales se busca tener un mayor rendimiento y reducir el riesgo de exponerse

ante una p´erdida, en particular, de

1.1. PORTAFOLIO DE INVERSIO
N

aquellas que tengan una magnitud grande. A continuaci´on se explican el

concepto de riesgo y las diversas formas en que ´este se mide. Posteriormente se

explica m´as acerca de las acciones, los bonos y el tipo de cambio.

1.1.1. Riesgo en un portafolio

La primera pregunta que uno se hace es acerca del concepto de riesgo. El riesgo,

en finanzas, es la exposici´on ante posibles eventos que ocurrir´an y repercutir

´an de manera adversa en los precios de los activos que integran al portafolio de

inversi´on. El siguiente concepto, el cual est´a relacionado con el primero, es sobre

un factor de riesgo. Un factor de riesgo es aquella variable o elemento del cual

depende que un instrumento financiero tenga un cambio en su valor. Cada

instrumento financiero tiene su propio factor de riesgo. Por ejemplo, en las

acciones el riesgo est´a en sus precios, en los bonos recae en los cambios en su

rendimiento al vencimiento, en los tipos de cambio el factor son ellos mismos. Debido

a que son factores no deterministas se consideran como variables aleatorias (v. a.).

Por medio de ciertas metodolog´ıas se obtienen sus estimaciones. El principal

inter´es de un inversionista es conocer el peor escenario posible en el que se podr

´ıa encontrar si invierte en un activo riesgoso en un horizonte de tiempo. En un

portafolio de inversi´on ocurre cualquiera de los siguientes casos: el primer caso

es que el valor de un activo X se incremente y que eso impacte en el aumento del

valor de otro activo Y en la misma o en diferente magnitud (correlaci´on positiva) o

que ambos valores disminuyan. El segundo caso es que mientras el valor del activo

X aumente, el del activo Y disminuya, o viceversa (correlaci´on negativa). El tercer

caso es cuando el valor del activo X no impacta en el activo Y (correlaci´on nula).

Este u´ltimo es el menos interesante debido a que cuando se invierte en una

cantidad de instrumentos se espera que al obtener p´erdidas en algunos

instrumentos exista una compensaci´on con las ganancias logradas por los dem

´as activos. Asimismo, si no estuvieran correlacionadas ser´ıa equivalente a invertir

en un activo por separado y el estudio se simplificar´ıa al caso en que s

´olamente se tenga un activo. Como se coment´o anteriormente, al invertir en

un activo hay de por medio un factor de riesgo que hace que ´este modifique su

valor. En el caso de un portafolio, ya que puede estar compuesto por diversos

instrumentos puede llegar a haber m´as de un factor de riesgo y adem´as,

algunos pueden ser m´as riesgosos que otros. En el momento en que se quiere

invertir en aquellos activos se sabe que se puede hacer de una infinidad de formas.

Sin embargo, la forma interesante es aquella en la que se obtenga una mayor

ganancia a un menor riesgo. Lo interesante de trabajar con un portafolio

diversificado es la dificultad de conocer la estructura

vt

n

i

p

1.1. PORTAFOLIO DE INVERSIO
N

Sea wi =

mi vi,t

la proporci´on de capital invertida en la acci´on i. En el presente

trabajo se asume que los pesos son constantes en el tiempo. Claramente:

n

wi = 1_._ (1.3)

i =

Algunas de las proporciones w i

J s pueden ser negativas si se permiten ventas en

corto. Una venta en corto consiste en pedir prestado cierta cantidad de dinero para

comprar un activo y posteriormente pagar lo que se recibi´o. Por ello, su peso

(o proporci´on en el portafolio) se refleja con signo negativo. Sea Ri,t el retorno del

activo i. El rendimiento del portafolio Rt +1 est´a dado por:

R =
V

t +

— V

t

=

n

m i

( V

i,t +

− V

i,t

i =

= (^) m

( V

i,t +1

V

i,t

) V

i,t

=

w R.

