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Una introducción a los números complejos, incluyendo su definición, representación gráfica, operaciones básicas como suma, producto y división, así como conceptos avanzados como potenciación, radicación y exponencial compleja. Se incluyen ejemplos y ejercicios de transferencia para afianzar el aprendizaje. El documento está dirigido a estudiantes de ingeniería industrial de la universidad nacional autónoma de tayacaja 'daniel hernández morillo' y abarca temas fundamentales para comprender esta rama de las matemáticas.
Tipo: Resúmenes
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Curso: ´Algebra Lineal
Msc. Ing. Liborio E. Mej´ıa Huaney
Universidad Nacional Aut´onoma de Tayacaja “Daniel Hern´andez Morillo”
Facultad de Ingenier´ıa Industrial Escuela Profesional de Ingenier´ıa Industrial
Pampas, mayo del 2024
1 Introducci´on
(^2) Definici´on
(^3) M´odulo y Argumento de un N´umero Complejo
4 Operaciones entre n´umeros complejos
(^5) Exponencial Compleja
(^6) Actividades de Transferencia
7 Bibliograf´ıa
x^2 + 1 = 0 → x^2 = − 1 → no puede ocurrir en R.
→ x =
→ ∄ soluci´on en R.
En el conjunto C se define la unidad imaginaria i de la siguiente manera: i =
− 1 , lo cual implica que i^2 = − 1.
Si volvemos a nuestro ejemplo, tenemos que: x =
−1 = i ∈ C.
La ecuaci´on x^2 + 1 = 0, tiene soluci´on en los numeros complejos y su
soluci´on es: x = i.
Comprobaci´on : x^2 + 1 = 0 → i^2 + 1 = −1 + 1 = 0 → x = i es
soluci´on de la ecuaci´on.
Los N´umeros Complejos se denotan con la letra C y se definen de la siguiente
manera. C = { z/z = a + bi ; a ; b ∈ R}
donde: a = Re ( z ) ⇒ parte real de z y
b = Im ( z ) ⇒ parte imaginaria de z
Cuando a = 0, al n´umero z se le llama imaginario puro. Es decir,
z = 0 + 1 · i = i ⇒
{ a = Re ( z ) = 0 y b = Im ( z ) = i ⇒ imaginario puro
z = a + b · i ⇒ forma can´onica o bin´omica de z.
z = a − b · i ⇒ conjugado de z.
− z = − a − b · i ⇒ opuesto de z.
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi representado gr´aficamente es la medida del vector desde su punto inicial (origen) hasta su afijo o punto
final ( a, b ). Se designa por | z |.
Se denota por: r = | z | =
a^2 + b^2
adem´as, el argumento se representa por: θ = arg ( z ) = tan −^1
( b
a
)
.
Calcular el m´odulo y el argumento de z = −
8 i , y grafique.
Soluci´on Se calcula el m´odulo y el argumento:
r = | z | =
√ (−
θ = arg ( z ) = tan −^1
( y
x
)
= tan −^1
( −
)
=
5 π
4
o θ = 225◦
Representaci´on gr´afica
De la representaci´on cartesiana del n´umero complejo Z se obtiene que
a = ∥ z ∥ cos ( θ ) b = ∥ z ∥ sen ( θ )
} ⇒ z = a + bi ⇒ z = ∥ z ∥( cos ( θ )+ isen ( θ )) = ∥ z ∥ cis ( θ ).
Haciendo uso de la f´ormula de Euler: eiθ^ = cos ( θ ) + isen ( θ ), se encuentra
otra forma de la representaci´on polar de un n´umero complejo z = ∥ z ∥ eiθ.
Graficar los puntos z 1 = 2 + 2 i , z 2 = −3 + i y z 3 = 0 − 2 i en el plano complejo.
Soluci´on. Los puntos quedan ubicados de acuerdo a la siguiente gr´afica.
