¡Descarga Números complejos: historia, propiedades y aplicaciones y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Los n´umeros complejos
Algo de historia
La f´ormula para resolver ecuaciones de segundo grado ax^2 +bx+c = 0 es conocida desde tiempos de los griegos. Se sab´ıa que algunas de estas ecuaciones tienen 2 soluciones, otras tienen una y otras ninguna, que est´an dadas por x = −b±
√ b^2 − 4 ac 2 a y dependen de que la expresi´on dentro de la raiz cuadrada sea positiva, nula o negativa.
A mediados del siglo XVI Cardano hall´o una f´ormula para resolver las ecuaciones de tercer grado. Para una ecuaci´on de la forma x^3 = 3px + 2q la soluci´on es
x = 3
q +
q^2 − p^3 + 3
q −
q^2 − p^3
Bombelli observ´o que si aplicaba la f´ormula de Cardano a la ecuaci´on x^3 = 15x + 4 obten´ıa la
soluci´on x = 3
−121. Esto no ten´ıa sentido, a pesar de que la ecuaci´on s´ı ten´ıa soluci´on: x=4. De alguna manera la suma de dos n´umeros imposibles daba un n´umero com´un y corriente. Si
−121 tuviera algun sentido, tambi´en deb´ıa tener sentido
−1 y se
tendr´ıa
−1. ¿Y que ser´ıa 3
−1? Lo mas sencillo es que tambi´en fuera de la forma a + b
−1 para algunos valores de a y b tales que (a + b
−1)^3 = 2 + 11
−1. Si las reglas de la suma y la multiplicaci´on usuales se siguieran cumpliendo, entonces
(a + b
−1)^3 = a^3 + 3a^2 b
−1 + 3ab^2
−1 + b^3
−1 = a^3 − 3 ab^2 + (3a^2 b − b^3 )
Asi que la raiz c´ubica deber´ıa cumplir a^3 − 3 ab^2 = 2 y 3ab^2 − b^3 = 11. Una soluci´on es a = 2
y b = 1, de modo que tendr´ıa sentido decir que 3
−1 y 3
−1. La suma de estos dos n´umeros imposibles es 4, que es exactamente la soluci´on de la ecuaci´on original. Si llamamos i a
−1, los ”n´umeros”de la forma a + bi pueden sumarse y multiplicarse f´acilmente: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac − bd) + (ad − bc)i. Estos n´umeros tienen inversos y raices cuadradas de la misma forma, por ejemplo, (^) 1+^1 i = 12 − 12 i y √ i = √^12 + √^12 i. Por dos siglos estos n´umeros, llamados entonces imaginarios, fueron vistos con mucha suspicacia y a los n´umeros reales se les llam´o as´ı para distinguirlos de ellos.
A mediados del siglo XVIII Euler observ´o que tambi´en ten´ıa sentido hablar de series de n´umeros imaginarios, y vi´o que al aplicar la serie de potencias de la funci´on exponencial et^ = 1 + t + t^2 /2! + t^3 /3! + t^4 /4! + ... al n´umero imaginario ti el resultado es la suma de la serie de cos(t) = 1 − t^2 /2! + t^4 /4! − t^6 /6! − ... y i veces la serie de sen(t) = t − t^3 /3! + t^5 /5! − ... , dando la f´ormula eit^ = cost + isent.
A fines del siglo XVIII Wessel, Argand y Gauss hallaron una interpretacion geometrica de los n´umeros de la forma a + bi como puntos del plano con coordenadas cartesianas (a,b). Con esta interpretaci´on ya pod´ıa pensarse que estos n´umeros, que fueron llamados complejos, realmente exist´ıan y podi´an ser investigados seriamente.
El plano complejo
En la primera mitad del siglo XIX Cauchy, Riemann y otros descubrieron que al aplicar los m´etodos del c´alculo diferencial e integral a las funciones de variables complejas no solo se obten´ıan resultados consistentes, sino a´un mas interesantes que en el caso real, por ejemplo que toda funci´on diferenciable compleja es infinitamente diferenciable (algo claramente falso en el caso real). Y estos resultados pod´ıan usarse para resolver problemas sobre funciones reales, pero que hab´ıan sido imposibles con el c´alculo real, como evaluar
0 sen
(^2) x/x (^2) dx. Desde entonces el
an´alisis complejo ha encontrado muy importantes aplicaciones en la f´ısica y la ingenieria, y es una de las ramas mas interesantes y fruct´ıferas de las matem´aticas.
