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MÉTODOS NÚMERICOS
- Primer parcial:
Método numérico: se cataloga como una serie de pasos o proceso para llegar a una
solución aproximada.
Algoritmo: Es una descripción completa de operaciones bien definidos que recopila
datos de entrada admisibles que transforma en datos de salida.
Aproximación: Valor numérico aproximado a una solución.
Si 𝑝
∗
es una aproximación a p, el error se define como:
∗
− p
Para facilitar el manejo del análisis se emplea el error absoluto
∗
− p|
Y el error relativo como
∗
− p|
Dejando como error relativo porcentual
𝐸𝑅𝑃 = 𝐸𝑅 × 100
Incertidumbre: Promedio de errores porcentuales ERP
Error por truncamiento: Se detiene un procedimiento infinito para llegar a un resultado
exacto.
Error por redondeo: Este tipo de error sucede por los decimales que se dejan al
redondear un resultado, el decimal suma uno si el centesimal es mayor igual a 5, sino se
cumple esto, se deja el decimal que da nuestro resultado.
Ecuaciones algebraicas y trascendentales
Las raíces reales de una ecuación son los valores que adquiere una variable independiente
x, para satisfacer la igualdad:
Método de bisección : Encuentra las raíces de polinomios buscando dos números donde
la evaluación de la función cambie de signo donde se asegura que exista una raíz dentro del
intervalo. En general, si f(x) es real y continua un intervalo de [a, b], y f(a) y f(b) tienen signos
opuestos entonces existe al menos una raíz real entre los dos.
Algoritmo :
I. Selecciona los valores iniciales de a y b, y evalúa f(a) y f(b), de manera que la
función en ese intervalo cambie de signo.
II. Calcular la primera aproximación de la raíz por medio de la ecuación.
𝑅
III. Realiza las siguientes evaluaciones para sabes si se encontró la raíz.
Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑋
𝑅
) = 0 ⇒ La raíz es igual a 𝑋
𝑅
y se terminan los cálculos.
Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑋
𝑅
) > 0 ⇒ La raíz se encuentra entre 𝑋
𝑅
y b. Hacer 𝑎 = 𝑋
𝑅
y pasar al
punto 4.
Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑋
𝑅
) < 0 ⇒ La raíz se encuentra entre 𝑋
𝑅
y a. Hacer 𝑏 = 𝑋
𝑅
y pasar al
punto 4.
IV. Calcular el nuevo 𝑋
𝑅
con la ecuación de este mismo.
V. Calcula el error aproximado, para decidir que la nueva aproximación cumple con
los criterios del error establecido. Si no los cumple repetir el paso 3.
𝑝
𝑅
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑅
𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑅
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
Método del punto fijo: Si se tiene una ecuación algebraica o trascendente
cualquiera, de la forma:
Se puede transformar a la forma equivalente:
Y se suma x en ambos miembros de la ecuación obteniendo:
Esta expresión también se puede generar al despejar x de alguna manera de la función original
𝑓(𝑥). Así el valor predice el valor de x en función de x. Este método consiste en sustituir un valor
inicia 𝑋 0
aproximado a la raíz. Si el valor inicial proporcionado es la raíz se deberá cumplir:
0
0
Por lo general es difícil que esto pase, ya que 𝑋 0
solo es una aproximación a la raíz; entonces la
nueva aproximación a la raíz estará dada por:
1
0
Sustituyendo 𝑋 1
en el primer miembro de la ecuación 𝑔(𝑥) = 𝑥 se obtendrá la aproximación
2
1
Y al proceder en esta misma forma, la n-ésima aproximación será:
𝑛
𝑛− 1
El método será convergente o llegara a la raíz si la diferencia del valor absoluto entre los valores
calculados en dos iteraciones sucesivas es cada vez menor a medida que n aumenta.
