Semana 01: Valores extremos de una función. Teorema
de Rolle. Teorema del Valor medio
1) Determínense los valores máximos y mínimos de las
siguientes funciones sobre los intervalos cerrados que se
señalan:
a) 𝑓 = −4𝐼2+ 8𝐼 − 2; [0;3]
b) 𝑓(𝑥)= 1 − 𝑥 2
3,[−2; 2]
c) 𝑔(𝑥)= −2𝑥3− 9𝑥2+108𝑥 − 10, [−5;5]
d) 𝑓(𝑥)=12 + 4𝑥 − 𝑥2, [0;5]
e) 𝑓(𝑥)= 5 + 54𝑥 − 2𝑥3,[0;4]
f) 𝑓(𝑥)= 2𝑥3− 3𝑥2−12𝑥 + 1,[−2; 3]
g) 𝑓(𝑥)= 𝑥3− 6𝑥2+ 5, [−3;5]
h) 𝑓(𝑥)= 𝑥4−24𝑥2+80, [−4; 4]
i) 𝑓(𝑥)= 3𝑥5−25𝑥3+60𝑥, [−1; 5]
j) 𝑓(𝑥)=1
8(3𝑥5−20𝑥3+16);[1;3]
k) 𝑓(𝑥)= 𝑥3− 8, [−2; 5]
l) 𝑓(𝑥)= 𝑥3− 6𝑥2+ 5;[0;2]
m) 𝑓(𝑥)= 2𝑥3− 4𝑥2+ 2, [−2;2]
n) 𝑓(𝑥)= 2𝑥3− 4𝑥2+ 2, [0;4]
2) Determinar si el teorema de Rolle es aplicable a la función
𝑓(𝑥)=𝐿𝑛(5 − 𝑥2) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−2,2].
3) Aplicando el teorema de Rolle, demostrar que la ecuación:
𝑥3− 3𝑥2+ 𝑏 = 0 no puede tener más de una raíz en el
intervalo [−1,1] para ningún valor de 𝑏.
4) Usando la fórmula del valor medio, probar la fórmula:
cos(𝑥 + ℎ)−cos(𝑥)= −ℎ. 𝑠𝑒𝑛(𝑐)
Para algún c tal que 𝑥 < 𝑐 < 𝑥 + ℎ
5) Dada: 𝑓(𝑥)= 5 − (4
𝑥)
Determinar todos los valores de c en el intervalo abierto
(1,4) tales que:
𝑓′(𝑐)=𝑓(4)− 𝑓(1)
4 − 1