MODELO DE PRIMER PARCIAL
SOLUCIONES
1. Calcular
1
2
3
2
3 2
lim 3
n n
n
n
n
n
n
Solución:
Estudiemos el comportamiento de la base y del exponente por separado para saber si estamos en
condiciones de usar álgebra de límites.
Por una parte:
2
21
3 (1 )
3 2 3
3
1
33 (1 ) 1
3 3
n
n
n
n n n
nn
n n
n n
n
, pues 2
0
3
n
y
0
3
n
n
. Ambas afirmaciones
se pueden verificar aplicando el criterio de la raíz enésima.
Por la otra parte 1
2
3 3 3
2 4 2
n
n
n
cosa que también se puede probar usando el mismo criterio.
En consecuencia estamos ante un límite indeterminado del tipo “
1
“.
La estrategia será escribirlo en la forma
1
1
ALGO
ALGO donde
0
ALGO
ya que sabemos que una
expresión de ese tipo tiende a
e
.
Entonces
1
1 1
2
2 2
(2 ) 3
3 3 3 (3 )2
2
2 2
3 2 3 2 2
1
3 3 3
n n n n n
n n n
nn
n n n nn
n
n n
n
nn
n
n n n
n n n
Con esta transformación de la sucesión volvemos a analizar el comportamiento de la base y del
exponente para aplicar álgebra de límites.
El corchete tiende a
e
por lo más arriba dicho. Es decir
3
2
2
13
n
n
n
n
n
n
n
e
n
El exponente es un cociente. Hacemos cuentas sacando factor común la potencia más grande y
estudiamos su límite:
1
2
6 1 1
(2 )3 (2 )3 .3 3 6 3 3 3 3
22
(3 )2 (3 )2 .4 4 6 2 4 4 4
1
6 1 3
3
n
n n n n n n nn
n n n n n n n
n
n
nn
n n n
n
n
n n n
Ambos límites van a cero y se justifican con el criterio de la raíz o del cociente.
En consecuencia, ´podemos aplicar el álgebra de límites y afirmar que
1
2
3
4
3
2
3 2
lim 3
n n
n
n
n
n
e
n
0
0
