Problemas Resueltos de Circuitos Eléctricos: Una Guía para Estudiantes de Física, Ejercicios de Métodos Numéricos

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Problemas resueltos

de circuitos eléctricos

VICTORIANO LÓPEZ RODRÍGUEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

A mis nietos Nacho, Álvaro, Raúl y Elena

PREFACIO

En la asignatura de Teoría de circuitos y electrónica, que se imparte en segundo de CC Físicas, se introducen los conceptos básicos sobre circuitos eléctricos, semiconductores y dispositivos electrónicos. Las unidades didácticas constan de dos partes, en la primera se exponen los conceptos sobre circuitos y en la segunda los relativos a semiconductores y dispositivos electrónicos. Al iniciar la reflexión sobre el objeto de un libro de problemas, me viene a la memoria un proverbio cuyo origen y redacción precisa desconozco, pero la idea se puede expresar de la forma siguiente: "Lo escuché y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí."; o esta otra, "olvido lo que oigo, recuerdo lo que veo y aprendo lo que hago". Creo que siguiendo el proverbio, el objeto de los ejercicios y problemas de Teoría de circuitos es facilitar al estudiante una serie de propuestas de tra- bajo para motivar la reflexión sobre las ideas básicas, y haciendo problemas aprender dichas ideas. Además de reflexinar sobre conceptos fundamentales, se trata de comprender la aplicación y manejo de las herramientas de cálcu- lo imprescindibles en la formulación de modelos matemáticos y la solución de los problemas tanto de circuitos como de las aplicaciones con ellos rela- cionadas. En el primer capítulo se resuelven los problemas relacionados con cir- cuitos en los que intervienen fuentes de corriente continua. En el segundo los correspondientes fenómenos transitorios que se producen al conectar un circuito a una fuente de tensión continua. El tercero se exponen las solu- ciones a problemas de circuitos con corrientes sinusoidales (c. a.). En el cuarto capítulo se estudian las soluciones de problemas con redes eléctricas en corriente alterna. Todos se corresponden con los propuestos en Teoría de circuitos. He contado con la inestimable ayuda de mis compañeros M^ del Mar Montoya Lirola y Manuel Pancorbo Castro. Gracias a sus múltiples aporta- ciones se ha incrementado la claridad y precisión del libro. Espero que el libro sea útil para los alumnos de la UNED, así como para todos los interesados en estudiar los circuitos eléctricos. Las Rozas de Madrid Agosto de 2012 Victoriano López Rodríguez

Capítulo 1

CIRCUITOS DE

CORRIENTE CONTINUA

PROBLEMA 1.

En una bombilla de las utilizadas en iluminación figuran dos datos, la potencia disipada y la tensión aplicable. Si tenemos una bombilla de 100 vatios y 220 voltios, calcular la corriente que circula por ella cuando se aplica la tensión nominal (220 V). Cuando se le aplican 300 V en lugar de los 220 la bombilla se estropea. Explicar qué ocurre.

Solución La potencia suministrada a una resistencia viene dada por la ecuación,

Si la bombilla es de 100 vatios y su tensión nominal 220 voltios, la in- tensidad que circula por ella cuando se aplica su tensión nominal es,

' 0  45 (A)

Cuando se aplica una tensión notablemente superior a la nominal, atraviesa el filamento una corriente superior a la que puede soportar dicho filamento sin fundirse. La fusión se produce debido al efecto Joule, que provoca un aumento tal de la temperatura del filamento que llega a la de fusión del material que lo compone.

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 8

PROBLEMA 1.

En las resistencias utilizadas en los circuitos electrónicos, además del valor de su resistencia se tiene en cuenta la potencia que puede disipar sin quemarse. Si tenemos una resistencia de 1000 Ω ( 1 Ω) que puede disipar 0  1 va- tios (W), calcular el valor máximo de corriente que soporta sin quemarse. Obtener la máxima tensión que podemos aplicar a la resistencia.

