Valores extremos de una función: Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio, Esquemas y mapas conceptuales de Microeconomía

¡Descarga Valores extremos de una función: Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Microeconomía solo en Docsity!

Semana 01 :

Valores extremos de una función.

Teorema de Rolle.

Teorema del valor medio.

Asignatura: Economía de la Integración

Mg. Jenny María Ruiz Salazar

Facultad de Ciencias Económicas

Federico Villarreal Facultad de Economía

• Valores extremos de una

función

Federico Villarreal Facultad de Economía Valores extremos Los valores extremos de una función son los máximos y mínimos relativos de la función. Si f es la función definida en el intervalo cerrado [a;b] con la gráfica que se ilustra en la figura, entonces f tiene máximos relativos en 𝑎; 𝑥 2 𝑦 𝑥 4 y mínimos relativos en 𝑥 1 ; 𝑥 3 𝑦 𝑏.

Federico Villarreal Facultad de Economía Los valores extremos de una función definida sobre un intervalo pueden aparecer solamente en:

• Puntos donde la derivada es cero
• Puntos donde la derivada no está definida
• Puntos extremos del intervalo si es que pertenecen al intervalo

Federico Villarreal Facultad de Economía

• Teorema de Rolle

Federico Villarreal Facultad de Economía TEOREMA DE ROLLE Sea f una función: ❑ Continua en [𝑎, 𝑏] ❑ Derivable en ]𝑎, 𝑏[ ❑ Y si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) Entonces existe algún punto 𝑐 ∈]𝑎. 𝑏[ en el que 𝑓 ′ 𝑐 = 0. La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Federico Villarreal Facultad de Economía EJERCICIO. (^) Usando el teorema de Rolle, demostrar que si 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥 + 2 𝑥 − 5 𝑥 − 6 , entonces la ecuación 𝑓 ′ 𝑥 = 0 tiene tres raíces reales (sin Solución: resolver dicha ecuación).

Federico Villarreal Facultad de Economía EJERCICIO. (^) Para la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥^3 − 6 𝑥^2 + 11 𝑥 − 6 , hallar los intervalos [𝑎, 𝑏] en los que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 0 y el Teorema de Rolle es aplicable. Solución:

Federico Villarreal Facultad de Economía

• Teorema del valor medio y

sus aplicaciones

Federico Villarreal Facultad de Economía TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGE Sea f: ❑ Contínua en [𝑎, 𝑏] ❑ Derivable en 𝑎, 𝑏 Entonces existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que: 𝑓 ′ 𝑐 =

Federico Villarreal Facultad de Economía CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE LAGRANGE 𝑆𝑒𝑎 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 ,

i. 𝑆𝑖 𝑓

′ 𝑥 > 0 , ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏]

ii. 𝑆𝑖 𝑓

′ 𝑥 < 0 , ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑓 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏] COROLARIO 3 : Funciones crecientes y decrecientes

Federico Villarreal Facultad de Economía EJERCICIOS. Sea 𝑓(𝑥) una función continua en el intervalo [ 3 , 7 ] con 𝑓( 3 ) = 10. Si 𝑓’(𝑥) = 5 para 𝑥 ∈ 3 , 7 , demostrar que 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 − 5. Solución:

Federico Villarreal Facultad de Economía APLICACIÓN. Dos patrullas estacionadas equipadas con radar se encuentran a 5 millas de distancia sobre una autopista. Cuando pasa un camión al lado de la primera patrulla, la velocidad de este se registra en un valor de 55 millas por hora. Cuatro minutos después, cuando el camión pasa al lado de la segunda patrulla, el registro de velocidad corresponde a 550 millas por hora. Demostrar que el camión ha excedido el límite de velocidad ( 55 millas por hora) en algún momento dentro del intervalo de los 4 minutos señalados.

Federico Villarreal