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Una introducción a los problemas de optimización de redes, con enfoque en el problema del árbol de mínima expansión y flujo máximo. Se explica el proceso de solución de estos problemas mediante el uso de algoritmos específicos, como el algoritmo de Kruskal y el algoritmo de Bellman-Ford. Se incluyen ejemplos prácticos para ilustrar la aplicación de estos algoritmos. Los problemas de optimización de redes surgen en situaciones como la toma de decisiones en redes de transporte, eléctricas y otras áreas relacionadas con la producción, distribución y localización de instalaciones.
Qué aprenderás
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Villahermosa, Tabasco a Diciembre del 2010
Una red o grafo consiste de puntos, y líneas que conectan pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices. Las líneas de llaman arcos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, en cuyo caso se denominan arcos dirigidos. Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama. Si todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si todos los arcos son no-dirigidos, la red es una red no-dirigida. Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos. Una trayectoria (path en inglés) es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos) conectando a los nodos. Una trayectoria dirigida desde nodo i al nodo j es una secuencia de arcos, cada uno de los cuales apunta al nodo j (si es que hay dirección). Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera de dirección. Una trayectoria que comienza y que termina en el mismo nodo se denomina ciclo y puede ser ya sea dirigida o no-dirigida. Una red está conectada si existe una trayectoria no-dirigida entre cualquier par de nodos. Una red conectada que no tiene ciclos se denomina árbol. Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal. Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal. Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal. Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones". Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones.
Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos: Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión). Modelo de la ruta más corta. Modelo del flujo máximo. Modelo del flujo del costo mínimo. Modelo de minimización de redes El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en la solución del problema. Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:
(^1 2 3 4 ) 1 3 4 2 5
Figura 8- Con un costo total de 4+ 8.1 = 12.1 (miles de unidades monetarias). Esto quiere decir que cada automóvil debe reemplazarse al segundo año de uso y desecharse al quinto año. Apliquemos el procedimiento a la red en la figura8-10. Una hipótesis básica del algoritmo es que en todas las distancias en la red son no negativas.
Figura 8- Iteración 0: el nodo 1 lleva la etiqueta permanente [0,-]. Iteración 1: los nodos 2 y 3, que se pueden alcanzar directamente desde el nodo 1 (el ultimo nodo rotulado permanentemente), llevan ahora las etiquetas temporales [0+100, 1] y [0+30,1] o bien [100,1], respectivamente.
Entre las etiquetas temporales corrientes, el nodo 3 tiene la menor distancia d =30(=min {100,30}). Si el nodo 3 esta etiquetado permanentemente. Iteración 2: los nodos 4 y 5 se pueden alcanzar desde el ultimo nodo rotulado permanentemente (nodo 3) y sus etiquetas temporales son [30+10,3] y [30+60,3] (o bien [40,3] y [90,3]), respectivamente. En este punto tenemos las 3 etiquetas temporales [100,1], [40,3] y [90,3] asociados con los nodos 2, 4 y 5, respectivamente. El nodo 4 etiquetado temporalmente tiene la menor d = 40 (=min {100, 40,90}) y, por consiguiente, su etiqueta [40,3] se convierte a un estado permanente. Iteración 3: del nodo cuatro rotulamos ahora el nodo 2 con la etiqueta temporal [40+15,4] = [55,4], que reemplaza a la etiqueta temporal anterior [100,1]. A continuación el nodo 5 se etiqueta temporalmente con [40+50,4] = [90,4]. Las etiquetas temporales incluyen ahora a [55,4] y [90,4] asociadas con los nodos 2 y 5, respectivamente. Rotulamos entonces al nodo 2 en forma permanente con la etiqueta [55,4]. El único nodo restante es el nodo destino 5, que convierte su etiqueta [90,4] a una etiqueta permanente, con lo que se termina el procedimiento. Los pasos de cálculo anteriores se resumen gráficamente en la figura 8-11 observe que los cálculos se basan en el concepto de recursión empleado en el algoritmo aciclico. La diferencia principal entre los dos algoritmos estriba en que un nodo en el algoritmo cíclico puede rotularse (temporalmente) sin tener en cuenta que todos los nodos que llegan directamente a él se hayan o no rotulado. La solución en la figura 8-11 proporciona la distancia más corta a cada nodo en la red, junto con su ruta.