Dados los numeros complejos Sean z 1 = a 1 + ib 1 y z 2 = a 2 + ib 2 entonces z 1
z 2
a 1 + ib 1
a 2 + ib 2
( a 1 + ib 1 )( a 2 − ib 2 )
( a 2 + ib 2 )( a 2 − ib 2 )
z 1
z 2
a 1 a 2 − ia 1 b 2 + ib 1 a 2 + b 1 b 2
a^22 − ib 2 a 2 + ib 2 a 2 + b^22 z 1
z 2
a 1 a 2 + b 1 b 2
| z 2 |^2
b 1 a 2 − a 1 b 2
| z 2 |^2
; ya que | z 2 |^2 = a^22 + b^22
¿Cu´al es el resultado si z 1 = z 2?
Dados z 1 = 3 − 4 i , z 2 = 1 + 2 i y z 3 = −
i realizar la suma z 1 + z 2 + z 3.
Soluci´on.
z 1 + z 2 + z 3 = (3 − 4 i ) + (1 + 2 i ) + (− 1 / 4 i ) = 4 −
i.
Dados z 1 = 2 − 5 i y z 2 = 1 − 2 i , realizar el producto z 1 z 2 y obtener ( z 1 )^2.
Soluci´on. De acuerdo con el procedimiento descrito tenemos que
z 1 z 2 = (2 − 5 i )(1 − 2 i ) = 2 − 4 i − 5 i + 10 i^2 = − 8 − 9 i ,
( z 1 )^2 = (2 − 5 i )^2 = 4 − 20 i + 25 i^2 = 4 − 20 i − 25 = − 21 − 20 i.
Dados los n´umeros z 1 = −3 + 2 i y z 2 = 1 + 4 i , Hallar sus m´odulos.
Soluci´on.
Al calcular el valor absoluto de ambos n´umeros, tenemos | z 1 | = | − 3 + 2 i | =
√ (−3)^2 + 2^2 =
13 y
| z 2 | = |1 + 4 i | =
Resolver:
3 + 2 i
1 − 2 i
Soluci´on. 3 + 2 i
1 − 2 i
(3 + 2 i )(1 + 2 i )
(1 − 2 i )(1 + 2 i )
3 + 6 i + 2 i + 4 i^2
1 − (2 i )^2
=
3 + 8 i + 4(−1)
1 − 4 i^2
=
−1 + 8 i
5
i
Con respecto a las operaciones de n´umeros complejos en forma polar, se deja para que el estudiante revise las bibliograf´ıas recomendadas.
La representaci´on polar de un n´umero complejo es conveniente para obtener
sus potencias zn^ = ∥ z ∥ ne ( iθn )^ = ∥ z ∥ n ( cos ( nθ ) + isen ( nθ )),
tambi´en es cierto que zn^ = ∥ z ∥ n ( cos ( θ ) + i.sen ( θ )) n ,
se sabe que ( cos ( θ ) + i.sen ( θ )) n^ = cos ( nθ ) + isen ( nθ ), y por consiguiente: zn^ = ∥ z ∥ n ( cos ( nθ ) + isen ( nθ ))
Dado z = 1 − i. Hallar z −^5
Hallamos el m´odulo y el argumento de z = 1 − i.
r = | z | =
√ 12 + (−1)^2 =
Todo n´umero complejo no nulo admite n ra´ıces n-´esimas distintas dadas
por:
wk = n
r [ cos (
θ + 2 kπ
n
) + isen (
θ + 2 kπ
n
donde: k = 0; 1; 2; 3; · · · ; n − 1 y adem´as, z = rcis ( θ ), r = | z | y θ = arg ( z )
Calcular las ra´ıces quintas del n´umero complejo z = − 1 − i.
Hallamos el m´odulo y el argumento de z = − 1 − i. r = | z | =
√ (−1)^2 + (−1)^2 =
θ = arg ( z ) = tan −^1
( y
x
)
= tan −^1
( − 1
− 1
)
=
5 π
4
o θ = 225◦
Entonces, como z = − 1 − i → z =
[
cos (
5 π
4
) + isen (
5 π
4
]
.
Gr´aficamente
