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Polinomio de interpolación de Newton
Tipo: Ejercicios
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Ayacucho - Per ´u
Marco te ´orico
La interpolaci ´on de Newton es un m´etodo num´erico utilizado para construir un polinomio que pase por un conjunto de puntos dados ( x 0 , f ( x 0 )) , ( x 1 , f ( x 1 )) ,... , ( xn, f ( xn )). Este m´etodo se basa en el uso de las diferencias divididas finitas, las cuales se calculan de forma recursiva.
El polinomio interpolante de Newton de grado n se define como:
Pn ( x ) = f [ x 0 ] + f [ x 0 , x 1 ]( x − x 0 ) + f [ x 0 , x 1 , x 2 ]( x − x 0 )( x − x 1 ) +...
Las diferencias divididas se calculan de la siguiente manera:
Orden 0: f [ xi ] = f ( xi )
Orden 1: f [ xi , xi +1] =
f [ xi +1] − f [ xi ] xi +1 − xi
Orden 2: f [ xi , xi +1 , xi +2] =
f [ xi +1 , xi +2] − f [ xi , xi +1] xi +2 − xi
Orden k :
f [ xi , xi +1 ,... , xi + k ] =
f [ xi +1 ,... , xi + k ] − f [ xi ,... , xi + k − 1 ] xi + k − xi
Una vez obtenidas las diferencias divididas, se construye el polinomio Pn ( x ) y se eval ´ua en el valor deseado x = a , para obtener una aproximaci ´on de f ( a ).
Solucionario
El polinomio de interpolaci ´on de Newton permite aproximar polinomio de grado n + 1 a partir de n datos tabulados. Se basa en las diferencias divididas y tiene la siguiente forma:
Pn ( x ) = f [ x 0 ] + f [ x 0 , x 1 ]( x − x 0 ) + f [ x 0 , x 1 , x 2 ]( x − x 0 )( x − x 1 ) + · · ·
x y 0 2. 1 5. 2.5 7. 3 7. 4.5 8. 5 9. 6 12.
Todos los datos ser´an usados para construir la tabla de diferencias divididas.
x f [ x ] f [ x, x ] f [· · · ] 2 f [· · · ] 3 f [· · · ] 4 f [· · · ] 5 f [· · · ] 6 0 2 , 0000 1 5 , 4375 3 , 4375 2 , 5 7 , 3516 1 , 2761 − 0 , 8646 3 7 , 5625 0 , 4218 − 0 , 4271 0 , 1458 4 , 5 8 , 4453 0 , 5885 0 , 0834 0 , 1459 − 0 , 0000 5 9 , 1875 1 , 4844 0 , 4479 0 , 1458 0 , 0000 0 , 0000 6 12 , 0000 2 , 8125 0 , 8854 0 , 1458 − 0 , 0000 − 0 , 0000 − 0 , 0000
Donde los elementos de la diagonal indican los coeficientes del polinomio de interpolaci ´on de Newton.
Algoritmo en MatLab
1 clear; close all; clc; 2 X = [0 1 2.5 3 4.5 5 6]; 3 Y = [2 5.4375 7.3516 7.5625 8.4453 9.1875 12]; 4 5 % Algoritmo de interpolacion de Newton 6 n=length(X); 7 D=zeros(n,n); 8 D(:,1)=Y’; 9 for j=2:n 10 for k=j:n 11 D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); 12 end 13 end 14 C=D(n,n); 15 16 % Tabla de diferencias divididas 17 disp(’Tabla de diferencias divididas ’) 18 disp ([X’ D]) 19 for k=(n-1) :-1: 20 C=conv(C,poly(X(k))); 21 m=length(C); 22 C(m)=C(m)+D(k,k); 23 end 24 p=C; 25 26 % Evaluar en x = 3. 27 x0 = 3.5; y0=polyval(p,x0); 28 disp(’Valor interpolado ’) 29 fprintf(’f( %.1f) = %.4f\n’,x0 ,y0); 30 xx = linspace(min(X),max(X)); 31 yy = polyval(p,xx); 32 33 % Grafica 34 plot(X,Y,’*’,xx ,yy) 35 grid on 36 title(’Polinomio Interpolante de Newton ’) 37 xlabel(’x’) 38 ylabel(’y’)
4.1.1 Output
Tabla de diferencias divididas 0 2.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 5.4375 3.4375 0 0 0 0 0 2.5000 7.3516 1.2761 -0.8646 0 0 0 0 3.0000 7.5625 0.4218 -0.4271 0.1458 0 0 0 4.5000 8.4453 0.5885 0.0834 0.1459 0.0000 0 0 5.0000 9.1875 1.4844 0.4479 0.1458 -0.0000 -0.0000 0 6.0000 12.0000 2.8125 0.8854 0.1458 -0.0000 0.0000 0.
Valor interpolado f(3.5) = 7.
Figura 4.1: Grafica del polinomio de Newton.