Método de la secante: En algunos casos conseguir la derivada del método de Newton-
Raphson es difícil de obtener. Para evitar este contratiempo, se puede aproximar la derivada de la
función mediante una diferencia dividida que geométricamente se interpreta como la aprox. de la
pendiente de la tangente en el punto (𝑥 𝑖
𝑖
) por la secante que pasa por
𝑖
𝑖
𝑖− 1
𝑖− 1
, la cual se obtiene por:
𝑖
𝑖
𝑖− 1
𝑖
𝑖− 1
Al sustituir la ecuación en la ecuación predictiva de Newton-Raphson se obtiene la
ecuación del método de la secante:
𝑖+ 1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖− 1
𝑖− 1
𝑖
Algoritmo :
I. Introducir la ecuación a resolver 𝑓(𝑥).
II. Introducir la derivada de la función a resolver 𝑓′(𝑥) del método de la secante.
III. Introducir el máximo número de iteraciones 𝑁
𝑚𝑎𝑥
IV. Introducir valor máximo error porcentual aproximado 𝑇
𝑚𝑎𝑥
V. Selecciona dos aproximaciones iniciales 𝑥
𝑖− 1
𝑖
VI. Inicializar el contador 𝑖 = 1.
VII. Mientras que 𝑖 ≤ 𝑁
𝑚𝑎𝑥
continua con los pasos VIII al XI.
VIII. Calcula la siguiente aproximación a la raíz mediante la ecuación
𝑖+ 1
𝑖
𝑓(𝑥
𝑖
)(𝑥
𝑖
− 𝑥
𝑖− 1
)
𝑓(𝑥
𝑖− 1
) − 𝑓(𝑥
𝑖
)
IX. Calcula el error porcentual con 𝑒
𝑝
𝑥
𝑖+ 1
− 𝑥
𝑖
𝑥
𝑖+ 1
X. Verificar que |𝑒
𝑝
𝑚𝑎𝑥
. Si se cumple llegamos a la aproximación final, si no
es así se siguen los siguientes pasos.
XI. Hacer 𝑖 = 𝑖 + 1.
XII. Verificar que se cumpla 𝑖 ≤ 𝑁
𝑚𝑎𝑥
. Si sobrepasa este y no se llega a |𝑒
𝑝
𝑚𝑎𝑥
el método ha fallado.
Método de la regla falsa : Basado en el método de la bisección, solo que ahora
usaremos una estimación basada en la intersección de la cuerda con el eje x. Donde un
intervalo [a, b] donde 𝑓(𝑎) 𝑦 𝑓(𝑏) tiene un signo opuesto, ósea 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0.
En cada iteración se calcula una nueva aprox. a 𝑋
𝑅
, utilizando:
𝑅
Algoritmo:
I. Selecciona los valores iniciales de a y b, y evalúa f(a) y f(b), de manera que la
función en ese intervalo cambie de signo.
II. Calcular la primera aproximación de la raíz por medio de la ecuación
usando 𝑋
𝑅
𝑓(𝑏)(𝑏−𝑎)
𝑓
( 𝑏
) −𝑓(𝑎)
III. Realiza las siguientes evaluaciones para sabes si se encontró la raíz.
Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑋
𝑅
) = 0 ⇒ La raíz es igual a 𝑋
𝑅
y se terminan los cálculos.
Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑋
𝑅
) > 0 ⇒ La raíz se encuentra entre 𝑋
𝑅
y b. Hacer 𝑎 = 𝑋
𝑅
y
pasar al punto 4.
Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑋
𝑅
) < 0 ⇒ La raíz se encuentra entre 𝑋
𝑅
y a. Hacer 𝑏 = 𝑋
𝑅
y
pasar al punto 4.
IV. Calcular el nuevo 𝑋
𝑅
con la ecuación de este mismo.
V. Calcula el error aproximado, para decidir que la nueva aproximación
cumple con los criterios del error establecido. Si no los cumple repetir el
paso 3.
𝑝
𝑅
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑅
𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑅
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
