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PRESENTA

MC SAC

INSTITUTO TECNOLOGICO DE LINARES

“APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

INFORME FINAL”

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ÍNDICE/CONTENIDO

INTRODUCCION………………………………………………………………………….

Desarrollo

Números complejos………………………………………………………………………

1.1 Definición y origen de los números complejos……………………………………

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos…………………………..

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo…………… 7

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo…………………………….

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número

complejo…………………………………………………………………………………..

1.6 Ecuaciones polinómicas…………………………………………………………….

Complementos educacionales …………………………………………………………

1.Números complejos y tiempo imaginario.

2. suma, resta, multiplicación y división de números complejos enfocados a las

aplicaciones

3. La cuarta coordenada

Actividades de aprendizaje…………………………………………………………..

Evaluacion……………………………………………………………………………….

Matrices y determinantes.

2.1 Definición de matriz, notación y orden…………………………………………….

2.2 Operaciones con matrices………………………………………………………….

2.3 Clasificación de las matrices……………………………………………………….

2.4 Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz

Núcleo y rango de una matriz. ………………………………………………………...

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz………………………………………………

2.6 Definición de determinante de una matriz……………………………………….

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt………..

Complemento Educacionales……………………………………………………….

1 .Complemento ortogonal.

2.Proyección ortogonal

3.Diagonalización ortogonal

Actividades de aprendizaje………………………………………………………….

Evaluacion……………………………………………………………………………..

Transformaciones lineales

5.1 Definición de transformación lineal…………………………………………… 113

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal……………………………...

5.3 Representación matricial de una transformación lineal…………………….

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación,

contracción y rotación………………………………………………………………

Complemento Educacionales………………………………………………………

1.Representación matricial de una

transformación lineal

2.Isomorfismos

3.Isometrías

Actividades de aprendizaje…………………………………………………………

Evaluacion……………………………………………………………………………

Referencias…………………………………………………………………………..

Instrumentación didáctica…………………………………………………………..

Desarrollo.

Números complejos.

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Definición.

Los números complejos tienen una parte real y una parte imaginaria.

(Murray R. Spiegel. 1996 )

Origen

“La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene

del trabajo de matemáticos griegos, como Heron de Alejandría en el siglo I aC, como

resultado de una sección imposible de una pirámide.

Gerolamo Cardano trajo la Arithmetica de Diofanto de Alejandría (nacido alrededor

del 200/214 d. C. y fallecido 284 y 298 d. C.)

Rafael Bombelli (1526, Bolonia - 1572, Roma).

Los complejos se hicieron más evidentes en el siglo XVI, cuando la búsqueda de

fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fue

encontrada por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano ”.

parte real: a, parte imaginaria: 𝑏𝑖

se pueden escribir en forma polar

(r∡θ)

Magnitud : r, angulo: θ

1

2

1

Ejemplos resueltos

Multiplicacion de numeros complejos

si, 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑝 + 𝑞𝑖

Entonces,

A=(r 1 ∡θ 1 ) B=(r 2 ∡θ 2 )

A·B = (r 1 xr 2 ∡ θ 1 + θ 2 )

1

∡θ

1

2

∡θ

2

1

2

∡θ

1

• θ

2

Ejemplo

A=(10∡45) B=(2∡5)

A·B = (10 ·2∡ 45 + 5 ) = ( 20 ∡50)

   

       

       

       

2

z w a bi p qi

a p a qi bi p bi qi

ap aqi pbi bqi

ap aqi pbi bq

ap aqi pbi bq

Division de numeros coplejos

(r 1

∡θ 1

)/(r 2

∡θ 2

)= (r 1

/r 2

∡ θ 1

• θ 2

1

∡θ

1

2

∡θ

2

1

2

∡θ

1

− θ

2

Ejemplo

A=(10∡45) B=(2∡5)

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑝 + 𝑞𝑖.

a bi z

w p qi

a bi p qi

p qi p qi

2

2 2 2

ap aqi pbi bqi

p pqi pqi q i

2

2 2

2

2 2

ap aqi pbi bqi

p pqi pqi q

ap aqi pbi bqi

p q

1.4 Forma polar y exponencial de un número

complejo.

