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Una introducción a las operaciones con vectores en dos y tres dimensiones. Se explican conceptos como módulo, dirección, suma, resta, producto escalar y producto vectorial, incluyendo ejemplos y ejercicios para comprender mejor estos conceptos. Útil para estudiantes de matemáticas, física o ingeniería que buscan una introducción a los vectores.
Tipo: Apuntes
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Vectores libres: No tienen un punto de aplicación particular.
Vectores deslizantes: Su punto de aplicación puede ser cualquier punto a lo largo de la recta
de aplicación.
Vectores fijos o ligados: Poseen un único y determinado punto de aplicación.
2 Componentes de un vector en dos y tres dimensiones.
Componentes en dos dimensiones en un sistema coordenado de dos dimensiones, cualquier
vector puede representarse en el componente X y el componente Y como una proyección del
vector original sobre cada eje.
un sistema coordenado de dos dimensiones, cualquier vector puede separarse en el
componente X y el componente Y.
Figura 1.
Por ejemplo, en la figura siguiente mostrada, el vector se separa en dos componentes, VX y
VY. Digamos que el ángulo entre el vector y su componente x es θ.
El vector y sus componentes forman un triángulo rectángulo como se muestra a continuación.
En la figura anterior, los componentes pueden leerse rápidamente. El vector en la forma
componente es
Las relaciones trigonométricas dan la relación entre la magnitud del vector y los componentes
del vector.
Figura 1.
Figura 1.
Ejemplo.
Componentes de tres dimensiones, Al hablar de tres dimensiones estamos ubicando un vector
de manera tridimensional, es decir, en el espacio. Y si ya hablamos de tener de tenerlo en dos
dimensiones dadas por los ejes (X, Y), simplemente será cosa de ubicarlo también sobre otro
eje, cotidianamente llamado Z, de tal forma que ahora nuestro vector en tres dimensiones
tendrá tres componentes (X, Y, Z).
En la Figura 1.4 (a), el eje z positivo se muestra sobre el plano que contiene los ejes x y y. El
eje x positivo aparece a la izquierda y el eje y positivo a la derecha. Una pregunta obvia que
surge es: ¿Cómo se determinó esta disposición? El sistema que se muestra sigue la regla de
la mano derecha. Si tomamos nuestra mano derecha y alineamos los dedos con el eje x
positivo, luego curvamos los dedos para que apunten en la dirección del eje y positivo,
nuestro pulgar apunta en la dirección del eje z positivo. En este texto, siempre trabajamos
con sistemas de coordenadas establecidos de acuerdo con la regla de la mano derecha.
Algunos sistemas siguen la regla de la mano izquierda, pero la regla de la mano derecha se
considera la representación estándar.
Figura 1.4 (a) Podemos ampliar el sistema de coordenadas rectangulares bidimensional
añadiendo un tercer eje, el eje z, que es perpendicular tanto al eje x como al eje y. (b) La
regla de la mano derecha se utiliza para determinar la ubicación de los ejes de coordenadas
en el plano cartesiano estándar.
En dos dimensiones, describimos un punto en el plano con las coordenadas (x, y).
Cada coordenada describe cómo se alinea el punto con el eje correspondiente. En tres
dimensiones, una nueva coordenada, z,
se añade para indicar la alineación con el eje z: (x, y, z).
Un punto en el espacio se identifica por las tres coordenadas (Figura 2.24). Para trazar el
punto (x, y, z),
vaya x unidades a lo largo del eje x, luego y
unidades en la dirección del eje y, luego z (Godoy, (2012).)
unidades en la dirección del eje z.
Figura 1.
Figura 1.7 Halle la distancia entre los dos puntos.
Solución
Sustituya los valores directamente en la fórmula de la distancia:
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3 Operaciones con vectores.
3.1 Modulo.
Elementos de un vector:
Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector entre
barras:
Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la
de todas sus paralelas.
Sentido si va de A a B o de B a A.
Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y
sentido. Todos ellos se llaman representantes de un único vector. Llamaremos
representante canónico a aquel vector que tiene por origen el punto O.
Notación: Los vectores se representan por letras: .... o bien mediante uno de
sus representantes, designando su origen y su extremo con una flecha encima
El producto de un número k por un vector v es otro vector kv que tiene:
Módulo: igual al producto del módulo de v por el valor absoluto de k : | kv | = |k|.|
v |
Dirección: la misma que la de v
Sentido: - El de v si k > 0 - El del opuesto de v si k < 0 El producto 0. v es igual al
vector cero: 0. Es un vector cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, su módulo
es cero y carece de dirección y de sentido. El vector – 1. v se designa por v y se
llama opuesto de v.
Modulo.
2
2
2
2
Figura 2.
3ª ejemplo de operación.
Modulo.
2
2
2
2
2
2
Figura 2.
El mismo procedimiento serviría para sumar dos vectores en el plano, ejes X e Y.
(5, 1, 2) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector suma.
El mismo procedimiento serviría para sumar dos vectores en el plano, ejes X e Y.
Para la resta de vectores, se procede igual que en la suma de vectores, bien operando con los
componentes cartesianos, o bien mediante el método del paralelogramo.
Figura 2.
Sabiendo los componentes cartesianos de los vectores, restaremos las componentes
cartesianas del segundo vector de los del primero:
𝑥
𝑦
𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑧
𝑧
Ejercicio:
Sean los vectores Vector a = (2,-3,4) y el vector b = (3,4,-2), obtener la resta de vectores
Vector a – Vector b:
(-1, - 7, 6) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector resta.
El mismo procedimiento serviría para restar dos vectores en el plano, de ejes x e y.
2ª ejemplo de operación.
1
2
1
2
1
2
1
2
3ª ejemplo de operación.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Figura 2.
Figura 2.
3.3 Multiplicación por escalar.
Producto de un vector por un escalar
La multiplicación de un vector v por un escalar n es otro vector nv cuyo módulo será |n| ·| v|.
Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido. Si n es negativo, el vector
producto tendrá el sentido opuesto.
Lo mismo diremos de la división de un vector por un escalar.
Producto escalar
Diferente a lo anterior es el producto escalar de dos vectores. Llamamos producto escalar (o
producto interno) de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número escalar
(atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno
del ángulo α que forman.
También podemos decir que el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de un
vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es:
Figura 2.
