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3.1 Modelos lineales 3.2 Modelos no lineales 3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL CAPÍTULO 3
En la sección 1.3 vimos cómo se podría utilizar una ecuación diferencial de primer orden como modelo matemático en el estudio de crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo, interés compuesto continuo, enfriamiento de cuerpos, mezclas, reacciones químicas, drenado del fluido de un tanque, velocidad de un cuerpo que cae y corriente en un circuito en serie. Utilizando los métodos del capítulo 2 ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (sección 3.1) y ED no lineales (sección 3.2) que aparecen comúnmente en las aplicaciones. El capítulo concluye con el siguiente paso natural: en la sección 3.3 examinamos cómo surgen sistemas de ED como modelos matemáticos en sistemas físicos acoplados (por ejemplo, una población de predadores como los zorros que interactúan con una población de presas como los conejos).
MODELADO CON ECUACIONES
3 DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
MODELOS LINEALES
REPASO DE MATERIAL
● (^) Ecuación diferencial como modelo matemático en la sección 1.3. ● (^) Leer nuevamente “Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden”, página 55 en la sección 2.3.
INTRODUCCIÓN En esta sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presentaron en la sección 1.3.
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO El problema con valores iniciales
,
dx dt
kx , x ( t 0 ) x 0 (1)
donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fe- nómenos que tienen que ver con crecimiento o decaimiento. En la sección 1.3 vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bac- terias, pequeños animales) en cortos periodos de tiempo es proporcional a la población presente en el tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t 0 , la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro, es decir, a tiempos t t 0. La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se de- termina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t 1 t 0. En física y química la ecuación (1) se ve en la forma de una reacción de primer orden , es decir, una reacción cuya razón, o velocidad, dx dt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o que queda al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiacti- vidad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden.
EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias
Inicialmente un cultivo tiene un número P 0 de bacterias. En t 1 h se determina que el número de bacterias es 32 P 0. Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias P ( t ) presentes en el tiempo t , determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.
SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), sustituyendo el símbolo x por P. Con t 0 0 la condición inicial es P (0) P 0. Entonces se usa la observación empírica de que P (1) 32 P 0 para determinar la constante de proporcionalidad k. Observe que la ecuación diferencial dP dt kP es separable y lineal. Cuando se pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden,
,
dP dt
kP 0 se ve por inspección que el factor integrante es e kt. Multiplicando ambos lados de la ecuación e integrando se obtiene, respectivamente,
.
d dt
[ e ktP^ ] 0 y e ktP c
Por tanto P ( t ) cekt. En t 0 se tiene que P 0 ce^0 c , por tanto P ( t ) P 0 ekt. En t 1 se tiene que 32 P 0 P 0 ek , o ek^ 32. De la última ecuación se obtiene k 1n 32 0.4055, por tanto P ( t ) P 0 e 0.4055 t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, resolvemos 3 P 0 P 0 e 0.4055 t^ para t. Entonces 0.4055 t 1n 3, o
t .
ln 3
2.71 h
Vea la figura 3.1.1.
t
P
3 P 0
P 0
t = 2.
P ( t ) = P 0 e 0.4055 t
FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se triplica la población.
3.1 MODELOS LINEALES ●^ 83
ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto y la tela del enigmático sudario de Turín.
EJEMPLO 3 Edad de un fósil
Se encuentra que un hueso fosilizado contiene la centésima parte de la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva. Determine la edad del fósil.
SOLUCIÓN El punto de partida es, de nuevo, A ( t ) A 0 ekt. Para determinar el valor de la constante de decaimiento k , usamos el hecho de que 12 A 0 ^ A (5600) o^12 A 0 ^ A 0 e^5600 k. De 5600 k ln 12 ln 2, obtenemos k (1n 2)/ 5600 0.00012378, por tanto A ( t ) A 0 e 0.00012378 t. Con A ( t ) 10001 A 0 tenemos 10001 A 0 A 0 e 0.00012378 t ,por lo que 0.00012378 t ln 10001 ln 1000. Así la edad del fósil es aproximadamente
t.
ln 1000
55 800 años
En realidad, la edad determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a aproximadamente 9 vidas medias del isótopo, que son aproximadamente 50 000 años. Una razón para esta limitante es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-l4 que queda, presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de 10001 A 0. También, en este método se necesita destruir gran parte de la muestra. Si la medición se realiza indirectamente, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radia- ción que procede del fósil de la radiación de fondo normal.*^ Pero recientemente, con los aceleradores de partículas los científicos han podido separar al C-l4 del estable C-12. Cuando se calcula la relación exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar hasta 70 000 a 100 000 años. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer edades de varios millones de años.†^ A veces, también es posible aplicar métodos que se basan en el empleo de aminoácidos.
LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuación (3) de la sección 1.3 vimos que la formulación matemática de la ley empírica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuación dife- rencial lineal de primer orden
dT dt
k ( T Tm ) (2)
donde k es una constante de proporcionalidad, T ( t ) es la temperatura del objeto para t 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante.
EJEMPLO 4 Enfriamiento de un pastel
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300° F. Tres minutos después su tempe- ratura es de 200° F. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70º F?
*El número de desintegraciones por minuto por gramo de carbono se registra usando un contador Geiger. El nivel mínimo de detección es de aproximadamente 0.1 desintegraciones por minuto por gramo. †El fechado con potasio-argón se usa en el registro de materiales tales como minerales, piedras, lava y materiales extraterrestres como rocas lunares y meteoritos. La edad de un fósil se puede estimar determinando la edad del estrato en que se encontraba la roca.
3.1 MODELOS LINEALES ●^ 85
86 ●^ CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
SOLUCIÓN En la ecuación (2) identificamos Tm 70. Debemos resolver el problema con valores iniciales dT dt
k ( T 70), T (0) 300 (3)
y determinar el valor de k tal que T(3) 200. La ecuación (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables
,
dT T 70
k dt
se obtiene ln| T – 70| kt c 1 , y así T 70 c 2 ekt. Cuando t 0, T 300, así 300 70 c 2 da c 2 230. Por tanto T 70 230 ekt. Por último, la medición de T (3) 200 conduce a e^3 k^ 1323 , o k 13 ln 1323 0.19018. Así
T ( t ) 70 230 e 0.19018 t.^ (4)
Observamos que la ecuación (4) no tiene una solución finita a T ( t ) 70 porque (^) t → T ( t ) 70. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcurrir un intervalo razonablemente largo. ¿Qué tan largo es “largo”? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra intuición física. Los incisos a) y b) de la figura 3.1.3 muestran claramente que el pastel estará a la temperatura ambiente en aproximadamente una media hora.
La temperatura ambiente en la ecuación (2) no necesariamente es una constante, pudiera ser una función Tm ( t ) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1.
MEZCLAS Al mezclar dos fluidos a veces surgen ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la sección 1.3, supusimos que la razón con que cambia la cantidad de sal A ( t ) en el tanque de mezcla es una razón neta
dA dt
´ (^) ´ (^) Rentra Rsale (5)
En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (8) de la sección 1.3.
EJEMPLO 5 Mezcla de dos soluciones de sal
Recordemos que el tanque grande de la sección 1.3 contenía inicialmente 300 galones de una solución de salmuera. Al tanque entraba y salía sal porque se bombeaba una solución a un flujo de 3 gal/min, se mezclaba con la solución original y salía del tanque con un flujo de 3 gal/min. La concentración de la solución entrante era 2 lb/gal, por consiguiente, la entrada de sal era Rentra (2 lb/gal) (3 gal/min) 6 lb/min y salía del tanque con una razón Rsale ( A 300 lb/gal) (3 gal/min) A l00 lb/min. A partir de esos datos y de la ecuación (5) obtuvimos la ecuación (8) de la sección 1.3. Permítanos preguntar: si había 50 lb de sal disueltas en los 300 galones iniciales, ¿cuánta sal habrá en el tanque pasado un gran tiempo?
SOLUCIÓN Para encontrar la cantidad de sal A ( t ) en el tanque al tiempo t , resolve- mos el problema con valores iniciales
dA dt
A 6, A (0) 50
Aquí observamos que la condición adjunta es la cantidad inicial de sal A (0) 50 en el tanque y no la cantidad inicial de líquido. Ahora como el factor integrante de esta
t
T
15 30
300
(^150) T = 70
a)
T ( t ) t (min)
75 20. 74 21. 73 22. 72 24. 71 28. 70.5 32. b)
FIGURA 3.1.3 La temperatura de enfriamiento del pastel tiende a la temperatura ambiente.
88 ●^ CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 6 Circuito en serie
Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 12 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i , si la corriente inicial es cero.
SOLUCIÓN De la ecuación (7) debemos resolver
,
di dt
10 i 12
sujeta a i (0) 0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e^20 t. Entonces sustituyendo
.
d dt
[ e^20 ti ] 24 e^20 t
Integrando cada lado de la última ecuación y despejando i se obtiene (^) i ( t ) 65 ce ^20 t. Ahora i (0) 0 implica que 0 65 c o c 65.. Por tanto la respuesta es i ( t ) 65 65 e ^20 t.