Es claro que cada n´umero complejo tiene un inverso aditivo: Si z = a + bi y −z = −a − bi entonces z + (−z) = 0
No es obvio que los complejos tengan inversos multiplicativos, es decir que para cada z 6 = 0 exista un z′^ tal que zz′^ = 1. Para hallarlo observemos que si z = a + bi y z′^ = x + yi entonces zz′^ = ax − by + (ay + bx)i asi que zz′^ = 1 si y solo si:
ax − by = 1 bx + ay = 0
Si resolvemos este sistema de ecuaciones lineales obtenemos x = (^) a (^2) +ab 2 y y = − (^) a (^2) +bb 2 de modo
que z′^ = (^) a (^2) +ab 2 − (^) a (^2) +bb 2 i. Asi que z tiene un ´unico inverso multiplicativo, que se denota por z−^1.
Ejemplo: (3 + 2i)−^1 = (^32) +2^32 − (^32) +2^22 i = 133 − 132 i
Como cada n´umero complejo z 6 = 0 tiene un inverso multiplicativo ´unico, entonces podemos definir el cociente de dos complejos como z′/z = z′z−^1
Ejemplo: 4+3 1+2ii = (4 + 3i)(1 + 2i)−^1 = (4 + 3i)(1/ 5 − 2 / 5 i) = 4/5 + 6/5 + (− 8 /5 + 3/5)i = 2 − i
Las propiedades anteriores muestran:
Teorema. Los complejos forman un campo, denotado por C, que es una extensi´on del campo de los n´umeros reales R.
Teorema. Todos los n´umeros complejos tienen raices cuadradas complejas.
Demostraci´on. Si z = a + ib y w = x + iy entonces w^2 = z si y solo si
w^2 = x^2 − y^2 + 2xyi = a + ib
x^2 − y^2 = a y 2 xy = b
Asi que a^2 + b^2 = (x^2 − y^2 )^2 + 4x^2 y^2 = x^4 − 2 x^2 y^2 + y^4 + 4x^2 y^2 = x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + y^2 )^2
Asi que x^2 + y^2 =
a^2 + b^2 , y como ya sab´ıamos que x^2 − y^2 = a entonces
2 x^2 = a +
a^2 + b^2 y 2y^2 = −a +
a^2 + b^2.
Como |a| ≤
a^2 + b^2 para todas a, b, estas dos cantidades no son negativas y tienen raiz
cuadrada real, asi que
x = ±
a+ √ a^2 +b^2 2 y^ y^ =^ ±
−a+ √ a^2 +b^2 2
Aqui hay 4 combinaciones posibles de x y y, pero se puede checar que solo dos son soluciones de 2xy = b (dependiendo del signo de b), y una de las soluciones es la negativa de la otra.
Ejemplo. Las raices cuadradas de z = 3 + 2i estan dadas por
w =
3+ √ 13 2 +^ i
−3+ √ 13 2 y^ −w^ =^ −
3+ √ 13 2 −^ i
−3+ √ 13 2
Mientras que las raices cuadradas de z = 3 − 2 i estan dadas por
w =
3+√ 13 2 −^ i
−3+√ 13 2 y^ −w^ =^ −
3 −√ 13 2 +^ i
−3+√ 13 2
Teorema. Todos los polinomios de segundo grado con coeficientes complejos tienen soluciones complejas.
