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Curso de Álgebra Lineal
1. NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 Definición, origen y operaciones fundamentales con números complejos Definición. Un número complejo, z, es una pareja ordenada (a, b) de números reales tales z = (a, b) que cumplen conciertas propiedades. Origen. Los números complejos tiene su orine en la solución de la ecuación x 2
- 1 = 0. Como puede observarse al encontrar la solución para esta ecuación se obtiene que x= √-1, pero en los números reales este número no existe, pues no existe un número real cuyo cuadrado sea -1. Es así como fueron desarrollados los números complejos, y a esa raíz se le llamo número imaginario el cual se indica con la letra “i”, la cual se define como i = √-1. Operaciones Los números reales a, b se denominan parte real y parte imaginaria, respectivamente, del número complejo z, es decir, a = parte real de z = Re(z), b = parte imaginaria de z = Im(z). La pareja (x, 0) se identifica con el número real x, mientras que una pareja del tipo (0, y) es un número imaginario puro. La pareja (0,1) se llama unidad imaginaria “i”. Los números complejos z 1 = (a (^) 1, b (^) 1) y z 2 = (a2, b (^) 2), son iguales sí y sólo sí sus parte reales a 1 y a 2 son iguales y sus partes imaginarias b 1 y b 2 son iguales, en otra palabras, z 1 = z 2 , sí y sólo sí a 1 = a 2 y b 1 = b (^) 2. Los números complejos cumplen con las siguientes reglas de operación: Suma, para cada par de números complejos z 1 y z 2 existe un número complejo único z3, llamado suma de z 1 y z2, denotado por z 3 = z 1 + z2, esto queda definido de la siguiente forma: si z 1 = (a 1 , b (^) 1) y z 2 = (a2, b (^) 2), entonces z3 = z
- z2 = = (a1, b (^) 1) + (a (^) 2, b (^) 2) = (a 1 + a2, b 1 + b (^) 2). Multiplicación, para cada par de números complejos z 1 y z 2 existe un número complejo único z3, llamado producto de z 1 y z2, denotado por z 3 = z1· z2,
definido en la forma siguiente: si z 1 = (a 1 , b (^) 1) y z 2 = (a 2 , b (^) 2), entonces z 3 =z 1 · z 2 = (a1, b (^) 1) · (a2, b (^) 2) = (a1·a 2 – b (^) 1·b (^) 2, a1b 2 + a2·b (^) 1). Ejemplos. Si z 1 = (4, -7) y z 2 = (9,3). Calcular z 1 + z 2 y z1· z 2. z 1 + z 2 = (4, -7) + (9, 3) = (4 + 9, -7 + 3) = (13, -4) z 1 · z 2 = (4, -7) ·(9,3) = (36 + 21, 12 – 63) = (57, - 51)
1.2 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo Los números complejos surgen por la necesidad de encontrar la solución de la ecuación x 2 + 1 = 0, cuyas soluciones son: x = ± √െ1మ^ , como puede observarse esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales ya que no existe un número real que elevado al cuadrado de como resultado -1. Este nuevo número se definió como un número imaginario denotado por la letra i, de manera que i = మ√െ1^ , y es tal que se tienen los siguientes valores o potencias de i. I 2 = -
I 3 = -√െ1మ I 4 = 1
I 5 = (^) √െ1మ I 6 = - De esta manera surge un nuevo sistema numérico, llamado sistema de los números complejos, que es un sistema numérico más amplio y que contiene totalmente a sistema de los números reales. Los números complejos se denotan con la letra C, y el valor absoluto de un número complejo se expresa de la siguiente manera. Sea z = x + i y, un
Se puede representar un número complejo cualquiera z = a +bi en forma polar, dando su módulo y su argumento. Esta forma también se llama forma trigonométrica. El módulo de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa. |z| = r El Argumento de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. arg (z) = a Por lo cual z = r (cos ð + i sen α) Forma Binomial Forma binomial z = a + bi
1.4 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo El teorema de Moivre afirma que para un ángulo arbitrario “α” y cualquier número entero n, (cos α ± i sen nα). En particular, si n es un número natural, entonces, (cos α ± i sen nα) n^ = cos nα ± i sen nα y (cos α ± i sen nα) n^ = cos (- nα) ± i sen(- nα)
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Introducción
El presente curso trata sobre álgebra lineal. Al buscarla palabra “lineal” en un diccionario se encuentra, entre otras definiciones la siguiente: lineal, perteneciente en lo relativo a línea, sin embargo, en matemáticas la palabra lineal tiene un significado más amplio. Esto implica que nuestro estudio está en relación con las propiedades de la recta, por lo cual veremos algunas propiedades de esta.
