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Contenido
- 3.1 BINOMIAL.
- 3.1.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar.
- 3.1.2 Gráfica
- 3.2 POISSON
- 3.2.1 Propiedades: Media, Varianza y Desviación Estándar.
- 3.2.2 Gráfica.
- 3.3 HIPERGEOMÉTRICA
- 3.3.1 Propiedades: Media, Varianza y Desviación Estándar.
- 3.3.2 Gráfica.
- 3.4 NORMAL.
- 3.4.1 Propiedades: Media, Varianza y Desviación Estándar.
- 3.4.2 Gráfica
- 3.5 DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
- 3.6 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CHI CUADRADA Y F.
4.1 MUESTREO.
El muestreo es una técnica estadística fundamental utilizada para obtener información sobre una población más grande a partir de un subconjunto representativo de esa población. En lugar de estudiar o encuestar a todos los miembros de una población, se selecciona cuidadosamente una muestra, que es un grupo más pequeño de individuos o elementos, y se realiza el análisis sobre esta muestra. La principal ventaja del muestreo es que permite obtener conclusiones sobre la población completa de manera más eficiente, económica y práctica que si se recopilaran datos de todos los elementos. Sin embargo, para que los resultados sean válidos y generalizables, es crucial que la muestra se seleccione de manera aleatoria o utilizando métodos estadísticamente sólidos y que represente fielmente la diversidad y características de la población subyacente. El diseño del muestreo, incluida la determinación del tamaño de la muestra y el método de selección, es un aspecto clave para garantizar la validez y la precisión de los resultados obtenidos a partir de la muestra. El muestreo se aplica en una amplia variedad de contextos, desde encuestas de opinión pública y estudios de mercado hasta investigaciones científicas y auditorías financieras, entre otros.
4.1.1 Tipos de muestreo aleatorio, sistematizado, estratificado y
conglomerado
1. Muestreo aleatorio simple El muestreo aleatorio simple es el método de muestreo básico utilizado en métodos estadísticos y cálculos. Para recopilar una muestra aleatoria simple, a cada unidad de la población objetivo se le asigna un número. Luego se genera un
3. Muestreo estratificado El muestreo estratificado es una técnica de muestreo en la que el investigador divide a toda la población objetivo en diferentes subgrupos o estratos, y luego selecciona aleatoriamente a los sujetos finales de los diferentes estratos de forma proporcional. Este tipo de muestreo se utiliza cuando el investigador quiere resaltar subgrupos específicos dentro de una población. Por ejemplo, para obtener una muestra estratificada de estudiantes universitarios, el investigador primero tendría que organizar a la población por grado universitario y luego seleccionar el número adecuado de estudiantes de primer, segundo, tercer y último año. Esto aseguraría que el investigador tenga cantidades adecuadas de sujetos de cada grado en la muestra final. 4. Muestreo por conglomerados El muestreo por conglomerados puede ser utilizado cuando es imposible o impráctico elaborar una lista exhaustiva de los elementos que constituyen a la población objetivo. Sin embargo, generalmente los elementos de la población ya están agrupados en subpoblaciones y las listas de esas subpoblaciones ya existen o pueden ser creadas. Por ejemplo, supongamos que la población objetivo de un estudio eran los miembros de iglesias en Guatemala. No existe una lista de los miembros de las iglesias en el país. Sin embargo, el investigador podría elaborar una lista de iglesias ubicadas en Guatemala, seleccionar una muestra de iglesias y luego conseguir listas de los miembros de esas iglesias.