Demostraci´on. Si P (z) = az^2 + bz + c = 0 es un polinomio con a, b, c n´umeros complejos, az^2 +bz +c = 0 ⇐⇒ z^2 + (^) ab z + ca = 0 ⇐⇒ z^2 + (^) ab z +( 2 ba )^2 + ca = ( 2 ba )^2 ⇐⇒ (z + 2 ba )^2 + (^) ac = ( 2 ba )^2
⇐⇒ (z + 2 ba )^2 = b
(^2) − 4 ac 4 a^2 Como todos los n´umeros complejos tienen raices cuadradas, la ultima igualdad equivale a: z + 2 ba = ±
√ b^2 − 4 ac 2 a , o sea^ z^ =^
−b± √ b^2 − 4 ac 2 a
Problemas
- Calcula (^1) i ,
i,
−i
- Muestra que i(1 − i)(2 − i)(3 − i) = 10
- ¿Es verdad que
- Escribe estos n´umeros complejos en la forma a+bi: 1 2+3i
3+2i 1 − 3 i (1^ −^ i)
(^4) (1 + i)− 2
- Encuentra dos n´umeros complejos cuyo producto sea un real y su cociente sea imaginario puro.
Para entender que hace la multiplicaci´on por un complejo arbitrario es mejor pensar en como transforma a todo el plano.
Cada n´umero real r determina dos transformaciones de la recta real: x → x + r (sumar r) que es una traslacion y x → rx (multiplicar por r) que es una homotecia (una contracci´on o una expansi´on, seguida de una reflexi´on si r < 0).
Similarmente, cada n´umero complejo c determina dos transformaciones del plano complejo C: z → z + c (sumar c) y z → cz (multiplicar por c).
Si c = a + bi, z = x + yi y pensamos en los complejos como vectores, entonces sumar (a, b) envia cada (x, y) del plano a (x + a, y + b) y esto es una traslaci´on por el vector (a, b).
Multiplicar por (a, b) env´ıa cada (x, y) del plano a (ax−by, ay +bx). Esta es una transformaci´on lineal que env´ıa el vector (1, 0) a (a, b) y el vector (0, 1) a (−b, a). Como (a, b) y (−b, a) son ortogonales y del mismo tama˜no, entonces la multiplicaci´on por a + bi es una rotaci´on si (a, b) tiene norma 1. Si (a, b) tiene norma r entonces la multiplicaci´on por a + ib es una rotaci´on seguida de una homotecia por el factor r.
Multiplicaci´on por a + bi
El valor absoluto o m´odulo del n´umero complejo z = a + bi es la norma del vector (a, b), es decir, |z| =
a^2 + b^2. El argumento del complejo z es el ´angulo φ que forma el vector (a, b) con el vector (1, 0), es decir φ = tan−^1 (b/a). Observar que el argumento s´olo esta bien definido salvo m´ultiplos de 2π.
Asi que cada complejo z puede escribirse como:
z = r(cosφ + isenφ) donde r es el m´odulo de z y φ es su argumento.
Si z′^ es otro complejo, z′^ = r′(cosψ +isenψ) entonces la multiplicaci´on por z rota a z′^ un ´angulo φ y lo alarga por el factor r, o sea |zz′| = |z||z′| arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) asi que:
zz′^ = rr′(cos(φ + ψ) + isen(φ + ψ))
El m´odulo tiene las siguientes propiedades:
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
|zz′| = |z||z′|
|z/z′| = |z|/|z′| siempre que |z′| 6 = 0
|z + z′| ≤ |z| + |z′| desigualdad del tri´angulo
|z − z′| ≥ ||z| − |z′||
−|z| ≤ Re z ≤ |z| , −|z| ≤ Im z ≤ |z| , |z| < |Re z| + |Im z|
Ejemplos.
|(2 + i)^7 | = |2 + i|^7 =
7
|2+3 1 − 4 ii | = |2 + 3i|/| 1 − 4 i| =
22 + 3^2 /
12 + 4^2 =
La conjugaci´on compleja
Si z = a + bi es un complejo entonces el conjugado de z es el complejo ¯z = a − ib. Geom´etrica- mente la conjugaci´on corresponde a una reflecci´on del plano complejo en el eje real.