- Pendiente, m, de una recta que pasa por los puntos (x (^) 1, y (^) 1) y (x (^) 2, y 2 ) está dada por: m = ௬ଶି௬ଵ௫ଶି௫ଵ , si x 1 ≠ x (^) 2.
- Sí x 2 – x^1 = 0 y y^2 – y^1 ≠^ 0, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida.
- Cualquier recta (a excepción de aquella que tiene una pendiente indefinida) se puede describir con su ecuación en la forma pendiente ordenada al origen y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el valor de y en donde cruza al eje vertical).
- Dos rectas distintas son paralelas sí y sólo sí tienen la misma pendiente.
- Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by +c = 0, (b ≠ 0), entonces se puede calcular fácilmente la pendiente m, como m = -
- Si m1 es la pendiente de la recta l 1 y m 2 es la pendiente de la recta l (^) 2, m 1 ≠ 0 y l 1 y l 2 son perpendiculares, entonces m 2 = 1/m1.
- Las rectas paralelas al eje x tiene pendiente cero.
- Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.
2.1 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x, y: a1x + b (^) 1y + c = 0
x – y – 7 = 0 2x – 2y -14 = 0 Como puede observarse las ecuaciones que forman el sistema son equivalentes, es decir, una es múltiple de la otra. Es decir, cualesquiera dos números, x y y que satisfacen la primera ecuación también satisfacen la segunda y viceversa. Esto se puede comprobar fácilmente si se multiplica la primera ecuación por 2, esto nos lo permite, de acuerdo con la propiedad 2, al ser la ecuaciones equivalentes, lo único que podemos hacer es despejar una incógnita en términos de cualquiera otra de las dos ecuaciones. Entonces x –y = 7 o y = x – 7, de modo que el par (x, x – 7) es una solución del sistema anterior para cualquier número real x, en otras palabras, el sistema tiene un número infinito de soluciones, así algunas de las soluciones serán (7, 0), (0, -7), (8, 1), (1, -6), (3, -4) y (-2, -9). Ejemplo 3: sistema sin solución x – y – 7 = 0 2x – 2y -13 = 0 Si se multiplica la primera ecuación por - 2, se obtiene la ecuación - 2x + 2y + 14 = 0, que sumada con la segunda ecuación nos queda que 1 = 0, lo cual es una contradicción, por lo cual el sistema no tiene solución. 2.2 Gráficas de sistemas de ecuaciones lineales Para graficar un sistema de ecuaciones lineales o simultáneas se realizade la sigueinte manera. Supóngase que se desa graficar el siguiente sistema usando el método de derterminantes: 3x +6y -18 = 0 -7x +14y -21 = 0 Usando el método de tabulación x = - 1, 0, 1
y = 21/6, 3, 15/ y = 1, 3/2, 2 2.3 Propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales a) Un sistema es inconsistente si no tiene solución b) Dos sistemas son equivalentes si uno es un múltiplo del otro c) El sistema a1x + b (^) 1y + c = 0 a2x + b (^) 2y + d = 0 de dos ecuaciones con dos incógnitas x, y, no tiene solución, tiene una solución única o tiene un número infinito de soluciones, es decir, tiene solución y es única, sí y sólo sí a (^) 1b 2 – b (^) 1a 2 = 0.
2.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales Existen el álgebra diferentes métodos para encontrar la solución de un sistema e ecuaciones lineales, a continuación veremos el método de igualación. Supóngase que se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales o simultáneas. 6x + 3y – 5 = 0 -4x – 5y + 9 = 0 Y se desea encontrar la solución del sistema por el método de igualación. Entonces se procede de la siguiente manera.
Vector columna de n componentes, se define como un conjunto ordenado de n números, escritos de la siguiente manera:
A cada x (^) i se les llama componente del vector, primera componente, segunda componente, etc. Determinantes
El determinante, A = ܽቀܽ11ܽ21^ ܽ12 22 ቁ, de una matriz o espacio vectorial se calculan de la siguiente manera: a11 a12 – a21a22, y se denota por.
det A = ݁݀ ܽቀ ݐ ܽ11ܽ21^ ܽ12 22 ቁ = a11 a12 – a21a
3.2. Operaciones entre matrices Las operaciones entre matrices se definen y calculan, de manera análoga a las operaciones aritméticas.
a) La operación suma. Sean ܣൌ ቀെ3 8 82 ቁ, B = ቀ^19 െ3^2 ቁ, y se desean realizar las siguientes operaciones. A + B, A – B, entonces se hace lo siguiente.
