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UNIDAD II: MEDIDAS DE RESUMEN
IV. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las Medidas de Tendencia Central o Medidas de Posición son valores representativos de un conjunto de
datos es decir describen con un solo valor un conjunto de observaciones o serie de datos. Dichos valores
tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud.
Las más comunes son:
o Media Aritmética ᵒ Cuartiles
o Mediana ᵒ Deciles
o Moda ᵒ Percentiles
4.1. MEDIA ARITMÉTICA ( 𝒙 )
La Media Aritmética o simplemente MEDIA es el estadígrafo de tendencia central más importante
y comúnmente se le conoce como Promedio, se define como el cociente de la suma de los valores
de una variable entre el número de observaciones o valores. Simbólicamente:
La media Aritmética de los n valores x 1 , x 2 , ……., xn denotado por 𝑥, se define como:
A. PARA DATOS NO AGRUPADOS
Se calculará cuando no está elaborada una tabla de frecuencias.
Media Muestral:
𝒙 =
∑ (^) 𝒙
𝒏
n = tamaño de la muestra
Media Poblacional:
𝝁 =
∑ (^) 𝒙
𝑵
N = tamaño de la Población
Ejemplo 01 :
Sea las edades en años de 5 niños son 8, 3, 5, 12 y 10. Entonces la Media Aritmética de las
edades de éstos niños es:
Ejemplo 02 :
Calcule la Media Aritmética de los siguientes valores: 5, 7, 8, 9, 11, 14
xi
B. PARA DATOS AGRUPADOS
Se utilizará cuando los datos están distribuidos en una tabla de frecuencias. Luego se calcula
la media aritmética aplicando la fórmula:
1
n
i i i
f x
x
n
: Donde n es igual al número total de datos.
Ejemplo 01 :
Calcule la Media de la siguiente distribución de frecuencia correspondiente al peso en Kg. de
un grupo de obreros. Realice los cálculos respectivos para completar el siguiente cuadro.
CLASES xi fi f xi i
[ 75 – 80 ) 20
[ 80 – 85 ) 40
[ 85 – 90 ) 60
[ 90 – 95 ) 100
[ 95 – 100] 140
TOTAL
Aplicando la formula se tiene: 𝑥̅ =
Interpretación : El peso promedio del grupo de ………… obreros es de: …………….. kg.
C. CON EL METODO ABREVIADO
Cuando la amplitud Interválica es la misma para todos los intervalos.
Dónde :
A = Marca de Clase central
di = xi – A
C = Amplitud Interválica
Ejemplo 0 3 :
La siguiente distribución indica el peso en gramos de 30 muestras para un análisis. Calcular la Media.
Edades hi hi Xi hi Xi
[ 09.5 – 14.5 ) K / 2
[ 14.5 – 19.5 ) 0.
[ 19.5 – 24.5 ) 2k
[ 24.5 – 29.5 ) K
[ 29.5 – 34.5 ] 0.
Total
Solución:
Recordar : 𝒙 =
∑ 𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒏
pero: 𝒉𝒊 =
Entonces: 𝒙 = ∑ 𝒙𝒊𝒉𝒊
Propiedades de la Media:
Si x 1 , x 2 , x 3 , …. xn es la muestra de tamaño n y la media de xi = M(xi) = 𝒙 , se cumple:
1.- La media de una constante es la misma constante, esto es
M( c ) = c c = Constante
Ejemplo: x = La edad de 5 alumnos de contabilidad III ciclo
xi = 18, 18 , 18 , 18 , 18
𝑥̅ =
→ 𝑥 =
= 18 xi = c = 18
2.- La Media de una cte. por una variable es igual a la constante por la media de la variable
M( c xi ) = c M(x) c = Constante
Ejemplo:
Xi = Notas de Estadística Empresarial
𝑥̅ = 11.
xi = 13 , 11 , 11 , 12 , 11
xi = 58
13 xi = 169 , 143 , 143 , 156 , 143
c xi = 754
xi + 12 = 25 , 23 , 23 , 24 , 23
xi + 12 = 118
M( c xi ) = c M ( 𝒙𝒊 )
M( 13 xi ) = 13 (11.6 ) = 150.
3.- M( xi ± c ) = M( xi ) ± c , c = constante
Ejemplo:
M( xi + 12 ) = M( xi ) + 12 = 11.6 + 12 = 23.
4 .- Si : M( xi ± yi ) = M( xi ) ± M( yi )
Ejemplo N° 01:
Si el Salario Promedio diario de N docentes de la USP es S/. 48.00 y cada docente recibe un aumento
general de S/. 8,5.00 diarios con una bonificación diaria del 4% del salario incrementado. ¿Cuál es el
salario promedio actual diario de los docentes?
Solución:
Xi = Salario de cada docente 𝑥𝑖 = Salario promedio diario = yi = xi + 8,
MEDIA ARIMETICA PONDERADA
A veces se le asigna ciertos valores o pesos W 1 , W 2 , W 3 , …. a las variables de acuerdo a su
importancia.