Solución La relación dada por la ley de Joule nos indica que,

 =  ^2

Como  = 0 1 y  = 1000,

μ  

10 −^4

= 10−^2 = 10 [mA]

La máxima tensión que podemos aplicar es,

 =   = 10^3 × 10 −^2 = 10 [V]

PROBLEMA 1.

Cuando arrancamos el motor de un automóvil observamos que disminuye la intensidad de las luces del cuadro de instrumentos. Si medimos con un voltímetro la tensión en los bornes de la batería antes y durante el arranque, obtenemos los valores siguientes: Antes de conectar  = 12 V. Durante el arranque  = 9 V y se suministran 12 amperios (A) al motor de arranque. Calcular la resistencia interna de la batería. Si por una mala conexión de los bornes se duplica la resistencia entre batería y motor de arranque, ¿Cual será la corriente que se suministra al motor de arranque?

Solución En la figura P 1.3 se muestra el circuito que describe la situación.  representa la f.e.m de la batería y  su resistencia interna.  representa el motor de arranque, cuya carga equivale a una resistencia . Cuando no suministra corriente la batería,  = 0, la tensión que se mide en sus bornes es , luego en este caso,

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 10

La corriente suministrada al motor se ha reducido notablemente y en consecuencia no tiene potencia suficiente para arrancar el motor del au- tomóvil.

PROBLEMA 1. Dos bombillas, cuyas resistencias respectivas son,  1 = 10 Ω y  2 = 6 Ω, se conectan en paralelo a un generador (batería) . ¿Cual de las dos bombillas emite una luz más intensa?. Si se conectan en serie ¿Cual emite ahora la luz más intensa? Solución La bombilla que disipa más potencia es la que emite una luz más intensa, por tanto para contestar a la pregunta se calcula la potencia disipada en cada bombilla. Conectadas en paralelo En este caso a las dos se aplica la misma tensión, por tanto la corriente que las atraviesa será,

La potencia disipada es

 1 =  1  12 = 10 × (

)^2 =

 ^2

;  2 =  2  22 = 6 × (

)^2 =

 ^2

De lo anterior se deduce que

En consecuencia la bombilla de 6 Ω emitirá una luz más intensa. Conectadas en serie Ahora circula la misma corriente por ambas bombillas,

La potencia disipada en cada bombilla será,

 1 =  1 × ^2 = 10 × (

)^2 ;  2 =  2 × ^2 = 6 × (

)^2

Comparando las dos potencias comprobamos que

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 11

Luego la luz más intensa la emite en este caso la bombilla de 10 Ω PROBLEMA 1. Una pila de 2 V suministra corriente a dos resistencias en serie,  1 = 1 Ω y  2 = 5 Ω. Calcular la potencia disipada en  2 y la suministrada por la pila. Solución Por las dos resistencias circula la misma corriente, que es,

(A)

La potencia disipada en  2 es

 2 = 5 × (

)^2 =

(vatios)(W La potencia suministrada por la pila será,

 0 =  ×  = 2

(W)

La diferencia entre  2 y  0 se disipa en la resistencia  1

(W)

PROBLEMA 1.

Dados los circuitos indicados en   y  de la figura P1.6, calcular la resistencia entre los bornes A B.

Figura P1.

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 13

La resistencia desde los bornes A B es en este caso,

PROBLEMA 1.

Dado el circuito indicado en la figura P1.7, calcular la resistencia entre los bornes AB antes y después de conectar la resistencia  a los terminales MN. Solución Se trata de asociación de resistencia en serie y paralelo.

Figura P1.7 Figura P1.7. Antes de conectar la resistencia a los terminales MN El proceso se muestra en la figura P1.7.1. En primer lugar se tiene en cuenta que la resistencia  unida a M está en circuito abierto. Después se componen en paralelo 2 y , que dan lugar a  ,

1 

2 ^2

La resistencia en los bornes AB será,

Después de conectar la resistencia a los terminales MN Ahora se comienza el proceso calculando la composición en serie de la resistencia  con la primera rama, como muestra la figura. P1.7.2; después se unen en paralelo con .