A + B = ቀെ3 8 82 ቁ ቀ^19 െ3^2 ቁ = ቀെ2 17 െ1^10 ቁ
A – B = ቀെ3 8 82 ቁ െ ቀ^19 െ3^2 ቁ = ቀെ4െ1^65 ቁ
b) La operación de multiplicación
A * B = ቀെ3 8 82 ቁ ∗ ቀ^19 െ3^2 ቁ = ቀ^6926 െ30 12 ቁ
3.2 Matriz Inversa Supóngase que se tienen dos matrices A y B de n x n. Suponga que AB = BA = I Entonces B se llama la inversa de A y se denota por A -1^ , y así de esta manera se tiene que: A A-1^ = A-1^ A = I. A -1^ A
3.3. Definición y propiedades de un determinante Sea A = la siguiente matriz de 2 x 2, entonces se define el determinante de A de la manera siguiente:
A = ܽቚܽ11ܽ21^ ܽ12 22 ቚ = a11 a22 – a12 a
Ejemplo calcular el determinante de ቚ2 െ 6 3 5 ቚ, entonces los determinantes al igual que las matrices, en particular, y que los números reales en general se restan las multiplicaciones diagonales.
det ቚ2 െ 6 3 5 ቚ ൌ 10 + 18 = 28
A continuación se estudiará un caso especial de función denominada transformación lineal que aparecen continuamente en el estudio del álgebra lineal.
5.1. Definición de transformación lineal, núcleo o kernel Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v є V un vector único T v є W y que satisface, para cada u y v y cada escalar α: T(u + v) = Tu + Tv y T(α v ) = αT v Aclaremos el concepto de transformación lineal mediante los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: Proyección sobre el eje x
En R^2 se define una función T mediante la fórmula Tቀ ௫௬ ቁ = ቀ (^) ௬௫ି ቁ. El significado geométrico del presente ejemplo es que se trata de una transformación T que toma un vector en R 2 y lo refleje al eje x.
Ejemplo 2: Transformación lineal de R^2 en R 2
Sea T: R 2 → R^3 , definida de la siguiente manera Tቀ ௫௬ ቁ = Tെ ݔቆ
௫ା௬௬ ݕ3ቇ. Tቂቀ ௫ଵ௬ଵ ቁ ቀ ௫ଶ௬ଶ ቁቃ =Tቀ ௫ଵା ௫ଶ௬ଵା ௬ଶቁ =ቆ (^) ௫ଵା௫ଶା ௬ଵା ௬ଶ௫ଵା ௫ଶା௬ଵା௬ଶଷ௬ଵାଷ௬ଶ ቇ = ቆ ௫ଵା ௬ଵ௫ଵି ௬ଵଷ௬ଵ ቇ + ቆ ௫ଶା ௬ଶ௫ଶି ௬ଶଷ௬ଶ ቇ
Pero
ቆ ௫ଵା ௬ଵ௫ଵି ௬ଵଷ௬ଵ ቇ = T ቀ ௫ଵ௬ଵ ቁ y ቆ ௫ଶା ௬ଶ௫ଶି ௬ଶଷ௬ଶ ቇ Tቀ ௫ଶ௬ଶ ቁ
Así que
Tቂቀ ௫ଵ௬ଵ ቁ ቀ ௫ଶ௬ଶ ቁቃ = Tቀ ௫ଵ௬ଵ ቁ T ቀ ௫ଶ௬ଶ ቁ
De manera similar
Tቂα ቀ ௫௬ ቁቃ =Tቀ௫୷ ቁ = ቆ (^) ௫ି ௬௫ା ௬ଷ௬ ቇ = α ቆ ௫ା ௬௫ି ௬ଷ௬ ቇ = αTቀ (^) ௬௫ ቁ.
Ejemplo 3: La transformación cero Sean V y W dos espacios vectoriales y definida T: V → W por T v = 0 para todo v en V. Entonces T(v 1 + v (^) 2) = 0 = 0 + 0 = Tv 1 + Tv (^) 2, y a su vez T(α v ) = 0 = α = αT v.