4.2 CONCEPTO DE DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO DE LA MEDIA
La distribución de muestreo de la media es un concepto fundamental en estadística inferencial, que se refiere a la distribución de las medias de múltiples muestras extraídas de la misma población. Este concepto es crucial para entender cómo las muestras pueden ser utilizadas para hacer inferencias sobre una población completa. Definición y Contexto La distribución de muestreo de la media se forma cuando tomamos todas las posibles muestras de un tamaño específico de una población y calculamos la media de cada muestra. Luego, se analiza la distribución de estas medias muestrales. Este análisis es esencial para hacer inferencias sobre la media de la población (μ), ya que proporciona información sobre la variabilidad y el comportamiento de las medias de las muestras. Propiedades de la Distribución de Muestreo de la Media Media de la Distribución de Muestreo (μₓ̄): La media de todas las medias muestrales (μₓ̄) es igual a la media de la población (μ). Esto significa que, en promedio, las medias de las muestras son un estimador imparcial de la media de la población. Matemáticamente, se expresa como: μ x = μ Desviación Estándar de la Distribución de Muestreo (σₓ̄): La desviación estándar de la distribución de muestreo, también conocida como error estándar de la media, se calcula dividiendo la desviación estándar de la población (σ) por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (n): σ x = σ √ n
Pruebas de Hipótesis: Las pruebas de hipótesis sobre la media de la población se basan en la distribución de muestreo de la media. Al comparar la media muestral con una media hipotética de la población, se puede determinar si hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula.
4.2.1 Propiedades: Media, Varianza y Desviación Estándar.
La distribución muestral de la diferencia entre dos medias es un concepto clave en la estadística inferencial, utilizado para comparar las medias de dos poblaciones distintas. Este tipo de análisis es común en investigaciones donde se desea determinar si hay una diferencia significativa entre los promedios de dos grupos. A continuación, se describe este concepto en detalle. Definición y Contexto La distribución muestral de la diferencia entre dos medias se refiere a la distribución de las diferencias entre las medias de todas las posibles muestras de dos poblaciones independientes. Supongamos que tenemos dos poblaciones con medias μ 1 y μ 2 , y queremos estimar la diferencia entre estas medias, μ 1 − μ 2. Para ello, seleccionamos muestras aleatorias de ambas poblaciones, calculamos las medias muestrales x 1 y x 2 , y analizamos la distribución de x 1 − x 2. Propiedades de la Distribución Muestral de la Diferencia entre dos Medias
1. Media de la Distribución de Muestras La media de la distribución de las diferencias de las medias muestrales es igual a la diferencia entre las medias de las poblaciones: μ x 1 − x 2 = μ 1 − μ 2 2. Varianza y Desviación Estándar Si las dos poblaciones tienen desviaciones estándar σ^ 1 y σ^ 2 , y tamaños de muestra n 1 y n 2 , la varianza de la distribución de la diferencia de las medias es la
suma de las varianzas individuales divididas por los respectivos tamaños de muestra:
var ( x 1 − x 2 ) =
σ 1 2 n 1
σ 2 2 n 2 La desviación estándar de la distribución muestral (también llamada error estándar de la diferencia de medias) es: σ x 1 − x 2 =
σ 1 2 n 1
σ (^) 2 2 n 2 Importancia y Aplicaciones
- Pruebas de Hipótesis : Una aplicación común es en la prueba de hipótesis para comparar dos medias. Por ejemplo, se puede utilizar para determinar si hay una diferencia significativa entre los promedios de dos grupos (como tratamiento vs. control en un experimento).
- Intervalos de Confianza: Se pueden construir intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias. Estos intervalos proporcionan un rango de valores que, con un cierto nivel de confianza, contiene la verdadera diferencia entre las medias de las poblaciones.
- Estudios Comparativos: La distribución muestral de la diferencia entre dos medias es fundamental en estudios comparativos, como ensayos clínicos, estudios de mercado, y evaluaciones educativas, donde es crucial comparar dos grupos diferentes.
4.3 TEOREMA DE LÍMITES CENTRAL.
originales no es normal. Esto es particularmente útil cuando se trabaja con grandes muestras.
- Justificación para el Uso de la Distribución Normal: En la práctica, muchas técnicas estadísticas asumen que los datos se distribuyen normalmente. El TCL proporciona una justificación teórica para estas técnicas cuando se manejan grandes muestras, ya que las medias muestrales se distribuirán aproximadamente de forma normal.
