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Una investigación sobre los modelos de flujos en redes, incluyendo el modelo del camino más corto y el modelo de flujo máximo. Se explican conceptos clave como ramales orientados, nodos fuente y nodo receptor, así como algunas aplicaciones de estos modelos en el diseño de redes de telecomunicaciones, transporte y líneas de transmisión eléctrica. Se detallan los pasos del algoritmo de dijkstra para resolver el problema de los caminos más cortos y el algoritmo de flujo máximo. También se incluye un ejemplo práctico de una red de tuberías de distribución de agua y la aplicación del algoritmo de prim para encontrar el árbol de expansión mínima. El documento aborda la complejidad y eficiencia de estos métodos, así como la importancia de los análisis de sensibilidad en la optimización de redes.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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Gráfica orientada: Aquella en la cual todos sus ramales están orientados. Árbol: Gráfica sin ciclos. La capacidad de flujo de un ramal es el límite superior de la ruta de flujo en dicho ramal en un sentido determinado. Nodo fuente: Aquel en el cual todos sus ramales están orientados hacia afuera. Nodo receptor: Aquel en el cual todos sus ramales están orientados hacia él.
El problema del camino más corto es el aquel que consiste en encontrar un camino entre dos nodos de manera que la suma de los costes de los nodos que lo constituyen es mínima. Por supuesto, este tipo de algoritmos permiten estudiar costes de trayecto diferentes, como la distancia, el tiempo de viaje, el coste generalizado, etc. Y no sólo eso, sino que es posible trabajar con matrices de adyacencias donde no sólo se representen costes medidos sino también ponderados. Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera
sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. Algoritmo de la ruta más corta:
Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino. Características: 1.Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino. 2.Los nodos restantes son nodos de trasbordo. 3.Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo. 4.El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino. Problema del Flujo Máximo: En algunas redes circula por los arcos un flujo (envío o circulación de unidades homogéneas de algún producto: automóviles en una red de carreteras, litros de petróleo en un oleoducto, bits por un cable de fibra óptica) desde el origen o fuente al destino, también denominado sumidero o vertedero. Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo, y se trata de enviar desde la fuente al sumidero la mayor cantidad posible de flujo, de tal manera que:
Corte: Un corte define una serie de arcos cuya supresión de la red causa una interrupción completa del flujo entre el origen y el destino. La capacidad de corte es igual a la suma de las capacidades de los arcos asociados. Entre todos los cortes posibles en la red , el corte con la menor capacidad proporciona el flujo máximo en la red. Algoritmo de Ford-Fulkerson El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el flujo, hasta que se alcance el flujo máximo. La idea es encontrar una ruta de penetración con un flujo positivo neto que una los nodos origen y destino. Consideraremos las capacidades iniciales del arco que une el nodo i y el nodo j como Cij y Cji. Estas capacidades iniciales irán variando a medida que avanza el algoritmo, denominaremos capacidades residuales a las capacidades restantes del arco una vez pasa algún flujo por él, las representaremos como cij y cji. Para un nodo j que recibe el flujo del nodo i , definimos una clasificación [aj,i] donde aj es el flujo del nodo i al nodo j. Los pasos del algoritmo se definen como sigue:
Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a las capacidades iniciales (Cij,Cji).
una compañía de conjuntos habitacionales acaba de planear un nuevo conjunto de 8 edificios multifamiliares, se necesita seleccionar una red de tuberías de distribución de agua que conecte a todos los edificios a un mínimo costo, para desarrollar una nueva red del sistema de suministro de agua se deben unir los ocho edificios, la red seleccionada debe permitir la factibilidad de las tuberías que deben ser tendidas a un mínimo costo. Seleccionamos el arco con menor valor que corresponde a AB-J0 incluyendo sus respectos nodos. Se continua de misma forma en busca del siguiente arco con menor valor que corresponde a CD=
El siguiente arco con menor valor ahora es BD=34 donde automáticamente se unen 4 nodos ABCD por lo que no es necesaria la comunicación entre las rutas AC y BC. El siguiente arco que se integra a la red es BE=37, por lo que ya no son necesarias las rutas CE y DE. De los tres arcos restantes al siguiente seleccionado es GF=38, no se encuentra conectado a la red. El arco con menor valor para seleccionar es BG=39 que al unirse a la red anterior hace que no sean necesarios los arcos AG, BF y EF.
❖ Seleccionar inicialmente cualquier nodo y conectarlo con el más próximo que contenga el arco de menor costo o distancia, A esta rama se le acepta como parte de la red final ❖ Completar la red interactivamente, identificando el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos conectados, se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado. En caso de empate este se rompe en forma arbitraria. ❖ En cada etapa del proceso iterativo la atención se centra en aquellos nodos que ya se han eslabonados Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos. Si utilizamos el mismo problema del algoritmo de Kruskal tenemos la misma red inicial. Empezamos seleccionando el nodo más corto que corresponde a AB=30, aunque el algoritmo indica que no es necesario empezar por este sino cualquier nodo de la red. Después analizamos los nodos que conectan directamente con los nodos A y B que son C, D, E, F, y G y seleccionamos el de menor distancia. El arco más corto es BD=34 y ahora ya forma parte de la red, continuamos de la misma manera, pero ahora seleccionamos el arco más corto que una directamente a los nodos de la red A, B, y D. Estos prospectos son C, E, F, y G. El arco más corto es CB=32 por lo que el nodo C forma ahora parte de la red ABCD de tal manera que ahora los arcos AC, y CB ya no son necesarios y podemos prescindir de
ellos. Seleccionaremos el arco más corto que pueda unir un nuevo nodo a la red formada por los nados ABDC, los nodos posibles son los restantes cuatro nodos E, F, H, G Integramos el nuevo nodo E a la red y continuamos con la y ahora ya no son necesarios los arcos DE y CE. El nodo G se incluye en la red eliminando al arco AG que ya no será necesario, ahora necesitamos el arco más cercano a los nodos C, E. F y G. Ya solo queda el nodo H por lo que seleccionamos la distancia más corta a estos nodos siendo el arco EH-40, y eliminamos los tres arcos restantes CH, FM y GM que ya no se utilizaran por lo que el árbol de expansión mínima quedara de la siguiente manera.
