Introducción a la Algebra de Conjuntos: Operaciones y Propiedades, Diapositivas de Matemáticas

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Bienvenidos a

Tonantzintla

¡¡Gracias por querer cambiar este país!!

Profr. Moy

Comenzamos!!

Imaginen ustedes que son solicitantes de un trabajo en una fábrica. Y yo (el profe) el responsable de informarles en que consiste su trabajo. Les platico que en cada cuarto hay una maquina, que parece una caja con dos hoyos con compuertas en la parte superior y otro hoyo, en uno de los extremos. Junto a cada maquina un montón de objetos. Las maquinas en cada uno de los cuartos son diferentes en su funcionamiento, pero parecidas en la forma. Las compuertas de los hoyos superiores son controladas por una manivela que ustedes manejan, claro, siempre que hayan colocado en cada compuerta un objeto, es decir, la maquina siempre funciona con dos objetos Resumiendo, su trabajo consiste en colocar dos objetos en la parte superior, jalar la palanca y recoger el objeto que saldrá en la parte de inferior. FACIL!!

Sorpresa

Resulta que ustedes conocen una buena cantidad de maquinas y que las han estado utilizando desde que estaban en el kínder, la primaria y así sucesivamente algunos ejemplos de estas son: la suma, la resta, la multiplicación, la división, la unión y la intersección de conjuntos, los conectores lógicos, y muchos otros más. Así que en las siguientes descripciones pueden ir pensando en sus operaciones favoritas o de las que más recuerdan para irle dando cuerpo a lo que platiquemos.

Propiedades o características de las operaciones

Si esta proposición es verdadera, entonces se dice que S es un conjunto cerrado bajo la operación (), o también, se dice que la operación () esta bien definida en el conjunto S.

2) si , entonces se dice que la operación (*) es conmutativa en el conjunto S

3) Sean y se pretende operar:

Observamos que se pueden operar de dos maneras: Una taquigrafía que indica el mismo proceso es: y Pero si al operar encontramos que: = , entonces diremos que el operador (*) es asociativo en S.

Propiedades o características de los operadores

6) La última propiedad es muy interesante, pues plantea la forma

de relacionar dos operaciones (dos maquinas diferentes) con

un mismo conjunto de objetos.

Así que, proponemos que S sea un conjunto cerrado para las

operaciones y nos planteamos operar:

En principio no podemos pensar en propiedad asociativa, pues no

se trata de operar a tres elementos con un mismo operador y

mucho menos en pensar que me va a dar el mismo resultado al

operar en diferentes formas. Así que, primero acordamos que

operación realizar primero cuando no se indique con paréntesis

(no olvidar que los paréntesis son indicaciones de como operar),

y este acuerdo le llamo jerarquía de operaciones.

Propiedades o características de los operadores Resuelto el primer problema, ahora planteamos operar : ¿Al operar este caso, nos planteamos si existirá otra forma de operar y que me dé el mismo resultado? Se trata de averiguar que operaciones cumplen la siguiente relación: Y en el caso de que la operación sea conmutativa: Si se cumple el primer caso, se dice que la operación es distributiva por la izquierda ante la operación (). Y si se cumple el segundo caso, se dice que la operación es distributiva por la derecha ante la operación ().

5. La operación esta definida en N. Y trabaja como: Obtener: i) 2 3 ii) 1 5 iii) 3 4 iv) 0 8 v) 8 0
6. La operación trabaja en N. Y lo hace de la siguiente manera: ¿La operación esta bien definida? (No olvide el contra ejemplo)
7. La operación trabaja en N y lo hace en la forma: ¿la operación es conmutativa? ¿Por qué?
8. La operación esta definida en N y trabaja como: , un ejemplo: 5 15=5 porque el menor de 5 y 15 es 5. ¿De las cinco primeras propiedades, cuales cumple este operador?
9. Escribe en tres formas, la realización de: 1+2+3+4+5, empleando primero rayas y en seguida paréntesis.
10. Escribe en tres formas, usando los símbolos de agrupación, la expresión: (2)(3)(4)(5)(6)

11. Supóngase que , calcular: 12.Si , calcular:? 13.Considerando , Calcular: 14.Tenemos , obtener: 15.Se define , obtener: 16.Definimos , calcular: 17.El operador esta definido como , si y es un número tal que , entonces obtener el valor de 18.Sea , obtener: 5 @ 3 , 2@3, 3@ 19.Sea , donde a, b son elementos de S y se define
12. Proponga una operación binaria arbitraria bien definida en algún conjunto y realiza algunos ejercicios con ella.