0 C B A E D T 0 C B A E D T
En forma arbitraria, se selecciona el nodo 0 como inicio. El nodo no conectado más cercano a 0 es A. se conecta el nodo A al nodo 0. 7 2 2 5 5 4 3 1 7 4 1 4
0 C B A E D T 0 C B A E D T El nodo no conectado más cercano a cualquiera de los nodos 0 o A es el nodo B (más cercano a A). Se conecta el nodo B al nodo A. 7 2 2 5 5 4 3 1 7 4 1 4 El nodo no conectado más cercano a 0, A o B es el nodo C (más cercano a B). se conecta el nodo C al nodo B. 7 2 2 5 5 4 3 1 7 4 1 4
0 C B A E D T El único nodo no conectado es el nodo T. Está más cerca del nodo D. se conecta el nodo T al nodo D. 7 2 2 5 5 4 3 1 7 4 1 4 Todos los nodos han quedado conectados, por lo que esta es la solución (optima) que se buscaba. La longitud total de las ramas es 14 millas. Aunque con este procedimiento a primera vista puede parecer que la elección del nodo inicial afectaría la solución final ( y la longitud total de las ligaduras), en realidad no es así. Se sugiere que se verifique este hecho para el ejemplo, aplicando de nuevo el algoritmo, pero con un nodo inicial distinto de 0. Se considera que dentro de este capitulo el problema del árbol de expansión mínima es el que cae dentro de la amplia categoría de diseño de redes. En esta categoría, el objetivo es diseñar la red más apropiada para el problema dado (con frecuencia se trata de sistemas de transporte) y no de analizar una red ya diseñada. La referencia 8 proporciona una investigación en esta importante área.
5.4 Problema de flujo máximo En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como Xij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m. En la formulación de la programación lineal, el objetivo es maximizar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra debe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La capacidad que puede ser enviada a una dirección en particular también es mostrada en cada ruta .
La programación lineal es actualmente la técnica matemática utilizada más actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la computación. Lo que se busca con la aplicación de la programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma óptima.
Una empresa ha dejado de fabricar ciertos productos, liberando de esta forma las cargas de producción que tenían sus equipos en los departamentos de maquinado. Ahora se tienen horas máquina que se pueden utilizar en los productos denominados 1,2,3 de la siguiente manera: Máquina Horas por pieza de producto Horas Maq. Disponibles 1 2 3 por semana Fresadora 9 3 5 500 Torno 5 4 - 350 Rectificadora 3 - 2 150 Utilidad $/ pieza 50 20 25 Recomendación del Mínimo Mínimo Mínimo Depto. Vtas a Prod. 30 15 20 Formular un modelo de Programación Lineal para este problema Definición de variables a utilizar en el método de programación lineal Sea: Xj = número de piezas de producto j(j=1,2,3) a fabricar para maximizar la utilidad. Función económica y objetivo: MAX Z= 50X1 + 20X2 + 25X3 [ (Dls/Unidad) (Unidad/Sem)] = [Dls/Sem.] Sujeta a restricciones de horas máquina disponibles por semana Fresadora: 9X1 + 3X2 + 5X3 * 500 horas máquina fresadora Torno: 5X1 + 4X2 * 350 horas máquina torno Rectificadora: 3X1 + 2X3 * 150 horas maquina rectificadora Condiciones de signos pare las variables: X1 * 30 piezas X2 * 15 piezas X3 * 20 piezas
CONCLUSIÓN Los modelos de optimización de redes constituyen una herramienta muy sencilla para la encontrar la solución óptima a los problemas de flujo de redes, porque proporcionan algoritmos fáciles de comprender y aplicar que comparados con el método simplex disminuyen el número de iteraciones que resuelven el problema. Si se aplicara el método simplex en un problema de distribución o de redes, tendríamos muchas variables y restricciones en el modelo y se tendría que utilizar herramientas computacionales para encontrar la solución optima de una forma rápida, ahora con los modelos de redes solo habría que aplicar las iteraciones al grafo que origina la representación de la red del problema y luego aplicar el algoritmo que corresponde, que puede ser el algoritmo de la ruta más corta, algoritmo para encontrar el árbol de expansión mínima, algoritmo de la trayectoria de aumento o el algoritmo de flujo máximo. Aunque los problemas de flujo de costo mínimo y el de la ruta más corta pueden formularse como modelos de programación lineal para luego aplicar el método simplex, no es conveniente su utilización. Por otro lado solucionar el problema utilizando redes mejora la eficiencia de los cálculos.