De la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos escribir una solución general de (7):
i ( t ) .
e ( R / L ) t L e ( R / L ) tE ( t )^ dt^ ^ ce ( R / L ) t^ (10)
En particular, cuando E ( t ) E 0 es una constante, la ecuación (l0) se convierte en
i ( t ) .
E 0
R
ce ( R / L ) t^ (11)
Observamos que conforme t : , el segundo término de la ecuación (11) tiende a cero. A ese término usualmente se le llama término transitorio ; los demás términos se llaman parte de estado estable de la solución. En este caso, E 0 R también se llama corriente de estado estable ; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente está determinada tan sólo por la ley de Ohm ( E iR ).
COMENTARIOS
La solución P ( t ) P 0 e 0.4055 t^ del problema con valores iniciales del ejemplo 1 des- cribe la población de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0. Por supuesto, P ( t ) es una función continua que toma todos los números reales del intervalo P 0 P . Pero puesto que estamos hablando de una población, el sentido común indica que P puede tomar sólo valores positivos. Además, no es- peraríamos que la población crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra solución; puede haber intervalos de tiempo [ t 1 , t 2 ], en los que no haya crecimiento alguno. Quizá, entonces, la gráfica que se muestra en la figura 3.1.7a es una descripción más real de P que la gráfi- ca de una función exponencial. Usar una función continua para describir un fenó- meno discreto con frecuencia es más conveniente que exacto. Sin embargo, para ciertos fines nos podemos sentir satisfechos si el modelo describe con gran exac- titud el sistema, considerado macroscópicamente en el tiempo como se mues- tra en las figuras 3.1.7b y 3.1.7c, más que microscópicamente, como se muestra
FIGURA 3.1.7 El crecimiento en la figura 3.1.7a. poblacional es un proceso discreto.
t 1^ t 1 t 2
P
P 0
1^ t
P
P 0
a)
b)
c)
1^ t
P
P 0
EJERCICIOS 3.1 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-3.
Crecimiento y decrecimiento
1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P 0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P 0? ¿Cuál será la población en 10 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t 10? 3. La población de un pueblo crece con una razón propor- cional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la po- blación en t 30? 4. La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias pre- sentes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 5. El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una razón proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%? 6. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia ra- diactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es propor- cional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t , determine la cantidad que queda después de 24 horas. 7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del pro- blema 6. 8. a) El problema con valores iniciales dA dt kA , A (0) A 0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T (ln 2) k. b) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A ( t ) A 02 t / T. c) Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ¿cuánto tiempo le tomará a una canti- dad inicial A 0 de sustancia decaer a 18 A 0? 9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio trans- parente, la razón con que decrece su intensidad I es pro- porcional a I ( t ), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies de- bajo de la superficie es 25% de la intensidad inicial I 0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies debajo de la superficie? 10. Cuando el interés es compuesto continuamente, la can- tidad de dinero aumenta con una razón proporcional a
la cantidad presente S al tiempo t , es decir, dS dt rS , donde r es la razón de interés anual. a) Calcule la cantidad reunida al final de 5 años cuando se depositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 534 % de interés anual compuesto continuamente. b) ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial? c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad ob- tenida en el inciso a) con la cantidad S 5000(1 1 4 (0.0575)) 5(4) (^) que se reúne cuando el interés se com- pone trimestralmente.
Fechado con carbono
11. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para fechar pin- turas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en Lascaux, Francia. Vea la figura 3.1.8. Utilice la informa- ción de la página 84 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que 85.5% de su C-l4 encontrado en los árboles vivos del mismo tipo se había desintegrado.
FIGURA 3.1.8 Pintura rupestre en las cuevas de Altamira, España.
12. El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, mu- chas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. Vea la figura 3.1.9. En 1988 el Vaticano con- cedió permiso para fechar con carbono el sudario. Tres la- boratorios científicos independientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenía una antigüedad de 660 años,*^ una antigüedad consistente con su aparición histó-
FIGURA 3.1.
*Algunos eruditos no están de acuerdo con este hallazgo. Para más información de este fascinante misterio vea la página del Sudario de Turín en la página http://www.shroud.com
3.1 MODELOS LINEALES ●^ 89
Ejemplar de uno de las decenas de libros que se han escrito sobre la certeza de la antigüedad del sudario de Turín.
muera tiene 12 de sal por galón que entra al tanque a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 4 gal/min. Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos.