- Aplicaciones en Diversos Campos: El TCL es aplicado en numerosos campos como la economía, la ingeniería, la biología, y las ciencias sociales. Por ejemplo, en el análisis de errores de medición, en la teoría del muestreo, y en la evaluación de riesgos en finanzas. Condiciones del Teorema Central del Límite Aunque el TCL es extremadamente poderoso, se deben cumplir ciertas condiciones para que se aplique correctamente:
- Independencia: Las variables aleatorias deben ser independientes entre sí. Esto significa que el valor de una variable no debe influir en el valor de otra.
- Distribución Identica: Las variables deben tener la misma distribución, aunque versiones del TCL también existen para variables no idénticamente distribuidas pero que siguen ciertas condiciones.
- Tamaño de la Muestra: El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande. Generalmente, un tamaño de muestra de 30 o más se considera suficiente en la práctica, aunque esto puede variar dependiendo de la forma de la distribución original.
Variantes del Teorema Central del Límite Existen varias versiones del Teorema Central del Límite para diferentes situaciones:
- Lindeberg-Levy CLT: Es la forma más simple y clásica del TCL para variables i.i.d.
- Lindeberg-Feller CLT: Una versión más general que permite ciertas dependencias entre las variables y distribuciones no idénticas.
- Teorema Central del Límite para Variables Dependientes: Variantes que consideran variables aleatorias dependientes bajo ciertas condiciones de dependencia.
4.4 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA DE UNA
POBLACIÓN.
El cálculo del tamaño de la muestra no es una simple operación aritmética que nos proporcione un valor. Es una función matemática, por lo tanto, el cambio de una variable, necesariamente se acompaña del cambio de la otra considerada en la ecuación. Permite una mejor aproximación al número que se requiere, ajustando a su vez el poder estadístico con otros parámetros. Se denota por: y = f(x) donde: y = variable dependiente (atributo o característica cuyo cambio es el que interesa medir, también se le denomina resultante o desenlace. En el cálculo del tamaño de la muestra, es el número de participantes que se necesitan).
4.5 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA, CON EL USO
DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Y “T” DE STUDENT.
Los intervalos de confianza para la media se utilizan para estimar el rango en el que se espera que caiga la media poblacional con un cierto nivel de confianza. Dependiendo del tamaño de la muestra y si la desviación estándar poblacional es conocida, se pueden usar la distribución normal (z) o la distribución t de Student para calcular estos intervalos. Intervalo de Confianza usando la Distribución Normal Cuando el tamaño de la muestra es grande (n > 30) y/o la desviación estándar poblacional (𝜎) es conocida, se utiliza la distribución normal (z) para calcular el intervalo de confianza. Fórmula: IC = X ± Za / 2 ∗( σ √ n
Donde: 𝐼𝐶: es el intervalo de confianza. X : es la media muestral. Za / 2 : es el valor crítico de la distribución normal para un nivel de confianza dado (por ejemplo, 1.96 para un nivel de confianza del 95%). 𝜎: es la desviación estándar poblacional. 𝑛: es el tamaño de la muestra.
Ejemplo : Supongamos que tenemos una muestra de 100 estudiantes, con una media de altura de 170 cm y una desviación estándar poblacional de 10 cm. Queremos un intervalo de confianza del 95%. X : 170 Za / 2 : 10 𝜎: 100 𝑛: 1.96 (para un 95% de confianza) IC = 170 ± 1.96∗ (
√^10 )
= 170 ± 1.96∗ 1 =[168.04,171.96]
Por lo tanto, el intervalo de confianza al 95% para la media de la altura es de 168.04 cm a 171.96 cm. Intervalo de Confianza usando la Distribución t de Student Cuando el tamaño de la muestra es pequeño (n ≤ 30) y/o la desviación estándar poblacional (𝜎) es desconocida, se utiliza la distribución t de Student para calcular el intervalo de confianza. Fórmula: IC = X ± ta / 2 ,df ∗( s √ n^
𝐼𝐶: es el intervalo de confianza. X : es la media muestral. Za / 2 ,df : es el valor crítico de la distribución t para un nivel de confianza dado y grados de libertad (𝑑𝑓=𝑛−1) s: es la desviación estándar muestral.
distribución t tiene colas más gruesas que la normal, lo que ajusta la mayor incertidumbre con muestras pequeñas.