Podemos escribir números complejos de 4 formas diferentes:

Ejemplo:

Cartesiana

Trigonometrica

Polar

Exponencial

√(r∡θ)

𝑛

= 𝑟

1

𝑛 ∡

θ

(r∡θ)

𝑛

= 𝑟

𝑛

∡θ ∗ n

Ejemplo

2

2

= ( 25

1

2 ∡

Ejemplo

2

( 4 ∡

)

2

=

( 4

2

)

( 16 ∡

)

x  yi 5  6 i

r cos   i sin

8 cos 24   i sin 24

z  R    z  8  24 

Re

i

z



6 e

i

z 

Forma polar de un número complejo

Nuestro objetivo en esta sección es escribir números complejos en términos de una

distancia desde el origen y una dirección (o ángulo) desde el eje horizontal positivo.

(Murray R. Spiegel.1996)

Encontramos las componentes real (horizontal) e imaginaria (vertical) en términos

de r (la longitud del vector) y θ (el ángulo formado con el eje real):

De Pitágoras, tenemos: r

2

= x

2

• y

2

y la trigonometría básica nos da:

Se puede usar su calculadora directamente para convertir de forma

cartesiana a polar y también en la otra dirección.

CÓMO CONVERTIR UTILIZANDO LA CALCULADORA

https://ti89-simulator.com/

1.41421+1.41421 i

Forma exponencial de un número complejo

IMPORTANTE:

La forma exponencial de un número complejo es:

(r es el valor absoluto del número complejo, el mismo que teníamos antes y θ está

en radianes.)

Ejemplo :

Convertir 5 (𝑐𝑜𝑠 135° + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 135°) a forma exponencial.

r = 5

θ = 135 °

Recordar:

(or 2.36 radianes)

cos 135 ° + 𝑖 sen 135°

2. 36 𝑖

i

re



= cos

3

(θ) + i3cos

2

(θ)sen(θ) – 3cos(θ)sen

2

(θ) – isen

3

(θ)

= cos

3

(θ) – 3cos(θ)sen

2

(θ) + i(3cos

2

(θ)sen(θ) – sen

3

(θ))

(c) Usando las partes (a) y (b) cos(3θ) y sen(3θ)

en términos de sen(θ) y cos(θ)

Al equiparar partes reales e irreales obtenemos:

cos(3θ) = cos

3

(θ) – 3cos(θ)sen

2

(θ) y sen(3θ) = 3cos

2

(θ)sen(θ) – sen

3

(θ)

2. Del mismo modo, encuentre expresiones para cos(4θ) y sen(4θ)

Considerar ( cos(θ) + isen(θ) )

4

(a) usando el teorema de De Moivre = cos(4θ) + isen(4θ)

(b) usando el teorema del binomio:

= cos

4

(θ) + 4 cos

3

(θ) (isen(θ)) + 6 cos

2

(θ) (isen(θ) )

2

• 4 cos(θ) (isen(θ) )

3

(isen(θ) )

4

= cos

4

(θ) – 6cos

2

(θ)sen

2

(θ) +sen

4

(θ) + i( 4cos

3

(θ) sen(θ) – 4cos(θ)

sen

3

(θ) )

(c) Al equiparar partes reales e irreales obtenemos:

cos(4θ) = cos

4

(θ) – 6cos

2

(θ)sen

2

(θ) + sen

4

(θ)

sen(4θ) = 4cos

3

(θ) sen(θ) – 4cos(θ) sen

3

(θ)

1.6 Ecuaciones polinómicas.

ACERCA DE LOS POLINOMIOS

Una función polinomial en una variable tiene la forma

f(x) = anx

n

• an- 1 x

n- 1

• an- 2 x

n- 2

• … + a 2 x

2

• a 1 x + a 0

donde n es un número entero y an, an- 1 , an- 2 … a 2 , a 1 , a 0 son números reales.

Las funciones polinomiales se pueden clasificar según la cantidad de términos que

tienen:

Funciones monomiales (un término): f(x) = 2x

Funciones binomiales (dos términos): y = – 8 + x

2

Funciones trinomiales (tres términos): f(x) = 2x

2

• x - 5

o, según su grado:

Primer grado (lineal):f(x) = 2x – 1

Tenga en cuenta que y = 1 también es un polinomio de primer grado.

Cuando determinamos el grado de un polinomio, usamos el grado más alto

de sus términos. Tenga en cuenta que el término "y" tiene grado 1.

Segundo grado (cuadratica ): y = 3x

2

• 2x - 2

Tercer grado (cúbico):y = x

3

Cuarto grado (cuartico): f(x) = - 2x

4

• 3x

3

• 2x + 1

Quinto grado (quíntico): f(x) = x

5

Un polinomio también se puede clasificar como un polinomio de grado par o impar

en función de su grado.

El coeficiente principal de una función polinomial es el coeficiente del término con el

grado más alto.

Cuando el coeficiente principal es positivo, las gráficas de las funciones de grados