28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaño del tanque que tiene la solución salina. Suponga, como en el análisis siguiente al ejemplo 5, que la razón con que entra la solución al tan- que es de 3 gal/min pero que la solución bien mezclada sale del tanque a razón de 2 gal/min. Esta es la razón por la cual la salmuera se está acumulando en el tanque a razón de 1 gal/min, cualquier tanque de tamaño finito ter- minará derramándose. Ahora suponga que el tanque está destapado y tiene una capacidad de 400 galones. a) ¿Cuándo se derramará el tanque? b) ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque cuando co- mienza a derramarse? c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa entrando a razón de 3 gal/min, que la solu- ción está bien mezclada y que la solución sigue sa- liendo a razón de 2 gal/min. Determine un método para encontrar la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t 150 min. d) Calcule la cantidad de libras de sal en el tanque con- forme t : . ¿Su respuesta coincide con su intuición? e) Utilice un programa de graficación para trazar la grá- fica de A ( t ) en el intervalo [0, 500).
Circuitos en serie
29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i ( t ), si i (0) 0. Determine la corriente conforme t : . 30. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que E ( t ) E 0 sen v t y que i (0) i 0. 31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un cir- cuito en serie RC , en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l0^4 farads. Determine la carga q ( t ) del capacitor, si q (0) 0. Encuentre la corriente i ( t ). 32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 V a un circuito en serie RC , en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 10 ^6 farads. Determine la carga q ( t ) en el capacitor, si i (0) 0.4 amperes. Determine la carga y la corriente en t 0.005 s. Encuentre la carga conforme t : . 33. Se aplica una fuerza electromotriz
E ( t ) (^)
0 t 20 t 20
a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la co- rriente i ( t ), si i (0) 0.
34. Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor va- riable. Si la resistencia al tiempo t está dada por R k 1 k 2 t , donde k 1 y k 2 son constantes positivas, entonces la ecuación (9) se convierte en
( k 1 k 2 t ).
dq dt
C
q E ( t )
Si E ( t ) E 0 y q (0) q 0 , donde E 0 y q 0 son constantes, muestre que
q ( t ) E 0 C ( q 0 E 0 C ).
k 1
k 1 k 2 t
1/ Ck 2
Modelos lineales adicionales
35. Resistencia del aire En la ecuación (14) de la sección 1.3 vimos una ecuación diferencial que describe la velo- cidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es
m ,
dv dt
mg kv
donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v (0) v 0. b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o terminal de la masa. Vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1. c) Si la distancia s , medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por ds dt v ( t ), determine una expresión explícita para s ( t ), si s (0) 0.
36. ¿Qué tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente hacia arriba, como se muestra en la figura 3.1.10, con una velocidad inicial de v 0 300 pies/s. La res- puesta a la pregunta “¿Qué tanto sube la bala de cañón?”, depende de si se considera la resistencia del aire. a) Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del cañón está dado por d^2 s dt^2 g (ecuación (12) de la sección 1.3). Puesto que ds dt v ( t ) la última ecuación diferencial es la
FIGURA 3.1.10 Determinación de la altura máxima de la bala de cañón del problema 36.
nivel del suelo
− mg
3.1 MODELOS LINEALES ●^ 91
92 ●^ CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
misma que la ecuación dv dt g , donde se toma g 32 pies/s^2. Encuentre la velocidad v ( t ) de la bala de cañón al tiempo t. b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s ( t ) de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura máxima que alcanza la bala.
37. ¿Qué tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Esta es la razón por la que la altura máxima que alcanza la bala del cañón debe ser menor que la del inciso b) del pro- blema 36. Demuestre esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es k 0.0025. [ Sugerencia : Modifique ligeramente la ED del problema 35.] 38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 125 libras y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 35 libras. Después de saltar del avión desde una altura de 15 000 pies, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaídas. Suponga que la constante de proporcionalidad del mo- delo del problema 35 tiene el valor k 0.5 durante la caída libre y k 10 después de que se abrió el paracaí- das. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión es igual a cero. ¿Cuál es la velocidad de la paracaidista y qué distancia ha recorrido después de 20 segundos de que saltó del avión? Vea la figura 3.1.11. ¿Cómo se com- para la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? [ Sugerencia : Piense en función de dos diferentes PVI.]
a) Determine v ( t ) si la gota de lluvia cae a partir del re- poso. b) Vuelva a leer el problema 34 de los ejercicios 1. y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r ( t ) ( k r) t r 0. c) Si r 0 0.01 pies y r 0.007 pies, 10 segundos des- pués de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo.