Ejemplo 4: La transformación identidad Sea V un espacio vectorial y definida I: V → V por I v = v , para todo v en V. Claramente I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad.
Pasemos a las definiciones de Núcleo o kerrnel y de la imagen de una transformación lineal. Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces El núcleo o kernel de una transformación lineal, T, está dado por nuc (T) = { v є V: T v = 0 }
- La imagen de una transformación lineal La imagen de una transformación lineal, se define como:
Sea T: R^3 en R^4 definida como T൬ ୶୷௭൰ = ቌ (^) ଶ௫ି௬ି௭ି୶ି୷୷ା ௫ା௬ାଶ௭
ቍ. Encontrar
a) La matriz de la transformación lineal
T൭
ଵ
൱, T൭
ଵ
൱ , T ൭
ଶ
൱, de modo que
AT = ൮
Nótese que T൮
௫ା௬ାଶ௭
ቍ, es la matriz de la
transformación
b) El núcleo de la transformación lineal. La forma escalonada por renglones de
൲ es ൮
൲ por lo tanto un T = { 0 }
c) La imagen de la transformación
ImT = 3 5.4. Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales
5.5. Álgebra de las transformaciones lineales Sea T 1 y T 2 dos transformaciones lineales, entonces
- T 1 + T 2 = T 2 + T 1
- Para toda transformación lineal existe una transformación nula, denotada por T( 0 ) = 0 tal que T + 0 = 0 + T = T
- Para toda transformación lineal existe su inversa, denotada por –T, tal que T
- Si T (^) 1, T (^) 2, T 3 son tres transformaciones lineales, entonces: T1(T 2 + T 3 ) = (T 1 T2) + (T 1 T3)
6. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS
OBJETIVO:
Conocer los conceptos de valores y vectores propios, así como investigar las propiedades de los vectores y valores propios de una transformación lineal.
6.1. Definición de valores propios VALORES PROPIOS
Sea T: V → W una transformación lineal. Lo que se desea es encontrar un vector v en V tal que T v y v sean paralelos, en otras palabras, se busca un vector v y un escalar λ tal que sean paralelos, es decir, T v = λ v. SI v ≠ 0 y λ satisface la expresión anterior, entonces a λ se le llama vector propio de T, y al vector v se le llama vector propio de T. Ejemplo
Sea A = ቀ^106 െ18െ11ቁ, entonces Aቀ^21 ቁ = ቀ^106 െ18െ11ቁ ቀ^21 ቁ = ቀ^21 ቁ. Así λ 1 = 1 es
un valor característico de A cuyo vector característico v 1 = ቀ^21 ቁ.
Análogamente Aቀ^32 ቁ = = ቀ^106 െ18െ11ቁ ቀ^32 ቁ = ቀെ6െ4ቁ = -2ቀ^32 ቁ, de modo que λ 2 = -2 es un valor característico de A con el correspondiente vector característico v 2 = ቀ^32 ቁ.
6.2. Polinomio y ecuación característica Sea A una matriz de n x n. Entonces λ es un valor característico de A sí y sólo sí: p(λ) = det (A – λI) = 0. A esta ecuación se le llama ecuación característica de A y a p(λ) se le llama polinomio característico de A. 6.3. Determinación de los valores y vectores propios de una matriz cuadrada
Sea A= ൭
൱. Entonces
det (A – λI) = det ൭
1 െ λ െ1 4 3 2 െ λ െ 2 1 െ1 െ λ
൱ = - (λ^3 - 2λ^2 - 5λ + 6), tiene por
valores característicos λ 1 = 1, λ 2 = -2, λ 3 = 3. Para λ 1
(A –I) v = ൭
൱, tiene por vector característico V1 =
൭
൱. Análogamente para v 2 y v (^) 3, se tiene que v 2 = ൭
൱ y para
v 3 = ൭
6.3. DETERMINACIÓN DE LOS VALORES Y VECTORES
Las formas cuadráticas surgen como medios para obtener información sobre las secciones cónicas en R^2 (circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas), describir superficies cuadráticas. Definición Una ecuación cuadrática en dos variables sin términos lineales es una ecuación de la forma: ax 2 + bxy + cy 2 = d Donde | ܽ|+| | ܾ |ܿ |^ ് 0. Esto es, al menos uno de los números a, b o c es diferente de cero. Definición