t + t

V

i

i =

VtV i,t^ i = i i,t +

Donde

R

i,t +1 =^

V

i,t +

− V

i,t

V

i,t

En Luenberger (1998) [5] se explica con m´as detalle el modelo de riesgo-

rendimiento. Dadas las definiciones anteriores se procede a explicar el siguiente

modelo: se asume que existen n activos A 1 , , An cuyos rendimientos son R 1 , , Rn ,

respectivamen- te. En la teor´ıa de Markowitz se asume que tanto la media como la

varianza de los rendimientos de cada acci´on son conocidas, o en su defecto

estimadas. Sean E ( Ri ) y σ

2 , la media y varianza del activo i , y σij la covarianza de

los activos i y j. De las propiedades del operador valor esperado se obtiene que:

n

E [ Rp ] = wiE [ Ri ] , (1.4)

i =

n n

σ

2

wiwjσij. (1.5)

i =1 j =

n

V

Diversificaci´on

Los portafolios con pocos activos pueden estar sujetos a un alto grado de riesgo.

El prop´osito de tener varios activos es que cuando se obtengan p´erdidas de

algu- nos activos del portafolio se compensen con las ganancias de los dem´as

activos. Se han propuesto distintas formas de medir el riesgo. Una forma de

medir el riesgo es por medio de la varianza del portafolio. Es posible reducir la

varianza al an˜adir otros activos si las covarianzas entre ellos son negativas. Como se

puede ver en las ecuaciones (1.4) y (1.5), dados los pesos w 1 , , wn , la media y la

varianza de cada activo (en la pr´actica ambos se reemplazan por sus valores

estimados) se obtienen la desviaci´on est´andar y la media del rendimiento del

portafolio. E

stos se pueden graficar en un diagrama riesgo-rendimiento como se

ilustra en la Figura 1.1 (ver Luenberger 1998 [5]).

Figura 1.1: Diagrama de riesgo-rendimiento donde se grafica el rendimiento esperado

de un portafolio en funci´on de su volatilidad. La recta indica que para un mismo

ren- dimiento esperado hay varios portafolios con distinta desviaci´on est´andar. La

curva de riesgo-rendimiento de la gr´afica es v´alida solamente para un portafolio con

dos activos. Para m´as de dos activos la curva tiene la forma de una sombrilla.

Cada punto de la curva representa el valor esperado y la desviaci´on est´andar

del rendimiento de un portafolio. Si se fija el rendimiento esperado se observa que al

trazar una recta horizontal se tienen varios portafolios con un mismo rendimiento

esperado pero con diferente desviaci´on est´andar. Note que el punto que

corresponde a un portafolio A es el que tiene menor riesgo de los puntos que est´an

sobre la curva.

de bonos. Las ecuaciones (1.6) y (1.7) para un bono cup´on cero con rendimiento

discreto y continuo se simplifica, respectivamente, como:

F
P =

(1 + y )

n

P = Fe

ytn

. (1.9)

Dados el pago principal, el valor del bono y su madurez, se obtiene el rendimiento

a la que el poseedor recibe el pago F. El rendimiento tiene cierta capitalizaci

´on. La capitalizaci´on es la forma en que se distribuye el rendimiento a lo

largo de un an˜o. Por ejemplo, si y se capitaliza semestralmente, entonces cada

semestre se pagan flujos a una tasa de y/ 2. E

ste var´ıa con respecto al tiempo y es

un factor estoc´astico. En general cada bono tiene su propia curva del rendimiento.

Se puede notar que en las ecuaciones (1.8) y (1.9) hay una relaci´on entre el precio

del bono y el rendimiento. Por lo tanto, los precios de los bonos son sensibles a los

cambios en el rendimiento en diferente magnitud. En la siguiente subsecci´on se

explica el concepto del tipo de cambio, el cual es otro activo que se considera en

el presente trabajo.