40. Población fluctuante La ecuación diferencial dP dt ( k cos t ) P , donde k es una constante positiva, es un modelo matemático para una población P ( t ) que experimenta fluc- tuaciones anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P (0) P 0. Utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de la solución para diferentes elecciones de P 0. 41. Modelo poblacional En un modelo del cambio de po- blación de P ( t ) de una comunidad, se supone que
dP dt
dB dt
dD dt
donde dB dt y dD dt son las tasas de natalidad y mortan- dad, respectivamente. a) Determine P ( t ) si dB dt k 1 P y dD dt k 2 P. b) Analice los casos k 1 k 2 , k 1 k 2 y k 1 k 2.
42. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la población de una pesquería en la que se cosecha con una razón constante está dada por dP dt
kP h ,
donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P (0) P 0. b) Describa el comportamiento de la población P ( t ) conforme pasa el tiempo en los tres casos P 0 h k , P 0 h k y 0 P 0 h k. c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la población de peces desaparecerá en un tiempo finito, es decir, si existe un tiempo T 0 tal que P ( T ) 0. Si la población desaparecerá, entonces deter- mine en qué tiempo T.
43. Propagación de una medicina Un modelo matemático para la razón con la que se propaga una medicina en el torrente sanguíneo está dado por dx dt
r kx ,
donde r y k son constantes positivas. Sea x ( t ) la función que describe la concentración de la medicina en el to- rrente sanguíneo al tiempo t. a) Ya que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor de x ( t ) conforme t : .
FIGURA 3.1.
Cálculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38.
caída libre
el paracaídas se abre
la resistencia del aire es 0.5 v
la resistencia del aire es 10 v
t = 20 s
39. Evaporación de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ésta se evapora mientras conserva su forma esfé- rica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su área superficial y que se desprecia la resistencia del aire, enton- ces un modelo para la velocidad v ( t ) de la gota de lluvia es
.
dv dt
3( k / ) ( k / ) t r 0
v g
Aquí r es la densidad del agua, r 0 es el radio de la gota de lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se considera positiva.
94 ●^ CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
b) En el caso en que hay fricción (m 0) pero no hay resistencia del aire, explique por qué la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto más alto arriba del suelo cuando el ángulo de inclinación u satisface a tan u m. c) La caja se deslizará hacia abajo del plano con- forme tan u m si a ésta se le proporciona una velocidad inicial v (0) v 0 0. Suponga que 1 3 4 y^ u^ ^ 23°. Compruebe que tan^ u^ m. ¿Qué distancia se deslizará hacia abajo del plano si v 0 1 pie/s? d) Utilice los valores 1 3 4 y u 23° para aproxi- mar la menor velocidad inicial v 0 que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 50 pies arriba del suelo, se deslice por todo el plano inclinado.
Después encuentre el tiempo que tarda en deslizarse el plano.
48. Qué sube... a) Es bien conocido que el modelo que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del pro- blema 36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima es el mismo tiempo td que tarda la bala de cañón en llegar al suelo. Además la magnitud de la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v 0 de la bala de cañón. Compruebe ambos resultados. b) Después, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y el valor de la magnitud de vi con v 0. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces con un SAC (o una calculadora graficadora).
MODELOS NO LINEALES
REPASO DE MATERIAL
● (^) Ecuaciones (5), (6) y (10) de la sección 1.3 y problemas 7, 8, 13, 14 y 17 de los ejercicios 1.3. ● (^) Separación de variables de la sección 2.2.
INTRODUCCIÓN Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden sim- ples con el análisis de algunos modelos no lineales.
DINÁMICA POBLACIONAL Si P ( t ) es el tamaño de una población al tiempo t , el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dP dt kP para cierta k 0. En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por dP > dt P (1) es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la razón (1) decrezca conforme la población P aumenta de tamaño. La hipótesis de que la tasa con que crece (o decrece) una población sólo depende del número presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, tales como los fenóme- nos estacionales (vea el problema 18, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como:
dP > dt P
dP dt
f ( P ) o Pf ( P ) (2)
Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos de población de anima- les, se llama hipótesis de dependencia de densidad.
ECUACIÓN LOGÍSTICA Supóngase que un medio ambiente es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. Así para la función f en la ecuación (2) se tiene que f ( K ) 0 y simplemente hacemos f (0) r. En la figura 3.2.1 vemos tres funcio- nes que satisfacen estas dos condiciones. La hipótesis más sencilla es que f ( P ) es lineal, es decir, f ( P ) c 1 P c 2. Si aplicamos las condiciones f (0) r y f ( K ) 0, tenemos
P
f ( P )
r
K
FIGURA 3.2.1 La suposición más simple para f ( P ) es una recta (color azul).