4.5.1. Determinación del tamaño de la muestra con grado de
confianza y estimación de 𝜇.
Determinar el tamaño de la muestra necesario para estimar la media poblacional (𝜇) con un grado de confianza específico y un margen de error deseado es una parte fundamental de la planificación de estudios estadísticos. A continuación, se explica el proceso y las fórmulas necesarias para calcular el tamaño de la muestra tanto cuando se conoce la desviación estándar poblacional como cuando se desconoce. Determinación del Tamaño de la Muestra cuando se Conoce la Desviación Estándar Poblacional ( 𝜎 ) Cuando la desviación estándar poblacional (𝜎) es conocida, se utiliza la distribución normal (z) para determinar el tamaño de la muestra. Fórmula: n =( Z ∗ σ E
2 Donde: 𝑛: es el tamaño de la muestra. 𝑍: es el valor crítico de la distribución normal para el nivel de confianza deseado. 𝜎: es la desviación estándar poblacional.
𝐸: es el margen de error. Ejemplo: Supongamos que queremos estimar la media de la altura de una población de estudiantes con un nivel de confianza del 95% y un margen de error de 2 cm. La desviación estándar poblacional (𝜎) se conoce y es de 10 cm. Nivel de confianza del 95%: 𝑍=1. Desviación estándar poblacional: 𝜎= Margen de error: 𝐸= Aplicamos la fórmula: n =(
2 =(
2 =9. 2 =96. Redondeamos al número entero superior, por lo que necesitamos una muestra de 97 estudiantes. Determinación del Tamaño de la Muestra cuando se Desconoce la Desviación Estándar Poblacional ( 𝜎 ) Cuando la desviación estándar poblacional (𝜎) es desconocida, se usa la distribución t de Student. Sin embargo, para calcular el tamaño de la muestra inicial, aún se puede utilizar la fórmula basada en la distribución normal como una aproximación, ya que el valor de 𝑡 se aproxima a 𝑍 para muestras grandes. Fórmula Aproximada: n =( Z ∗ s E
2 Donde: 𝑠: es la desviación estándar de la muestra preliminar (una estimación de 𝜎).
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/ EstadisticaProbabilidadInferencia/VAdiscreta/4_2DistribucionPoisson/index.html Holmes, A., Illowsky, B., & Dean, S. (2022, febrero 14). 4.2 Distribución binomial. Introducción a la estadística empresarial; OpenStax. https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica-empresarial/ pages/4-2-distribucion-binomial Media, varianza y desviacion tpica de la distribucion binomial. (s/f). Material Didáctico - Superprof. Recuperado el 19 de mayo de 2024, de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/distribucion- binomial/media-y-varianza-de-la-distribucion-binomial.html ¿Qué es la distribución normal y distribución binomial? (2021, agosto 13). Estadistica Descriptiva. https://estadisticadescriptiva.com/probabilidad/que-es-la- distribucion-normal-y-distribucion-binomial/ Rodó, P. (2019, noviembre 10). Distribución normal: Qué es, cómo se calcula y ejemplos. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion- normal.html RPubs - 10.3. Distribución binomial en R. (s/f). Rpubs.com. Recuperado el 19 de mayo de 2024, de https://rpubs.com/hllinas/R_Binomial (S/f). Fastercapital.com. Recuperado el 19 de mayo de 2024, de https://fastercapital.com/es/tema/media,-varianza-y-desviaci%C3%B3n-est %C3%A1ndar-de-la-distribuci%C3%B3n-de-poisson.html