1.1.4. Tipo de cambio

En las subsecciones pasadas se habl´o acerca de las acciones y de los bonos

junto con sus respectivos factores de riesgo. En ambos casos el poseedor tiene un t

´ıtulo de propiedad el cual avala que es el duen˜o del mismo. En general obtiene

ganancias peri´odicamente en ambos casos. Otra forma de obtener ganancias (o p

´erdidas en un caso desfavorable) es invertir un capital reunido en cierto pa´ıs A a

otro pa´ıs B me- diante una conversi´on de la moneda nacional en d´olares, por

ejemplo. A diferencia de los bonos y de las acciones aqu´ı no se tiene nada f

´ısicamente si no que se convierte el capital en unidades monetarias extranjera. A

trav´es del tiempo, el tipo de cambio de cambio var´ıa y adem´as, su

comportamiento es estoc´astico. Al convertir el capital en d´olares en un plazo

corto o largo se espera que el tipo de cambio (por ejemplo, el tipo de cambio FIX

Peso/d´olar) aumente ya que as´ı los d´olares obtenidos se venden a un mayor

precio y se logra una ganancia al convertir el capital en las unidades monetarias

original. Un ejemplo de inversionistas que invierten en este instrumento son las

empresas multinacionales que cotizan en mercados de distintos pa´ıses. El

1.2. MEDIDAS DE RIESGO COHERENTES 19

manejo de riesgo de estas empresas es independiente del tipo de empresas que son.

El factor de riesgo de este activo es el cambio de valor en el tipo de cambio.

Cuando se solicita un pr´estamo en otro pa´ıs el capital se otorga en las unidades

monetarias de aquel pa´ıs y antes de invertirlo se hace una conversi´on de

unidades monetarias por lo que aqu´ı est´a de por medio el tipo de cambio. Lo

interesante se refleja en el plazo en que se devuelve lo que se recibi´o prestado

puesto que no solamente est´a de por medio la tasa de inter´es a la cual se prest

´o el capital si no tambi´en el incre- mento en el tipo de cambio ya que en un

escenario indeseable aumente de tal forma que se invierta m´as que el monto de la

deuda. Desde otra perspectiva, un individuo deposita un monto en el extranjero.

En ese momento convierte lo que deposit´o en la moneda que se maneja en ese

pa´ıs. Tiempo despu´es decide retirar su capital. Se sabe que va a recibir una

cantidad adicional de la que invirti´o. Sin embargo, todav´ıa falta que la convierta

en la moneda del pa´ıs en que reside. Esta persona tambi´en est´a expuesta al

riesgo del incremento en el tipo de cambio. De hecho, no le conviene que ´esta

disminuya ya que entonces tendr´ıa una p´erdida. En el an´alisis de optimi-

zaci´on de portafolios por el m´etodo de media-varianza de Markowitz y en el

modelo CAPM el tipo de cambio se puede ver como si fuera una acci´on a trav´es

de sus ren- dimientos. Para un mayor conocimiento del tema se puede consultar el

art´ıculo del manejo y medici´on de riesgo en el tipo de cambio (Papaioaunnou

Michael (2006) [9]).

En la siguiente secci´on se describe formalmente el concepto de medida de riesgo

cohe- rente junto con su interpretacion. Despu´es se explican algunos ejemplos de

medidas de riesgo estimadas por varios m´etodos como la teor´ıa de Markowitz, el

Modelo de Valuaci´on de Precios de Capital CAPM (por sus siglas en ingl´es) as´ı

como el Valor en Riesgo (VaR) y el Valor en Riesgo Condicionado (EVaR).

1.2. Medidas de riesgo coherentes

En la secci´on anterior se mencionaron los conceptos de riesgo y factor de

riesgo tanto para un solo instrumento como para un conjunto de ellos. Cuando

se tiene un conjunto de activos con distintos factores de riesgo la complejidad yace en

su estructura de dependencia. Por otra parte, la estimaci´on del riesgo se relaciona

con la probabilidad de que ocurran eventos no deseados, la cual no puede

calcularse si

1.3. EJEMPLOS DE MEDIDAS DE RIESGO 21

misma cantidad. En particular, sea l = ρ ( L ) una cobertura determin´ıstica, en-

tonces el riesgo de la posici´on es cero ya que ρ ( L ρ ( L )) = ρ ( L ) ρ ( L ) = 0.