La conjugaci´on tiene las siguientes propiedades:
z + w = z + w
zw = z w
z/w = z/w siempre que w 6 = 0
zz = |z|^2 as´ı que 1 /z = ¯z/|z|^2
z es real si y solo si z = z
Rez = (z + ¯z)/2 y Imz = (z − ¯z)/ 2
z = z
Ejemplo. Si z = 3 + 2i entonces 1/z = ¯z/|z|^2 = 3 − 132 i
Inversamente, para hallar una raiz n-esima de un complejo basta con sacarle la raiz n-esima a su modulo y dividir su argumento entre n.
Ejemplos.
Calcula (1 + i)^7.
1 + i =
2(cos^14 π + isen^14 π) entonces (1 + i)^7 =
7 (cos^74 π + isen^74 π) = 2^7 /^2 (1 − i).
Encuentra una raiz cubica de i. i = (cosπ 2 + isenπ 2 ) entonces una raiz cubica de i es v = cosπ 6 + isenπ 6 =
√ 3 2 +^
i 2
Teorema. Cada n´umero complejo z 6 = 0 tiene n raices n-esimas complejas.
Demostraci´on. Observar que 1 tiene n raices n-esimas, que son los complejos de m´odulo 1 y argumentos 2π/n, 4π/n, 6π/n,...2nπ/n. Ahora si un complejo z tiene m´odulo r y argumento φ, entonces el complejo w con m´odulo n
r y argumento φ/n es una raiz n-esima de z. Al multiplicar una raiz n-esima de z por las raices n-esimas de 1 se obtienen n raices n-esimas de z.
Ejemplo.
Las raices cubicas de 1 son:
w = cos^23 π + isen^23 π = −^12 +
√ 3 2 i^ w
(^2) = cos^4 π 3 +^ isen
4 π 3 =^ −
1 2 −^
√ 3 2 i^ w
Las raices cubicas de i son
v =
√ 3 2 +^
i 2 ,^ vw^ = (
√ 3 2 +^
i 2 )(−
1 2 +^
√ 3 2 i) =^ −
√ 3 2 −^
i 2 vw
√ 3 2 +^
i 2 )(−
1 2 −^
√ 3 2 i) =^ −i
La formula de De Moivre puede usarse para obtener identidades trigonom´etricas. Por ejemplo, sabemos que para cada angulo θ:
cos(3θ) + isen(3θ) = (cosθ + isenθ)^3 = cos^3 θ + 3icos^2 θsenθ − 3 cos^2 θsenθ − sen^3 θ
As´ı que cos(3θ) = cos^3 θ − 3 cosθsen^2 θ sen(3θ) = 3cos^2 θsenθ − sen^3 θ
Problemas
- Calcula:
a) |(2+3 4 −ii )^3 | b) arg( √^12 + √^12 i)(
√ 3 2 −^
1 2 i) c) (
5 i)−^1 d ) ( √^12 − √^12 i)^99
- Expresa la reflecci´on del plano complejo en el eje imaginario usando la conjugaci´on.
- Encuentra las raices c´ubicas de −i.
- Encuentra todas las soluciones de z^4 = − 1
- Demuestra que si z es una raiz compleja de un polinomio P con coeficientes reales, en- tonces ¯z tambi´en es raiz de P.
- Demuestra que si z es una raiz n-esima de la unidad y n 6 = 1, entonces z+z^2 +z^3 +...zn^ = 1
- Si z 1 z 2 , z 3 y z′ 1 , z 2 ′, z′ 3 son numeros complejos, entonces el tr´ıangulo z 1 z 2 , z 3 es semejante al tri´angulo z′ 1 z′ 2 , z 3 ′ si y solo si z z^11 −−zz^23 = z
′ 1 −z′ 2 z′ 1 −z′ 3.
- Da una condici´on necesaria y suficiente para que... a) z 1 , z 2 y z 3 est´en en una l´ınea recta. b) z 1 , z 2 , z 3 y z 4 est´en en una l´ınea recta o en un c´ırculo.
- Si al n´umero complejo z=a+bi le asociamos la matriz φz =
[
a −b b a
]
muestra que:
a) φz 1 +z 2 = φz 1 + φz 2 b) φz 1 z 2 = φz 1 φz 2 c) φz− 1 = φ− z^1 d) |z| = 1 si y solo si detφz = 1