1  1

2 ^2

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 14

Después se suman  1 y ,

Figura P1.7. A continuación se obtiene la resultante de poner en paralelo  2 con ,

1 ^0 

5 ^2

La resistencia final ahora es,

^0  =

PROBLEMA 1.

La figura P1.8 muestra un circuito con un potenciómetro (POT.) de 1 kΩ. Calcular la tensión entre los puntos A B cuando la posición del po- tenciómetro está en el centro.

Figura P1. NOTA: El potenciómetro es un dispositivo de tres terminales, con una resistencia unida a dos de ellos y un contacto deslizante conectado al ter- cer terminal, que hace contacto con la banda resistiva en distintos puntos, dependiendo de la posición del mando deslizante.

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 16

suponiendo unas corrientes de lazo en sentido horario. El sistema de ecua- ciones resultante es,

Del sistema se deduce que,

El signo menos indica que la corriente real en el primer lazo tiene sentido contrario al propuesto. Por la batería  1 circula una corriente 

 =  2 −  1 = 1 3 (A)

Dados los sentidos de las corrientes  e  2 , la batería  1 suministra en- ergía, y la batería  2 recibe energía. Podríamos decir la batería  2 se está cargando a costa de  1.

PROBLEMA 1.

La figura P1.10 muestra un circuito con tres lazos o bucles. Calcular la corriente que atraviesa la batería de 1  5 voltios.

Figura P1. Solución El circuito se compone en este problema de tres lazos, por tanto ten- dremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. El sistema de

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 17

ecuaciones que se obtiene, suponiendo las corrientes de lazo en sentido ho- rario, es,

Para calcular la corriente que atraviesa la batería de 1,5 voltios, tenemos que resolver el sistema y obtener las corrientes  2 e  3. Por el método de Cramer,

La corriente que pasa por la batería de 1,5 voltios es,

= 0 125 [A]

La corriente  entra por el polo negativo y sale por el positivo, en otras palabras, la batería funciona como generador que suministra energía al cir- cuito.

PROBLEMA 1. El circuito de la figura P1.11 muestra la conexión de dos pilas en paralelo que suministran corriente a una resistencia de 100 Ω. Calcular dicha corriente y explicar cuál de las pilas suministra o recibe energía.

Solución Utilizamos el método de lazos para resolver este problema. Se elige el sentido horario para las corrientes en los dos lazos. Las ecuaciones que se obtienen para cada lazo son las siguientes,

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 19

PROBLEMA 1.

En el circuito de la figura P1.12 tenemos una fuente independiente de tensión y una dependiente de corriente. Utilizando el método de lazos cal- cular la corriente  que atraviesa la resistencia de 3 Ω, indicada en la figura.

Figura P1. Solución El circuito consta de cuatro lazos, que numeramos de la forma siguiente: Número 1, superior izquierdo; número2, inferior izquierdo; y número 3 el inferior derecho. Las corrientes en todos los lazos se suponen en sentido horario. La fuente 3  del lazo uno determina la corriente en dicho lazo.  1 = − 3 . En primer lugar establecemos las ecuaciones de lazo.

La corriente  =  2 −  3 , por tanto,

Las ecuaciones del sistema son,

Nos interesa calcular las corrientes  2 e  3. Mediante el método de Cramer,

CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 20

91 ^2

' − 1  714 [mA]

91 ^2

91 ^2

' − 2  286 [mA]

 =  2 −  3 ' − 1  714 + 2 286 ' 0  572 [mA] PROBLEMA 1. La figura P1.13 muestra un circuito con una fuente de tensión indepen- diente y otra dependiente. Calcular, por el método de nudos, la corriente  que atraviesa la resistencia de 2 Ω situada en la rama central inferior.

Figura P 1. Solución Los tres nudos se numeran de la forma siguiente: 1 central izquierdo; 2 central; 3 central derecho. Las corrientes en los nudos son: 1 entran las procedentes de las dos fuentes y sale la que va al nudo 2; 2 entra la que procede del nudo 1 y salen las otras dos; 3 entra la que procede del nudo 2 y salen las otras dos. Ecuaciones para los nudos. Nudo 1 La fuente impone la tensión del nudo,