De las 4 propiedades, la segunda es la m´as discutida en finanzas debido a que

existe la duda de si una medida de riesgo coherente debe cumplir esta propiedad y

tiene el siguiente significado: si se invierte en dos activos distintos entonces el

riesgo al que se expone un inversionista que posee un portafolio de esos activos es

menor a que si invirtiera en cada uno por separado. Esta idea tambi´en se cumple

en el caso que se tuvieran m´as de dos activos. Esta propiedad est´a relacionada

con el principio de diversificacion. En palabras, la propiedad 3 dice que el riesgo

obtenido de una p´erdida proporcional a la original, θL , es igual al riesgo

asociado a la p´erdida L multiplicado por la proporci´on θ. Si θ fuese un nu

´mero natural entonces el riesgo de la suma de θ activos iguales es igual a θ veces

el riesgo de ese mismo activo. La u´ltima propiedad es la m´as facil de entender e

inclusive de probar si una medida de riesgo posee esta propiedad. Si ´esta se

cumple, entonces la medida de riesgo es una funci´on mon´otona creciente.

Las propiedades descritas previamente respaldan a las medidas de riesgo coherentes

de tal manera que ´estas proporcionen resultados que tengan sentido en la

apli- caci´on. Una observaci´on adicional es que algunos analistas de riesgo

afirman que en la propiedad 3 para valores grandes de θ la ecuaci´on

correspondiente cambia a ρ ( θL ) > θρ ( L ), lo cual ´ımplica que tampoco se satisfaga la

propiedad 2 de subadi- tividad (ver McNeil et. al. (2005) [6]). No obstante, en el caso

de un portafolio de inversi´on se cumple la expresi´on:

ρ ( θL 1 + (1 − θ ) L 2 ) ≤ θρ ( L 1 ) + (1 − θ ) ρ ( L 2 ). (1.10)

Por lo tanto, una medida de riesgo coherente tambi´en es una funci´on convexa si no

se permiten ventas en corto. En la siguiente secci´on se proporcionan algunos

ejemplos de medidas de riesgo y se verifica cu´ales de ellas son coherentes.

1.3. Ejemplos de medidas de riesgo

A lo largo del tiempo se han propuesto distintas metodolog´ıas para medir el

riesgo de un activo o de un portafolio de inversi´on. Cada una sigue diversos

supuestos y a partir de ´estos se define la medida de riesgo. Por ejemplo, en el

modelo de Markowitz la teor´ıa parte de suponer que el rendimiento de una acci

´on sigue una distribuci´on normal y por ello su riesgo se expresa como su

desviaci´on est´andar. En el modelo CAPM la medida de riesgo es el coeficiente

beta y parte del supuesto que existe un

n

i j ij 1 i i p 2

n

i = (1.11)

CAP
ITULO 1. INTRODUCCIO
N

activo que mide el rendimiento y la volatilidad de mercado. Otras medidas son el

VaR y el EVaR, las cuales son calculadas mediante diversos m´etodos que parten

de asumir ciertos supuestos. En las siguientes subsecciones se explican algunos m

´etodos para estimar el riesgo que existe al invertir en un portafolio de inversi´on.

1.3.1. El modelo de Markowitz

En el modelo de Markowitz se usan las ideas explicadas acerca del rendimiento de

las acciones. Por ejemplo, las definiciones de la media y la varianza del

rendimiento de un portafolio. El modelo de Markowitz supone que el rendimiento

de cada activo tiene una distribuci´on normal con media μ y varianza σ

2

. En este

caso el riesgo del portafolio se mide con la desviaci´on est´andar del rendimiento. Se

desea un portafolio de inversi´on que tenga la menor varianza, o en otras

palabras, el menor riesgo. El problema se formula como sigue: n n

Minimizar

1

w w σ

J

sujeto a

2

i =1 j =

i j ij =^

2

w Σ w

r ¯ p =

wir ¯ i = w

J r ,

wi = 1 = w

J 1.

i =

Donde 1 es el vector de unos, w es el vector de pesos, r es el de rendimientos

esperados y Σ es la matriz de varianzas y covarianzas de los rendimientos de los

activos. El problema anterior se plantea de esa manera si se asume que hay ventas

en corto (pedir prestado un activo para invertir en ´el). Si no es el caso, se an˜ada

la restricci´on de la no negatividad de las w i ’s.

