MÉTODOS NÚMERICOS
V SEMESTRE
2025-A
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN-AREQUIPA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA
Ing. J. Paul Pimentel Frisancho
MÉTODOS ALGEBRAICOS
LINEALES
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METODOS ALGEBRAICOS LINEALES, Esquemas y mapas conceptuales de Métodos Numéricos
Documento que explica metodos algebraicos lineales
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
2024/2025
1 / 37
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MÉTODOS NÚMERICOS
V SEMESTRE
2025 - A
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN-AREQUIPA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA
Ing. J. Paul Pimentel Frisancho
MÉTODOS ALGEBRAICOS
LINEALES
V SEMESTRE
2025 - A
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN-AREQUIPA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA
Ing. J. Paul Pimentel Frisancho
MATRICES
Nociones elementales de matrices
Nociones elementales de matrices
Sea el sistema
3 x 1 + 2 x 2 = 18
- x 1 + 2 x 2 = 2
Despejando
x 2 = 9 – 1.5 x 1
x 2 = 1 + 0.5 x 1
Ejemplo de solución de sistemas de ecuaciones lineales
No hay solución Infinidad de soluciones Sistema mal condicionado
Ejemplo
½ x 1 + x 2 = 1
½ x 1 + x 2 = ½
Ejemplo
½ x 1 + x 2 = 1
x 1 + 2 x 2 = 2
Ejemplo
½ x 1 + x 2 = 1
0.501 x 1 + x 2 = 0.
Tipos de soluciones
( 2 )
( 2 ) 3
( 2 ) 2
( 1 ) 1
3
2
1
( 2 ) ( 2 ) 3
( 2 ) 2
( 2 ) 3
( 2 ) 33
( 2 ) 32
( 2 ) 2
( 2 ) 23
( 2 ) 22
( 1 ) 1
( 1 ) 13
( 1 ) 12
( 1 ) 11
( 1 ) 11
( 1 ) , 1 1
( 1 ) 11
( 1 ) 3 , 1 31
( 1 ) 11
( 1 ) 2 , 1 21
0
0
0
/
/
/
n n nn n n
n
n
n
n n b
b
b
b
x
x
x
x
a a a
a a a
a a a
a a a a
m a a
m a a
m a a
( 1 )
( 1 ) 3
( 1 ) 2
( 1 ) 1
3
2
1
( 1 ) ( 1 ) 3
( 1 ) 2
( 1 ) 1
( 1 ) 3
( 1 ) 33
( 1 ) 32
( 1 ) 31
( 1 ) 2
( 1 ) 23
( 1 ) 22
( 1 ) 21
( 1 ) 1
( 1 ) 13
( 1 ) 12
( 1 ) 11
n n n nn n n
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Elemento pivotal
Primer paso de la eliminación
( 3 )
( 3 ) 3
( 2 ) 2
( 1 ) 1
3
2
1
( 3 ) ( 3 ) 3
( 3 ) 3
( 3 ) 33
( 2 ) 2
( 2 ) 23
( 2 ) 22
( 1 ) 1
( 1 ) 13
( 1 ) 12
( 1 ) 11
( 2 ) 22
( 2 ) , 2 2
( 2 ) 22
( 2 ) 3 , 2 32
0 0
0 0
0
/
/
n nn n n
n
n
n
n n b
b
b
b
x
x
x
x
a a
a a
a a a
a a a a
m a a
m a a
( 2 )
( 2 ) 3
( 2 ) 2
( 1 ) 1
3
2
1
( 2 ) ( 2 ) 3
( 2 ) 2
( 2 ) 3
( 2 ) 33
( 2 ) 32
( 2 ) 2
( 2 ) 23
( 2 ) 22
( 1 ) 1
( 1 ) 13
( 1 ) 12
( 1 ) 11
0
0
0
n n nn n n
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
a a a
a a a
a a a
a a a a
Elemento Pivotal
Segundo paso de la eliminación
Paso 1. Se forma la matriz aumentada
Este es el sistema de ecuaciones a resolver
x y z
x y z
x y z
NOTA: El objetivo
del método es
lograr formar una
matriz identidad de
esta forma.
a
b
c
Donde el sistema tiene la siguiente solución: x = a y = b z = c
Paso 1. Se forma la matriz aumentada
Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de “ 1 ” en la primera fila ya tenemos un número 1. Nuestro objetivo ahora será hacer obtener ceros debajo de este número “ 1 ”
Al numero “ 1 ” de la diagonal se le denomina “elemento pivote”; sobre éste vamos a apoyarnos para hacer
ceros los números arriba y debajo de dicho numero con operaciones de eliminación en las filas
(-2) [ 1 2 1 3 ]
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
(^)
Modificamos la
segunda fila con la
operación de
eliminación de fila
Ahora modificamos la tercera fila ¿Por qué número multiplicamos el renglón pivote ahora?
[ 1 2 1 3 ]
¿Cómo queda la nueva matriz?
^
^
Ya transformamos la
primera columna, ahora
vamos con la segunda;
afortunadamente ya
hay un “ 1 ” como nuevo
elemento pivote
¿Qué hacemos ahora? Hay que transformar en ceros los números arriba y abajo del nuevo elemento pivote
[ 0 1 - 3 - 2 ]
Nueva fila pivote
Se repite la eliminación fila
[ 0 1 - 3 - 2 ]
La siguiente matriz queda:
^
Realizamos la operación de eliminación renglón
[ 0 0 1 23/28 ]
^
[ 0 0 1 23/28 ]
Finalmente la matriz
queda
Nuevo renglón pivote
Leyéndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/
Respuestas: x = 5/ y = 13/ z = 23/
Sistema de
ecuaciones original
x y z
x y z
x y z