𝒙 𝒑 =
∑ 𝑾𝒊𝒙𝒊
∑ (^) 𝑾
k = N° de valores de las variables
Ejemplo 01 :
Calcular el Promedio Ponderado de las notas de los alumnos de Contabilidad III Ciclo de la USP.
Cursos Créditos ( Wi ) Notas ( xi ) Wi xi
Estadística General
Matemática Básica
Contabilidad I
Total
Solución:
xp =
∑ Wixi
k i= 1
∑ Wi
k i= 1
→ 𝑥𝑝 = =
Ejemplo 02 : Durante el mes de octubre de 2015 el promedio de salarios en 3 empresas fueron:
Empresa Promedio de salarios
N° de obreros A 200 10
B 220 15
C 300 20
Hallar el salario medio ponderado durante ese mes.
𝑥𝑝 =
( )( ) (^) + ( )( ) (^) + ( )( )
( ) (^) + ( ) (^) + ( )
= [ ]
Interpretación : ………………………………………………………………………………………..
Ejemplo 03 :
En una sección de Estadística General 35 estudiantes llevaron el curso por primera vez, 9 llevan por
segunda vez y 5 por tercera vez. Se sabe que 13 es el promedio de notas de los que llevan por
primera vez y que las notas de los que llevan por segunda vez son superiores en un 8% de los que
llevan por primera vez.
Calcular el promedio de notas de los que llevan el curso por tercera vez, si la suma total de notas
es 640 puntos.
Solución:
B. CALCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
Cuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la fórmula para calcular la mediana
es:
Dónde:
𝑳𝑰 : Límite inferior del intervalo de la clase mediana
c : Amplitud del intervalo de la clase mediana
n : número total de observaciones o datos
𝑭𝒊−𝟏 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la F del intervalo de la clase mediana
𝒇𝒊 : Frecuencia absoluta simple de la clase mediana
Ejemplo 01 :
Calcule la mediana de la siguiente distribución de frecuencia correspondiente al peso en Kg de
un grupo de obreros. Realice los cálculos respectivos para completar el siguiente cuadro.
CLASES fi Fi
[ 75 – 80 ) 20
[ 80 – 85 ) 40
[ 85 – 90 ) 60
[ 90 – 95 ) 100
[ 95 – 100 ] 140
TOTAL 360
fi^
Solución :
𝑛 2 −𝐹𝑖− 1
𝑓𝑖
) 𝑐 n = 360 ,
n
, La Me se encuentra en [ 90 – 95 ) ,
por lo tanto:
I
L ; Fi- 1 = 120 ; fi = 100 ; c = 5 𝑴𝒆 = 90 + (
180 − 120 100
Interpretación : El 50% de los obreros tienen un peso por encima de 93 kg.
Ejemplo 02: Determinar la Mediana de:
Solución :
Haberes
Semanales
fi Fi
[ 20 – 25 ) 15
[ 25 – 30 ) 25
[ 30 – 35 ) 30
[ 35 – 40 ) 20
[ 40 – 45 ) 5
[ 45 – 50 ) 5
[ 50 – 55 ] 0
Total
Ejemplo 0 3 : Determinar la Mediana de las edades:
Solución :
Edad fi Fi
[ 00 – 10 ) 6
[ 10 – 20 ) 18
[ 20 – 30 ) 11
[ 30 – 40 ) 3
[ 40 – 50 ) 0
[ 50 – 60 ) 8
[ 60 – 70 ] 4
Total
Ejemplo 0 4 : Determinar la Mediana de:
Solución :
Edad fi Fi
[ 20 – 29 ] 5
[ 30 – 39 ] 9
[ 40 – 49 ] 11
[ 50 – 59 ] 27
[ 60 – 69 ] 34
[ 70 – 79 ] 16
[ 80 – 89 ] 10
[ 90 – 99 ] 2
Total
Ejemplo 0 2 :
Determinar la Moda de:
Solución : 𝑀𝑜 = 𝐿𝐼 + (
) 𝑐
I i fi
[ 45 – 95 ) 2
[ 95 – 145) 30
[ 145 – 195 ) 20
[ 195 – 245 ) 6
[ 245 – 295 ) 2
Total
Ejemplo 0 3 :
En una muestra de 30 cigarrillos de una determinada marca se observó las siguientes
cantidades de nicotina (en gramos). Obtener la Moda.
Solución : 𝑀𝑜 = 𝐿𝐼 + (^
) (^) 𝑐
I i fi
[ 0,020 – 0,022 ) 1
[ 0,022 – 0,0 24 ) 7
[ 0,024 – 0,026 ) 10
[ 0,026 – 0,028 ) 8
[ 0,028 – 0,030 ) 3
[ 0,030 – 0,032 ) 1
Total