Soluci´on del problema de Markowitz

Se puede encontrar la soluci´on de este problema (bajo el supuesto que se

permiten las ventas en corto) con los multiplicadores de Lagrange dado que las

restricciones son de igualdad. El lagrangiano queda de la siguiente forma:

n n n n

L =

w w σλ (

w r ¯ − r ¯ ) − λ

w

i =1 j =1 i =1 i =

i

Σ

CAP
ITULO 1. INTRODUCCIO
N

cada wi y las derivadas se igualan a cero como se muestra en el sistema de ecuaciones

(1.15) y la soluci´on del sistema de ecuaciones es el vector de pesos ( w 1 , , wn )

t , vi

donde wi = n

j =1 (^) v j

n

σkivi = r ¯ krf , k = 1 , · · · , n. (1.15)

i =

1.3.3. Modelo de la Valuaci´on de Activos de Capital (CAPM)

El modelo CAPM es otra forma de medir el riesgo de un activo o de un portafolio.

De acuerdo a Luenberger (1998) [5], los supuestos sobre el modelo CAPM son los

siguientes:

  1. Todos los participantes (inversionistas) optimizan sus portafolios con el modelo

de riesgo-rendimiento de Markowitz.

  1. La estructura de probabilidad de los activos de todos los participantes son

iguales.

  1. Existe una u´nica tasa libre de riesgo tanto para pedir prestado como para

prestar dinero.

  1. No hay costos de transacci´on.

Los porcentajes que se invierten en un portafolio riesgoso y en un activo libre de

riesgo var´ıan de acuerdo a cada individuo. Adem´as de los portafolios formados

por el inversionista, el mercado tambi´en ofrece los suyos. Los pesos del

portafolio de mercado se determinan de manera diferente a lo estudiado en la teor´ıa

de Markowitz. El peso de la i - ´esima acci´on, wc,i , del portafolio de mercado es el

producto del nu´mero de acciones mi por el precio de la acci´on i entre la suma

de los productos de las n acciones que se venden en el mercado. Las variables

wc,i , conocidas como pesos de capitalizaci´on, est´an dadas por:

miVi

w c,i

n

j =

mjVj

En la F´ıgura 1.2 se muestra la relaci´on que hay entre el retorno esperado del

porta- folio de mercado y su desviaci´on est´andar. La recta de la gr´afica se

conoce como la l´ınea de mercado de capital.

σ 2

p i

p (^) i M

]

2

1.3. EJEMPLOS DE MEDIDAS DE RIESGO 25

Figura 1.2: Gr´afica del rendimiento esperado como funci´on del riesgo. El punto M

es el portafolio de mercado.

El modelo CAPM propone que los rendimientos “ideales”de un activo est´an

definidos por la linea de mercado y basta conocer la volatilidad de un activo para

determinar su rendimiento. Es decir:

r ¯ = rf

r ¯ M −^ r f

σ. (1.17)

σ

M

Proposici´on 1 (El modelo CAPM): Si el portafolio de mercado M es

eficiente, el retorno esperado r ¯ i de cualquier activo i satisface:

r ¯ ir f = β i ( r ¯ Mr f

con βi

σiM . M

La deducci´on de esta expresi´on se muestra a continuaci´on y se obtuvo del libro

In- vestment Science de Luenberger (1998) [5]. Se considera el siguiente portafolio

y se asume que ( rM , σM ) esta´ en la frontera eficiente. Sean r ¯ p y σp el retorno

esperado y la desviaci´on est´andar respectivamente del retorno del portafolio,

conformado por el activo i y el portafolio de mercado:

r ¯ = αr ¯ + (1 −

α ) r ¯

, σ = [ α

2 σ

2

  • 2 α (1 − α ) σ + (1 − α )

2 σ

2

Donde α es el porcentaje de capital invertido en el activo i y 1 α , en el por-

tafolio de mercado. Se derivan ambas ecuaciones con respecto a α y se evalu

´an en α = 0. La raz´on es que para este valor de α se obtiene el portafolio de

mercado. Por otro lado, se desea que la frontera eficiente del portafolio, definida

en la ecuaci´on

M

iM

1